数学素材：第一章立体几何初步

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨Ⅱ思考与交流1．略．2．平面的基本性质1的三种数学语言表述：文字语言表述:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内．图形语言表述如图所示：符号语言表述：如图，A∈l,B∈l，A∈α，B∈α⇒l⊂α。3．（1)柱体的定义、性质：名称棱柱直棱柱正棱柱圆柱图形定义有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体叫做棱柱侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱性质①底面及平行于底面的截面是全等的多边形；②侧面及经过不相邻两侧棱的截面(对角面）是平行四边形；③侧棱平行且相等①具有棱柱的一切性质;②侧面、对角面都是矩形;③侧面展开图是矩形①具有直棱柱的一切性质；②两底面中心连线是两底面的公垂线，其长是正棱柱的高；③底面及平行于底面的截面是正多边形①底面及平行于底面的截面是全等的圆面；②轴截面是全等的矩形；③所有的母线都平行且相等（2)锥体的定义、性质：名称棱锥正棱锥圆锥图形定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体叫做棱锥底面是正多边形，顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上的棱锥叫做正棱锥以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥性质①底面是多边形，各侧面都是三角形；②平行于底面的截面是与底面相似的多边形，其面积与底面积的比等于顶点到截面和顶点到底面距离的平方的比①底面是正多边形，侧面是全等的等腰三角形，其高（斜高)相等；②各侧棱相等，且与底面成等角;③顶点和底面中心连线和底面垂直,其长为正棱锥的高；④斜高、高、底面边心距组成直角三角形①底面与平行于底面的截面都相似；②轴截面都是全等的等腰三角形;③所有母线都相交于一点且长相等（3)台体的定义、性质：名称棱台正棱台圆台图形定义棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台由正棱锥截得的棱台叫做正棱台以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台性质①底面是多边形，各侧面都是梯形;②平行于底面的截面与底面是相似的多边形①底面是正多边形，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等；②上、下两底面中心的连线和底面垂直，其长为正棱台的高；③斜高、高、两底面边心距组成一直角梯形；高、侧棱及两底面对角线的一半组成直角梯形①上、下两个底面圆心的连线与底面垂直,其长为圆台的高;②轴截面都是全等的等腰梯形；③所有的母线长都相等，且延长后相交于一点（4)球的定义、性质、面积、体积：名称球图形定义半圆绕着它的直径所在的直线为轴旋转一周所形成的曲面叫球面；球面围成的几何体叫做球（空间中到定点的距离等于定长的点的集合，叫球面)性质同球的半径都相等，直径也都相等;球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆；球心和截面圆心连线与截面垂直；球心到截面的距离d，球半径R及截面圆半径r可组成直角三角形，其关系是r＝eq\r（R2－d2）面积S球＝4πR2＝πd2R是球半径d是球直径体积V球＝eq\f(4，3）πR3＝eq\f(1，6）πd3R是球半径d是球直径4．当正棱台的上底面扩展为与下底面全等的图形时，c′＝c，h′＝h，S′＝S，则S＝eq\f(1，2)(c＋c)·h＝ch，V＝eq\f(h，3)(S＋eq\r(SS)＋S）＝Sh，由此可以看出变化所得的公式与柱体的相应公式一样．当正棱台的上底面缩为中心点时,c′＝0，h′＝h′，S′＝0，∴S＝eq\f(1,2）(c＋0）·h′＝eq\f(1，2)ch′，V＝eq\f（h，3）（S＋eq\r（S×0)＋0）＝eq\f(1,3）Sh.也恰好为棱锥的对应公式．5．确定平面的依据有四条:①不共线三点;②直线及其外的一点；③两相交直线；④两平行直线．例如：①三条腿的凳子稳定性好；②餐桌的支架可使桌面稳定；③门轴加上锁可以固定门；④铁轨可以使火车平稳行驶．6．点到直线的距离，两条平行线间的距离的概念可以说是平面几何知识推广到了空间．再如：两条平行线同时垂直于一条直线（证明略)．Ⅲ巩固与提高1．存在．如正方体、球等．2．略．3．(1)假；（2）真;（3）假；(4)真；（5）假；(6）真；（7）真；（8)真;(9)假．4．解:设正四棱柱底面边长为a,高为h,则a2＝72,h＝5。∴对角线长为l＝eq\r（a2＋a2＋h2）＝eq\r（144＋25）＝13（cm）．5．解:取棱锥的一个侧面SAB，设三个平行截面依次交侧面SAB于A1B1，A2B2，A3B3。由平行平面截线段成比例知:eq\f(A1B1,AB）＝eq\f（1，4），eq\f（A2B2，AB)＝eq\f（2,4)，eq\f（A3B3,AB）＝eq\f（3,4).由相似三角形的边长比与面积比的关系得自上而下设三个截面面积分别为S1，S2，S3。∴eq\f(S1,320)＝eq\f（1,16）,eq\f（S2,320）＝eq\f（1，4)，eq\f(S3,320）＝eq\f（9,16）.∴S1＝20（cm2），S2＝80(cm2)，S3＝180（cm2)．6．解：四棱柱共有4条体对角线，三棱柱没有体对角线，六棱柱有18条体对角线．n棱柱共有n(n－3)条体对角线．因为n棱柱的底面有eq\f（n（n－3）,2)条对角线，而底面的每一条对角线对应一个对角面，每一个对角面内有两条对角线，∴n棱柱有n(n－3）条体对角线，此规律对五棱柱也适用．7．证明：∵α∩β＝a，β∩γ＝b,∴a⊂α，a⊂β，b⊂β，b⊂γ.①当a∥b时，∵α∩γ＝c，∴a⊄γ。又b⊂γ，∴a∥γ。∵α过a且与γ交于c，∴a∥c.∴a∥b∥c.②当a∩b＝O时，则O∈a,O∈b,∵a⊂α，b⊂γ，∴O∈α，O∈γ.又∵α∩γ＝c，∴O∈c，∴a、b、c交于O点．8．解:如图所示,在四面体OABC中,取AB的中点H，连接OH.∵OA＝OB＝OC，∴点O在平面ABC内的射影为△ABC的外心．∵AB＝10，AC＝6，BC＝8，∴△ABC为直角三角形．∴H为△ABC的外心．∴OH⊥平面ABC.在等腰三角形OAB中，OH＝eq\r(OA2－AH2）＝eq\r(132－52）＝12。∴球心O到平面ABC的距离为12。Ⅳ自测与评估1．(1）假；（2)假．2．(1)两个定点连线的中垂面(2)eq\r(2a2＋b2)（3)垂直3．解：CD2＝AB2＋BD2＋AC2＝62＋82＋242＝676.∴CD＝26。4．解:由图可知圆柱的底面圆的直径为40，高为60。设底面圆的内接正三角形的边长为a，如图所示．∵AO＝eq\f(\r（3）,3）AB＝eq\f（\r(3）,3）a，∴a＝eq\r(3）AO＝20eq\r(3)。设圆柱的内接正三棱锥为SABC，如图所示,它的高SO＝60，AO＝20.在Rt△SOA中，SA＝20eq\r(10)。∴正三棱锥的斜高h′＝10eq\r（37）.∴VSABC＝eq\f（1，3）S△ABC·SO＝eq\f(1，3）×eq\f（\r(3），4）(20eq\r（3））2×60＝6000eq\r（3)。S三棱锥侧＝eq\f（1,2）ch′＝eq\f(1,2）×60eq\r(3）×10eq\r（37）＝300eq\r(111)，S△ABC＝eq\f(\r（3),4)AB2＝300eq\r（3）,V圆柱＝πr2·h＝（20)2π·60＝24000π，∴剩余几何体的体积为V圆柱－V三棱锥＝24000π－6000eq\r(3）。剩余部分的表面积为S圆柱全＋S棱锥侧－S棱锥底＝3200π＋300eq\r(