数学素材：第一讲三相似三角形的判定及性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨探究1解：如果D，E交于BA，CA的延长线上,且DE∥BC,仍有△ADE∽△ABC.证明：在AB，AC上分别截取AD′＝AD，AE′＝AE，连接D′E′，则△AD′E′≌△ADE,∴∠AD′E′＝∠D.∴DE∥D′E′.又∵DE∥BC，∴D′E′∥BC。∵在△ABC中，D′，E′分别是AB，AC边上的点，且D′E′∥BC，∴△AD′E′∽△ABC。∴△ADE∽△ABC.探究2解：两边对应成比例，且夹角相等时，两个三角形一定相似．已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中,∠A＝∠A′，eq\f(A′B′，AB)＝eq\f(A′C′,AC）.求证：△ABC∽△A′B′C′。证明：如图，在△ABC的边AB、AC（或它们的延长线)上截取AD＝A′B′，AE＝A′C′，连接DE，因为∠A＝∠A′，所以△ADE≌△A′B′C′.由条件eq\f(A′B′，AB)＝eq\f(A′C′，AC)以及AD＝A′B′,AE＝A′C′,有eq\f（AD,AB)＝eq\f(AE,AC）.过D作直线DE′∥BC，交AC于点E′，则eq\f（AD，AB）＝eq\f（AE′，AC）.所以eq\f(AE，AC)＝eq\f（AE′，AC).所以AE＝AE′。因此点E与点E′重合，即直线DE′与直线DE重合．所以DE∥BC.由预备定理可知，△ABC∽△ADE,所以△ABC∽△A′B′C′.探究3证明：在AB上截取AD＝A′B′，过D作DE∥BC,交AC于点E。∴△ADE∽△ABC。∴eq\f（AD,AB）＝eq\f(AE,AC),即eq\f(AC，AB）＝eq\f（AE,AD)。又∵eq\f(A′B′，AB)＝eq\f（A′C′，AC），即eq\f(AC，AB)＝eq\f(A′C′，A′B′)，∴eq\f（AE，AD）＝eq\f（A′C′,A′B′).又∵AD＝A′B′，∴AE＝A′C′.∵∠A＝∠A′，∴△ADE≌△A′B′C′。∴△ABC∽△A′B′C′。思考1解：与一般三角形相比，直角三角形有一个角为直角，三边长满足勾股定理等特殊的边角关系．这种关系可以使判定两个直角三角形相似的条件得到简化．思考2解：两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比，内切圆的直径比、周长比、面积比都与相似比有关．习题1.31．证明:如图，∵四边形BCED为圆内接四边形，∴∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC。∴△ADE∽△ACB。∴eq\f(AD，AC)＝eq\f(AE，AB).点拨：本题应用相似三角形判定及性质可得结论．2．证明：(1）如图，∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠ABE＝∠ACD.又∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD。∴eq\f(AB,BE）＝eq\f（AC，CD).∴AB·CD＝AC·BE。（2)∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADE＝∠ACB。又∠CAD＝∠BAE,∴∠CAD＋∠EAC＝∠BAE＋∠EAC，即∠EAD＝∠BAC。∴△EAD∽△BAC.∴eq\f(AD,ED）＝eq\f（AC，BC）。∴AD·BC＝AC·ED.点拨：本题要注意作出标准的图形,应用三角形相似的判定定理和性质定理得出结论．3．解：若△ABC∽△A′B′C′，则eq\f（AB,A′B′)＝eq\f(AC，A′C′)，∴eq\f(a,a′）＝eq\f（b,A′C′)。∴A′C′＝eq\f(a′b，a)。∴当A′C′＝eq\f(a′b，a）时，△ABC∽△A′B′C′。点拨:本题先应用三角形相似的判定定理得到△ABC∽△A′B′C′，然后再应用三角形相似的性质定理得出结论．4．作法：(1)作线段B′C′，使B′C′＝eq\f（3，2）BC;（2）以B′为顶点，B′C′为始边作∠D′B′C′＝∠B；(3)在B′D′上截取线段B′A′，使B′A′＝eq\f（3,2）AB；(4）连接A′C′，则△A′B′C′为所作三角形．5．证明:∵EF∥AD∥BC，∴eq\f（GE,GB）＝eq\f（EF，BC)，eq\f（HE,HA)＝eq\f（EF,AD）.∵AD＝BC，∴eq\f(GE，GB）＝eq\f(HE,HA）。∴eq\f（GE,BE)＝eq\f(HE,AE)。又∵∠AEB＝∠HEG,∴△AEB∽△HEG.∴∠ABE＝∠HGE.∴GH∥AB。6．证明:∵DE∥AB，∴eq\f(DE，AB)＝eq\f(OE,OB)。又∵EF∥BC，∴eq\f（EF，BC)＝eq\f(OE,OB).∴eq\f（DE,AB)＝eq\f（EF，BC）.∵DE∥AB，∴∠OED＝∠OBA.又∵EF∥BC，∴∠OEF＝∠OBC.∴∠DEF＝∠ABC。∴△DEF∽△ABC.点拨:本题要注意三角形相似的判定方法的选择．7．证明：在△ACD和△BCE中，∵∠ADC＝∠BEC＝90°，∠ACD＝∠BCE,∴△ACD∽△BCE。∴eq\f（AD，BE）＝eq\f(AC，BC），即AD·BC＝BE·AC.8．方案1:(1）在地面上适当位置选取一点C,连接BC，测量出BC的距离；（2)在点C竖立一根垂直于地面的标尺杆；（3）在BC的延长线上取一点D，使点D、标尺杆的顶点E和树尖在一条直线上；(4）测量CD的距离．在这个方案中，由于△DCE∽△DBA，而BC，CD，CE的长可以由测量而得,所以可以求出树高AB的长．（没有考虑测量仪的脚架高）方案2：(1）在地面上选取一点C，连接BC；(2）测出∠BCA；（3）在地面上选取一点D，使∠DCB＝∠BCA；(4)过D作BC的垂线，交BC于E；(5)测量DE，CE，BC的长，由这三个量可以求得AB的长．因为按方案2的实施,易知Rt△ABC∽Rt△DEC。（没有考虑测量仪的脚架高)方案3：(1）把一面镜子放在离树am的点E处;（2）一个人望着镜子后退到点D，这时恰好在镜子里望到树梢点A;(3)量得ED为bm，人的眼睛距地面的高度为cm，即可求AB的长．因为根据光学中的反射定律，知∠AEB＝∠CED，所以△ABE∽△CDE。9．证明：如图，设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k。（1）设AD是△ABC中BC边上的中线，A′D′是△A′B′C′中B′C′边上的中线．∵△ABC∽△A′B′C′，∴eq\f（AB，A′B′)＝eq\f(BC,B′C′).又∵D，D′分别为BC，B′C′的中点，∴eq\f(AB，A′B′)＝eq\f（BC,B′C′)＝eq\f（2BD，2B′D′)＝eq\f(BD，B′D′)。又∵∠B＝∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′。∴eq\f（AD,A′D′)＝eq\f(AB,A′B′)＝k，即相似三角形对应中线的比等于相似比．(2）设AE为△ABC中∠BAC的平分线，A′E′为△A′B′C′中∠B′A′C′的平分线．∵△ABC∽△A′B′C′,∴∠BAC＝∠B′A′C′,∠B＝∠B′。∵∠BAE＝eq\f（1，2）∠BAC，∠B′A′E′＝eq\f(1,2)∠B′A′C′，∴∠BAE＝∠B′A′E′.∴△ABE∽△A′B′E′.∴eq\f(AE,A′E′)＝eq\f(AB，A′B′）＝k。故相似三角形对应角平分线的比等于相似比．10．解：在△AEF和△CDF中，∵∠FAE＝∠FCD，∠AFE＝∠CFD，∴△AEF∽△CDF.∴eq\f（△AEF的周长,△CDF的周长）＝eq\f(AE,CD)＝eq\f（AE，AB)＝eq\f(1，3）.∴eq\f(S△AEF，S△CDF)＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（AE，CD))）2＝eq\f(1，9）。而S△AEF＝6，∴S△CDF＝9S△AEF＝9×6＝54(cm2）．11．问题1：相似三角形对应角的外角平分线之比等于相似比．证明：设△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分别是∠A、∠A′的外角平分线,分别交BC、B′C′的延长线于D、D′。∵△ABC∽△A′B′C′,∴∠BAC＝∠B′A′C′.又∵∠BAC＋∠1＋∠2＝∠B′A′C′＋∠3＋∠4＝180°,而∠1＝∠2，∠3＝∠4,∴∠1＝∠3。∴∠BAD＝∠B′A′D′.又∵∠B＝∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′。∴eq\f（AD，A′D′)＝eq\f(AB,A′B′）,即相似三角形对应角的外角平分线之比等于相似比．问题2：已知△ABC∽△A′B′C′，以△ABC，△A′B′C′的三条边为直径,分别向△ABC,△A′B′C′外作半圆（如图），则两个三角形中三个对应半圆的面积之比等于相似比的平方．说明：将三个半圆改为三个等边三角形、正方形、正多边形等，可以得到更多的命题．问题3:已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，eq\f(BD，CD)＝eq\f(B′D′,C′D′)，则eq\f（AD，A′D′）＝k(如图)．证明：∵eq\f（BD,CD)＝eq\f(B′D′，C′D′)，∴eq\f(BD,BD＋CD）＝eq\f（B′D′,B′D