数学达标训练：第一讲三相似三角形的判定及性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精更上一层楼基础·巩固1如图1—图1A.2∶3B.4∶9C思路解析:∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC。又AD∶DB=2∶3，∴AD∶AB=2∶5。其面积比为4∶25，则S△ADE∶S四边形BCED=4∶21.答案：D2如图1-3-11所示，铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长图1A。11。25mB。6.6mC。8m思路解析:本题是一个实际问题，可抽象为如下的数学问题：如右图,等腰△AOC∽等腰△BOD，OA=1m,OB=16m,高CE=0.5m，求高DF.由相似三角形的性质可得OA∶OB=CE∶DF，即1∶16=0。5∶DF,解得DF=8m.答案：C3有一块三角形铁片ABC,已知最长边BC=12cm，高AD=8cm，要把它加工成一个矩形铁片,使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，且矩形的长是宽的2倍，则加工成的铁片的面积为（）A。18cm2或cm2B。20cm2或18cm2C。16cm2D。15cm2思路解析:本题有图（1)和图（2）两种情况，如图(1)，矩形的长EF在BC上,G、H分别在AC、AB上,高AD交GH于K，设矩形的宽为xcm，则长为2xcm,由HG∥BC，得△AHG∽△ABC，得cmS矩形EFGH=2x2=cm2；如图(2），矩形的宽MN在BC上，类似地可求得S矩形MNPQ=18cm2.答案：A4如图1-3-图1思路解析：先根据已知条件和隐含条件证明两个三角形相似，即△ABC∽△DAC.再根据相似建立比例式，根据给出的线段易求出未知线段。答案：45如果两个相似三角形的面积比为9∶4，那么它们的相似比为_______________。思路解析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方直接开平方即可。答案：3∶26如图1-图1证明：∵HI⊥DF，EF⊥DF,∴HI∥EF,∠DIH=∠DFE=90°.∴∠DHI=∠DEF。∴△DHI∽△DEF。∵∠DIH=∠AGH=90°，∠DHI=∠AHG,∴△DHI∽△AHG.∵∠A=∠A，∠AGH=∠ACB=90°，∴△AGH∽△ACB。∴△ABC∽△DEF综合·应用7如图1—图1思路分析：∠ABE和∠ACD分别位于△ABE和△ACD中，显然不可以利用全等来证明这两个角相等，但这两个角所在的两个三角形能相似吗？从已知条件中给的四个角分别在△ABC和△AED中，由它们相等不难证明△ABC∽△AED，这一对三角形的相似，沟通了我们想要证明的两个三角形的关系，沟通了两个角的关系。这里使用了“两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似"的判定方法.证明：∵∠ABC=∠AED，∠ACB=∠ADE,∴△ABC∽△AED。∴，∠BAC=∠EAD。∴.∴∠BAC—∠EAC=∠EAD—∠EAC，即∠BAE=∠CAD.∴△ABE∽△ACD.（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）∴∠ABE=∠ACD.8如图1—3-图1思路分析：因为BP、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC,D是BC的中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线,如果我们连结PC，由线段垂直平分线的性质知PB=PC,只需证明△PEC∽△PCF，问题就能解决了。证明：连结PC，在△ABC中，∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD垂直平分BC。∴PB=PC。∴∠1=∠2.∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB。∴∠ABC-∠1=∠ACB—∠2。∴∠3=∠4。∵CF∥AB,∴∠3=∠F.∴∠4=∠F。又∵∠EPC=∠CPF，∴△PCE∽△PFC.∴.∴PC2=PE·PF.∵PC=PB，∴PB2=PE·PF。（等线段代换）9如图1—求S△ADE∶S四边形DEGF∶S四边形BCGF。图1思路分析:要求题目中的三部分的面积比，必须先求出△ADE\,△AFG和△ABC的面积，才能求出两个四边形的面积.由已知DE∥FG∥BC的条件,可以得到相似三角形，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质，可求出相似三角形的面积比。题目中未给出具体数值,故应引入参数。解：∵AD∶DF∶FB=2∶3∶4，设AD=2k,DF=3k，FB=4k（k>0),则AF=5k，AB=9k，∵DE∥FG,∴△ADE∽△AFG。∴同理，可得。设S△ADE=4a，则S△AFG=25a,S△ABC=81a(a〉0).∴S四边形DEGF=25a-4a=21aS四边形BCGF=81a-25a=56a∴S△ADE∶S四边形DEGF∶S四边形BCGF=4∶21∶56。10如图1—图1(1)当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？（2)当△ACP∽△PDB时,求∠APB的度数.思路分析：本题是一个探索型的问题，考查相似三角形的判定及性质，它给出了一个条件，让你自己再添加一个条件,可使两个三角形相似.因此,首先想到相似的判定方法，因又限制了三条边的关系，所以是对应边就成比例.当三角形相似以后，那么对应角相等，易求∠APB.解：（1)∵△PCD是等边三角形,∴∠PCD=∠PDC=60°，PD=PC=CD.从而∠ACP=