第06讲单调性与最值(值域)期末大总结

第6讲单调性与最值(值域)期末大总结目录速览第一部分：必会知识结构导图第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳必会题型一：函数单调性定义及证明必会题型二：复合函数的单调性必会题型三：单调性求参数范围必会题型四：利用单调性及分离常数法求函数值域(最值)必会题型五：利用复合函数及换元法求函数值域(最值)必会题型六：利用判别式法及不等式求函数值域(最值)第一部分：知识结构导图速看第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结1．函数单调性的刻画(如图)(1)图形刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)，若它的图像从左向右连续上升(下降)，则称函数在该区间上是单调递增(减)的；(2)定性刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)，若函数值随自变量的增大而增大(减小)，则称函数在该区间上是单调递增(减)的．2．函数的单调性的定义(1)增函数：定义域内的一个区间A上，任取x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)[或当x1＞x2时，都有f(x1)＞f(x2)]，称函数y＝f(x)在A上是增函数[等价于(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0]；(2)减函数：定义域内的一个区间A上，任取x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)[或当x1＞x2时，都有f(x1)＜f(x2)]，称函数y＝f(x)在A上是减函数[等价于(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0]；3．判断函数单调性的常见方法：(1)定义法及步骤：①取值作差：在给定区间上任取两个值x1、x2，且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝……；②变形定号：对上式通过因式分解、配方、分母有理化等方法变形，尽量化成几个最简因式乘积的形式，并判断符号；若不能确定，则可分区间讨论；③结论：根据差的符号，得出单调性的结论．(2)直接分析法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出．另常用到以下结论：①函数y＝－f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．②函数f(x)恒为正或恒为负时，函数y＝eq\f(1,f(x))与y＝f(x)的单调性相反．③在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数等．(3)图像法：根据函数图像的升、降情况进行判断．(4)复合函数法(同增异减)：复合函数单调性的判定有如下结论①若g(x)∈[a，b]是[m，n]上的增(减)函数，f(x)是[a，b]上的增(减)函数，则f[g(x)]在[m，n]上是增函数．②若g(x)∈[a，b]是[m，n]上的减(增)函数，f(x)是[a，b]上的增(减)函数，则f[g(x)]在[m，n]上是减函数．4．函数单调性的用途(1)运用函数单调性求最值是求解函数最值问题的重要方法，特别是当函数图像不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法．函数的最值与单调性的关系：①若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．②若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．(2)比较大小及解不等式5．两种常见函数图像及性质(1)形如y＝x－eq\f(a,x)，a＞0图像(如图)及性质：在区间(－∞，0)和(0，＋∞)分别单调递增，可直接利用函数的单调性解题．(2)形如y＝x＋eq\f(a,x)，a＞0(对勾函数)图像(如图)及性质：在区间(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)单调递增，在区间[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]单调递减；“对勾函数”在区间(－∞，0)上，x＝－eq\r(a)时有最大值ymax＝－2eq\r(a)；在区间(0，＋∞)上，x＝eq\r(a)时有最小值ymin＝2eq\r(a)．合理利用对勾函数的图像及性质会给解题带来很多方便！6．求函数值域(最值)的常用方法(1)单调性法：若所给函数为单调函数，可根据函数的单调性求最值．(2)数形结合法：先做出函数的图象，观察函数图像的“最高点”和“最低点”，可利用数形结合法求函数的值域或最值．(3)有界性法(反解法)：利用代数式的有界性(如x2≥0，eq\r(x)≥0等)确定函数的值域．(4)分离常数法：形如求y＝eq\f(cx＋d,ax＋b)(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．(5)换元法：通过对函数的解析式进行适当的换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，利用这些函数的值域求原函数的值域．用换元法求函数的值域时要注意换元后辅助元(也叫中间变量)的取值范围．求形如y＝eq\r(ax＋b)＋(cx＋d)(ac≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．(6)判别式法：形如y＝eq\f(a1x2＋b1x＋c1,a2x2＋b2x＋c2)(a1，a2不同时为0)的函数，当分子分母没有公因式时(分子、分母有公因式时，先约去公因式)，将函数的解析式转化为关于自变量x(或某个代数式)的一元二次方程A(y)x2＋B(y)x＋C(y)＝0的形式，利用一元二次方程有实数根的条件是判别式Δ≥0，得到关于y的不等式，解此不等式即可得到值域．此法常用于一些“分式”函数等，使用此方法时要特别注意原式变形后的二次项系数分等于零和不等于零两种情况．第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳必会题型一：函数单调性定义及证明1．(2022·北京市第十五中学南口学校高一期中)函数y=fx在0，+∞是减函数，且0<A．fx1>fC．x1-x【答案】D【分析】根据函数单调性的定义依次判断各个选项即可.【详解】∵y=fx在0，+∴fx1>fx2，A又x1-x2<0，∴x1-故选：D.2．(2022·北京市广渠门中学高三阶段练习)下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，+∞)上单调递增的是(A．y=x-C．y=x|【答案】C【分析】根据函数奇偶性以及单调性的定义，注意验证，可得答案.【详解】对于A，将-x代入函数则y=-x对于B，将-x代入函数则y任意取x1，x2∈0，+∞，对于C，将-x代入函数则y函数y=x2，x对于D，函数y=lnx的定义域为0，故选：C.3．(2022·陕西·长安一中高一阶段练习)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(

)A．fx=4C．fx=2【答案】B【分析】根据增函数的定义或单调性的性质判断．【详解】A．f(x)=4x2+1-2x，B．f(x)=2x-1x+2=2(x+2)-5x+2=2-C．f(1)=8，f(2)=7<f(1)，在(0，D．在(0，+∞)上，y=1x+1递减，故选：B．4．(2022·河南·高一期中)已知函数fx=-xA．定义域、值域分别是-1，3，0，C．定义域、值域分别是-1，3，0，【答案】BC【分析】首先根据题意得到-x2+2x+3≥0，从而得到函数fx的定义域为-1，3，结合二次函数【解析】要使函数fx=-x2所以函数fx=-因为y=-x2+2x=1时，ymax=4，x=-1或x=3时，所以fx因为抛物线y=-x2+2x+3的对称轴为直线所以fx的单调减区间是1故选：BC．5．(2022·江苏·南京师大附中高二开学考试)定义在-1，1上的函数fx满足：对任意的x、y∈(1)求证：函数fx(2)若当x∈-1，0时，有fx>0，求证：【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)令x=y=0可求得f0的值，再计算得出f(2)任取x1、x2∈-1，1且x1<【解析】(1)证明：令x=y=0，可得2f0=f对任意的x∈-1，1，-x∈-1，因此，函数fx是奇函数(2)证明：任取x1、x2∈-1，1且x1-x故fx1-f因此，函数fx在-1，必会题型二：复合函数的单调性1．(2022·湖北·仙桃市田家炳实验高级中学高三阶段练习)函数f(x)=(6-x-xA．[-12，C．[-12，【答案】A【分析】先求定义域，再利用复合函数的同增异减可得函数单调递减区间.【解析】∵f(x)=∴6-x-x2即函数f(x)=(6-x-x2因为函数y=x要求函数f(x)=(6-x-即求函数y=6-x-x2在由于其开口向下，且对称轴为x=-12故选：A.2．(2020·天津·高一期末)函数f(x)=log1A．(-∞，3] B．[3，+∞) C．【答案】C【分析】首先由函数解析式，求其定义域，根据复合函数的单调性，结合对数函数与二次函数的单调性，可得答案.【解析】由fx=log13-x2+6x-5，则由题意，令gx=log13x易知gx在其定义域上单调递减，要求函数fx的单调递减区间，需求在1，由hx=-x2+6x-5=-故选：C.3．函数f(x)=(12)A．(-∞，1-52) B．(-∞，【答案】A【分析】先求出函数的定义域，得出t=x【解析】由x2﹣x﹣1≥0，得x≤1-52函数t=x2-x-1在(﹣∞，1-52]上为减函数，在1+52，+∞上为增函数，而函数y＝12t在t∈0，+∞上是减函数，∴函数故选A．必会题型三：单调性求参数范围1．(2022·全国·高三专题练习)已知函数fx=a-2x，x≥212x-1A．-∞，-2 B．-∞，13【答案】B【分析】由单调性定义可知fx在R上单调递减，由分段函数每一段上的单调性和分段处的函数值大小关系可构造不等式组求得结果【详解】∵对任意的x1，x2x1≠∴a-2<0122-1≥2a-2，解得：故选：B.2．(2022·甘肃·西北师大附中高一期中)函数fx=x2-kx+1k∈R.若fxA．-∞，4 B．-∞，4【答案】B【分析】由于函数fx=x2-kx+1k∈R的对称轴为x=【解析】因为函数fx=x函数fx=x所以区间2，即k2≤2，得故选：B3．(2022·山西吕梁·高一期末)已知函数y=(12)ax2-2x-3在区间(【答案】-1【分析】由复合函数单调性得出y=ax2-2x-3在区间(-1，【解析】由函数y=12a得函数y=ax2-2当a=0时，y=-2x-3在区间(-当a<0时，由y=ax2-2得1a≤-1，解得：当a>0时，由y=ax2-2得1a≥2，解得：综上所述，a的取值范围是a∈-14．(2023·全国·高三专题练习)函数fx=12x2-ax+b的最大值为2，且在-∞【答案】

1，【分析】由复合函数单调性的判断方法及二次函数的性质可得a2≥12，从而可求出a的范围，再由f(x)的最大值可得b-a【解析】注意到y=1∴y=x2-ax+b而y=x2-ax+b∴a2≥1∵fx=1∴y=x2-ax+b=即b-a24令ha=a24∴ha在a=2处取得最小值故答案为：1，+5．(2022·海南·嘉积中学高一期中)已知定义在R上的函数fx满足：对x，y∈R，都有fx+y=fx(1)求f0和f(2)证明函数fx为R(3)当x∈1，2时，不等式fx【答案】(1)f0=0(2)证明见解析(3)-【分析】(1)利用赋值法可得解；(2)利用定义法可证明函数的单调性；(3)根据函数的单调性直接解不等式即可.【解析】(1)令x=1，y=0，所以f1=f1令x=1，y=-1，所以f0∵f0=0，∴f-1(2)证明：∀x1，有已知得fx由x1<x2知则fx1-f故函数fx为R(3)有已知得f-2故原不等式可等价于fx2-mx+x<f-2，而函数f又x∈1，2而x+2x≥22，当且仅当所以m<22+1，即实数m的取值范围为必会题型四：利用单调性及分离常数法求函数值域(最值)1．(2021·全国·高一专题练习)函数f(x)=x-1x+1(x>0)A．(-1B．[-1C．(-1D．[-1【答案】A【分析】先分离常数，再求出-2<-2x+1<0，从而得到【解析】f(x)=x+1-2x+1=1-2x+1，由于x>0，∴x+1>1于是-1<1-2x+1<1，故函数f(x)故选：A.2．(2022·全国·高三专题练习)函数fx=1xA．0，1 B．0，12 C【答案】A【分析】将分母配方，利用(x-1)2+1≥1【解析】因为fx=1x2所以f(x)∈(0，1]，即fx故选：A3．(2021·安徽·安庆九一六学校高二阶段练习(理))函数y=12x-1A．(-∞，1) BC．(-1，+∞) D【答案】D【分析】根据函数解析式，结合指数函数及分式的性质即可求值域.【解析】由{2x-1>-12x-1≠0知：当-1<2∴综上有：值域是(-∞，故选：D4．(2022·北京·101中学高一期中)函数f(x)=x+2x，x∈[1，A．[22，3] B．3，113【答案】C【分析】根据对勾函数的单调性，即可求得函数值域.【解析】因为f(x)在[1，2)故fxmin=f故fxmax=113故选：C.5．(2022·陕西·咸阳市实验中学高一阶段练习)已知函数fx=(1)判断并说明函数fx(2)判断函数fx在区间1(3)求函数fx在区间-4，【答案】(1)偶函数，理由见解析(2)见解析(3)fx的最大值和最小值分别为【分析】(1)根据奇偶性定义证明即可；(2)根据单调性的定义，结合已知条件，判断并证明即可；(3)根据函数的奇偶性以及单调性，即可求得结果.【解析】(1)函数fx函数fx的定义域为xf-x=1x(2)fx是1证明：在1，+∞上任取xfx因为x1>1，x2又x1<x2，则x2故fx在1，(3)因为fx是偶函数，fx在1，+∞显然在-4，故当x=-4时，fx取得最小值为f当x=-2时，fx取得最大值为f故fx的最大值和最小值分别为1必会题型五：利用复合函数及换元法求函数值域(最值)1．(2022·全国·高三专题练习)函数y=x-2x2的值域为A．[0，  2] B． [0，  【答案】C【分析】先求函数的定义域，再利用二次函数的图象和性质求函数的值域.【解析】由题得x-2x当0≤x≤12时，当x=0或x=12时，y=x-2x2取最小值0；当所以当x=0或x=12时，y=x-2x2取最小值0；当x=所以函数y=x-2x2故选：C2．(2022·全国·高一课时练习)函数y=x+4-x的值域为(A．(174，+∞) B．[174，+∞) C．(﹣∞，174) D．(﹣∞【答案】D【解析】换元：令4-x=t(t≥0)，将无理函数变成二次函数在指定区间上求最值，从而可得值域【解析】令4-x=t(t≥0)，则x=4-所以y=4-t2+t=-所以t=12时，所以函数y=x+4-x的值域为(-∞故选：D3．(2022·全国·高一课时练习)函数f(x)=2x2-2x，x∈[0A．12，8 B．(-∞，8]【答案】A【分析】令gt=x2-2x，x∈0，3【解析】令gt则gt则fx故选：A．必会题型六：利用判别式法及不等式求函数值域(最值)1．(2022·浙江·镇海中学高一期中)函数fx=-【答案】-【分析】利用判别式法即可求出函数的值域．【解析】由题知函数的定义域为R，所以，将y=-x2所以，当y=-1时，x=0；当y≠-1时，Δ=1-4y+12所以，y∈-32，故答案为：-2．(2020·河北·滦南县第一中学高一期末)y=x2-x+1【答案】1【分析】利用判别式法求得函数的值域．【解析】由于x2+x+1=x+12由y=x2-x+1即y-1x2+y=1时，存在x=0，符合题意，y≠1时，由Δ=y+1即3y2-10解得13综上可得y=x2-x+1故答案为：13