5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式第3课时课件-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章三角函数5.5.1第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式首都师范大学附属昌财实验中学ChangcaiExperimentalHighschoolofCapitalNormalUniversity★情德善孝

志勤专勇★学习目标1.能利用两角和的正、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式(重点)2.能利用二倍角公式进行化简、求值、证明．(难点)3.熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用．(易错点)★情德善孝

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在我们接触到的事物中，带有一般性的事物总是大开大合，纵横驰骋，往往包含一切，而特殊的事物则是小巧玲珑，温婉和融，往往显出简洁，奇峻之美．三角函数的和(差)角的正弦、余弦、正切公式中的角都是带有一般性的，一般性中又蕴含着特殊性，即两角相等的情形，那么这些二倍角又有什么简洁，奇峻之美呢？★情德善孝

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情境导入由S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)是否能推导出sin2α,cos2α，tan2α的公式？S(α±β)令β=α★情德善孝

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探究由S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)是否能推导出sin2α,cos2α，tan2α的公式？C(α±β)令β=α★情德善孝

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探究T(α±β)令β=α★情德善孝

志勤专勇★由S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)是否能推导出sin2α,cos2α，tan2α的公式？首都师范大学附属昌财实验中学ChangcaiExperimentalHighschoolofCapitalNormalUniversity

探究总结：二倍角公式左到右：升幂缩角；

右到左：降幂扩角★情德善孝

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知识点二倍角公式三角函数倍角公式简记正弦sin2α=

S2α余弦cos2α=cos2α-sin2α=

=

C2α正切tan2α=

T2α2sinαcosα2cos2α-11-2sin2α首都师范大学附属昌财实验中学ChangcaiExperimentalHighschoolofCapitalNormalUniversity

左到右：升幂缩角；

右到左：降幂扩角★情德善孝

志勤专勇★名师点睛1.二倍角的“广义理解”:二倍角是相对的,如4α是2α的二倍,α是

的二倍等.“倍”是描述两个数量之间的关系的,这里蕴含着换元思想.2.对于S2α和C2α,α∈R,但是在使用T2α时,要保证分母1-tan2α≠0且tan

α有意义,3.一般情况下,sin

2α≠2sin

α,cos

2α≠2cos

α,tan

2α≠2tan

α.4.倍角公式的逆用更能拓展思路,我们要熟悉这组公式的逆用,如sin

3αcos

3α=sin

6α.【例1】

求下列各式的值:★情德善孝

志勤专勇★探究点一利用二倍角公式解决给角求值问题首都师范大学附属昌财实验中学ChangcaiExperimentalHighschoolofCapitalNormalUniversity

规律方法给角求值问题的常见解法(1)直接正用或逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知角进行转化,一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.★情德善孝

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变式训练1求下列各式的值:★情德善孝

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探究点二利用二倍角公式解决条件求值问题★情德善孝

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所以sin(2A+B)=sin

2Acos

B+cos

2Asin

B=2sin

Acos

Acos

B+(2cos2A-1)sin

B★情德善孝

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规律方法解决条件求值问题的方法给值求值问题,注意寻找已知式与未知式之间的联系,有两个观察方向:(1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;(2)寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.★情德善孝

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A★情德善孝

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探究点三利用二倍角公式解决化简与证明问题角度1.证明问题

证明

原式变形为1+sin

4θ-cos

4θ=tan

2θ(1+sin

4θ+cos

4θ).(*)(*)式右边=tan

2θ(1+sin

4θ+cos

4θ)=2sin

2θcos

2θ+2sin22θ=sin

4θ+1-cos

4θ=左边,∴(*)式成立,即原式得证.★情德善孝

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角度2.化简问题

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规律方法探究三角函数式化简、证明的常用技巧(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化;(2)对于分式形式,应分别对分子、分母进行变形处理,有公因式的提取公因式后进行约分;(3)对于二次根式,注意倍角公式的逆用;(4)利用角与角之间的隐含关系,如互余、互补等;(5)利用“1”的恒等变形,如tan

45°=1,sin2α+cos2α=1等.★情德善孝

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本节要点归纳1.知识清单:(1)二倍角公式的推导.(2)利用二倍角公式的正用、逆用进行化简、求值和证明.2.方法归纳:转化法、整体法.3.常见误区:(1)化简求值开根号时,忽视角的范围;(2)逆用公式时易混淆系数和幂次的变化.★情德善孝

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成果验收·课堂达标检测12345A.2sin15°cos15°

B.cos215°-sin215°C.2sin215°

D.sin215°+cos215°B★情德善孝

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12345B★情德善孝

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12345B★情德善孝

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