专题21-相似三角形中的压轴题专练(二)(解析版)九下数学专题培优训练

第=page22页，共=sectionpages22页专题21相似三角形中的压轴题专练（二）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题如图，点A，B分别在反比例函数y=1x(x>0)，y=ax(x<0)的图象上．若OA⊥OB，OBA.−4

B.4

C.−2

D.2

【答案】A【分析】

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数系数k的几何意义是解答此题的关键．

过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，利用相似三角形的判定定理得出△AOM∽△OBN，再由反比例函数系数k的几何意义得出S△AOM：S△BON=1：(−a)，进而可得出结论．

【解答】

解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，

∴∠AMO=∠BNO=90°，

∴∠AOM+∠OAM=90°，

∵OA⊥OB，

∴∠AOM+∠BON=90°，

∴∠OAM=∠BON，

∴△AOM∽△OBN，

∵点A，B分别在反比例函数y=1x(x>0)，y=ax(x>0)的图象上，

∴S△AOM：S△BON=1：(−a)，

∴AO：BO=1如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点(不与点B、C重合)，且∠APD=60°，PD交AB于点D.设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是(    )

A. B.

C. D.【答案】C【分析】由△ABC是正三角形，∠APD=60°，可证得△BPD∽△CAP，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

此题考查了动点问题、二次函数的图象以及相似三角形的判定与性质．证得△BPD∽△CAP是关键．

【解答】解：∵△ABC是正三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∵∠BPD+∠APD=∠C+∠CAP，∠APD=60°=∠C，

∴∠BPD=∠CAP，

∴△BPD∽△CAP，

∴BP：AC=BD：PC，

∵正△ABC的边长为4，BP=x，BD=y，

∴x：4=y：(4−x)，

∴y=−14x2+x=−14如图，菱形ABCD的边AB=20，面积为320，∠BAD<90∘，⊙O与边AB，AD都相切，AO=10，则⊙O的半径长等于(    )A.5 B.6 C.25 D.3【答案】C【分析】本题考查切线的性质、菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．如图作DH⊥AB于H，连接BD，延长AO交BD于E.利用菱形的面积公式求出DH，再利用勾股定理求出AH，BD，由△AOF∽△DBH，可得OA：BD=OF：BH，即可解决问题．

【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，连结BD，延长AO交BD于E．∵菱形ABCD的边AB=20，面积为320，∴AB⋅DH=320，∴DH=16，在Rt△ADH中，AH=A∴HB=AB−AH=8，在Rt△BDH中，BD=D设⊙O与AB相切于F，连结OF．∵AD=AB，AO平分∠DAB，∴AE⊥BD，∵∠OAF+∠ABE=90∘，∴∠OAF=∠BDH，∵∠AFO=∠DHB=90∴△AOF∽△DBH，∴OA∴1085

如图，在等腰三角形△ABC中，AB=AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是(

)

A.20 B.22 C.24 D.26【答案】D【分析】

本题考查了相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方．

利用△AFH∽△ADE得到，所以设S△AFH=9x，S△ADE=16x，则16x−9x=7，解得x=1，从而得到S△ADE=16，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积．

【解答】

解：如图，

根据题意得△AFH∽△ADE，

设S△AFH=9x，则S△ADE=16x，

∴16x−9x=7，解得x=1，

∴S△ADE=16如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是AC上一点，PH⊥AB于点H，以PH为直径作⊙O，当CH与PB的交点落在⊙O上时，AP的值为(

)

A.52 B.32 C.2 【答案】A【分析】

本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理．

先由勾股定理求出AB=5，再由PB与CH交点D在⊙O上，所以∠PDH=90°，再证三角形相似，再由相似三角形性质证PH=PC，然后证△PAH∽△BAC，得PHBC=APAB，因PH=PC=AC−AP=4−AP，求解即可．

【解答】

解：如图，设PB交CH于D，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=AC2+BC2=5，

∵点D在⊙O上，PH是⊙O直径，∴∠PDH=90°，

∵PH⊥AB，

∴∠PHB=90°=∠PDH，

∵∠DPH=∠HPB，

∴△DPH∽△HPB，

同理得△DPC∽△CPB，

∴PHPB=PDPH,PCPB=PDPC，

∴PH2=PD·PB=PC2，

如图，已知正方形ABCD，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF将△AEF沿EF折叠得△HEF，延长FH交BC于M，现在有如下5个结论：①△BEM≌△HEM；②△EFM定是直角三角形；③当M与C重合时，有DF=3AF；④MF平分正方形ABCD的面积；⑤FH·MH=14AB2，在以上5个结论中，正确的有(

)A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【分析】

本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．利用正方形的性质，全等三角形的判定和性质，一一判断即可．

【解答】

解：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=90°，

∵E为AB的中点，

∴EA=EB，

由翻折可知：FA=FH，EA=EH，∠A=∠FHE=90°，

∵∠EHM=∠B=90°，EM=EM，EH=EB，

∴Rt△EMH≌Rt△EMB(HL)，

∴∠MEH=∠MEB，

∵∠FEH=∠FEA，

∴∠FEM=∠FEH+∠MEH=12(∠AEH+∠BEH)=90°，

故①②正确，

如图2中，当M与C重合时，设AE=EB=2a.则AB=BC=AD=CD=4a，

∵△AEF∽△BCE，

∴AFEB=AEBC，可得AF=a，

∴DF=3a，

∴DF=3AF，故③正确，

如图3中，当点F与点D重合时，显然直线MF不平分正方形的面积，故④错误，

如图1中，∵EH⊥FM于H，∠FEM=90°，

∴△EHF∽△MEH，

∴EH2=HF⋅HM，二、填空题如图，在▱ABCD的一边AB上取点M，使AM：MB=1：3，对角线AC与DM相交于点N，则AN：AC=______．【答案】1：5【分析】由平行四边形的对边平行且相等，得到三角形AMN与三角形CND相似，由相似得比例求出所求即可．

此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．

【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴DC//AB，DC=AB，

∴∠CDN=∠AMN，∠DCN=∠MAN，

∴△CND∽△ANM，

∵AM：MB=1：3，

∴AM：AB=AM：DC=1：4，

∴AM：DC=AN：NC=1：4，

则AN：AC=1：5，

如图，正方形OABC的边长为8，A、C两点分别位于x轴、y轴上，点P在AB上，CP交OB于点Q，函数y=kx的图像经过点Q，若S△BPQ=19S△OQC【答案】−36【分析】

本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及待定系数法求一次函数及反比例函数解析式，解题的关键是求出点Q的坐标．解决该题型题目时，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方结合给定条件求出点Q的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可．

由PB//OC可得出△PBQ∽△COQ，结合三角形面积比等于相似比的平方可得出PB=13OC，结合正方形OABC的边长为8可得出点C、点P的坐标，利用待定系数法即可求出直线CP的函数解析式，联立直线OB与直线CP的函数解析式即可得出点Q的坐标，利用待定系数法即可求出k值．

【解答】

解：由四边形OABC为正方形，得PB//OC，

∴△PBQ∽△COQ，

∴S△BPQS△OQC=PBOC2=19，

∵正方形OABC的边长为8，

∴PB=13OC=83，

∴AP=8−83=163，

∴点C(0,8)，点P(−8,163)，

由题意易得直线OB的解析式为y=−x①，

∴设直线CP的解析式为y=ax+8，

∵点P(−8,163)在直线CP上，

∴163=−8a+8，解得：a=13，

如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是边AB上一点，且AE=2EB，点P是边BC上一动点，连接EP，过点P作PQ⊥PE交射线CD于点Q.若点C关于直线PQ的对称点恰好落在边AD上，则BP的长为__________．【答案】2或6【分析】

此题主要考查相似三角形的性质及判定，本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．

过点P作PF⊥AD于点F，可证得四边形CPFD是矩形，可证得△BEP∽△CPQ和△PFC′∽△C′DQ，从而得BECP=BPCQ，PFC′D=FC′DQ=PC′C′Q，可设BP=x，则DF=PC=8−x，可求得CQ，继而可求得C′D，FC′与BP的关系，而DF=C′D+FC′，通过解一元二次方程，解得x，即可求得BP．

【解答】

解：如图，过点P作PF⊥AD于点F，

∴∠PFC′=90°，

∵矩形ABCD中，AB=6，BC=8，

∴∠FAB=∠B=∠C=∠QDC′=90°，CD=AB=6，

∴四边形CPFD是矩形，

∴DF=PC，PF=CD=6，

∵AE=2EB，

∴AE=4，EB=2，

设BP=x，则DF=PC=8−x，

∵点C与C′关于直线PQ对称，

∴△PC′Q≌△PCQ，

∴PC′=PC=8−x，C′Q=CQ，∠PC′Q=∠C=90°，

∵PE⊥PQ，

∴∠BPE+∠CPQ=90°，

∵∠BEP+∠BPE=90°，

∴∠BEP=∠CPQ，

∴△BEP∽△CPQ，

同理可得：△PFC′∽△C′DQ，

∴BECP=BPCQ，PFC′D=FC′DQ=PC′C′Q，

∴CQ=CP·BPBE=x(8−x)2，如图，将面积为322的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E，若BE=2，则AP的长为________．【答案】16【分析】设AB=a，AD=b，则ab=322，构建方程组求出a、b即可解决问题；

本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．

【解答】解：设AB=a，AD=b，则ab=322，

由△ABE∽△DAB可得：BEAB=ABAD，

∴b=22a2，

∴a3=64，

∴a=4，b=82，

设PA交BD于O．

如图所示，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是OD的中点，F是边BC(不与B、C两点重合)上的一个动点，过E点作EG⊥EF，交CD于G，当△DEG为等腰三角形时，CF的长为_____________．

【答案】1或3【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键注意分类讨论；本题当△DEG为等腰三角形时，根据(1)DE=DG，(2)GE=GD，(3)ED=EG三种情况讨论，并且注意是否都成立．

【解答】

解：∵在正方形ABCD中，AB=AD=4，

∴BD=AB2+AD2=42，

∵E是OD的中点，

∴DE=12OD=14AD=2，

当△DEG为等腰三角形时，

(1)若DE=DG，

过E作EM⊥CD,EN⊥BC，垂足分别为M、N，

∵∠BDC=45∘,DE=2，

∴EM=DM=1，

∴MG=DG−DM=2−1,EN=CM=DC−DM=3，

又∵EG⊥EF，∠MEN=90∘，

∴∠FEN=∠GEM,∠ENF=∠EMG=90∘，

∴△MEG∽△NEF，

∴MEEN=MGFN，

∴FN=MG·ENME=2−1×31=32−3，

∴CF=FN+CN=FN+EM=32−2；

(2)若GE=GD，

∵∠GDE=45∘，

∴∠DGE=90∘，DE=2，

EG=2如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(8,4)，反比例函数y=kx(k>0)的图象分别交边BC、AB于点D、E，连结DE，△DEF与△DEB关于直线DE对称，当点F恰好落在线段OA上时，则【答案】12【分析】

本题考查了反比例函数，矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．过点D作DG⊥OA，垂足为G.由于四边形OABC是矩形，且△DEF与△DEB关于直线DE对称．当点F正好落在边OA上，可得△DGF∽△FAE，然后把D、E两点的坐标用含k的代数式表示出来，再由相似三角形对应边成比例求出AF的长，然后利用勾股定理求出k的值即得到答案．

【解答】

解：过点D作DG⊥OA，垂足为G，如图所示．

由题意知D(k4,4)，E(8,k8)，DG=4．

又∵△DEF与△DEB关于直线DE对称，点F在边OA上，

∴DF=DB，∠B=∠DFE=90°，

∵∠DGF=∠FAE=90°，∠DFG+∠EFA=90°如图，在一块直角三角板ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，将另一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上，E，F分别在AC，BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直，若△CEF与△DEF相似，则AD=________．【答案】65或【分析】

本题考查相似三角形的应用.解题的关键是对△DEF的直角顶点分类讨论.由∠A=∠EDF=30°，ED⊥AB得∠FDB=∠B=60°，从而得到△BDF是等边三角形，利用三角形边的关系得到AD=CF+1.①当∠FED=90°时△CEF∽△EDF，得CFEF=EFDF，②当∠EFD=90°时△CEF∽△FED，得CFFD=CEFE，将EF和DF转化为只含CF的式子，解之即可求解．

【解答】

解：∵∠A=∠EDF=30°，ED⊥AB，

∴∠FDB=∠B=60°．

∴FD=FB

∴△BDF是等边三角形．

∵BC=1，

∴AB=2．

∵BD=BF，

∴2−AD=1−CF．

∴AD=CF+1．

①如图，

若∠FED=90°，

∵∠A=30°，

∴∠AED=90°−30°=60°，

∴∠CEF=180°−90 °−60°=30°，

∵△BDF是等边三角形，

∴∠FDB=60°，

∵∠EDF=180°−60°−90°=30°，

∴∠CEF=∠EDF，

∴△CEF∽△EDF，

∴CFEF=EFDF，即CF2CF=2CF1−CF．

解得CF=15．

∴AD=15+1=65．

②如图，

若∠EFD=90°，

∵∠BFD=60°，

∴∠CFE=180°−90°−60°=30°，

即∠CFE=∠FDE，

又∠C=∠EFD=90°，

∴△CEF∽△FED，三、解答题

在直角坐标系中，过原点O及点A(8,0)，C(0,6)作矩形OABC，连接OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连接DE，作DF垂直于DE，交OA于点F，连接EF，已知点E从A点出发，，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒

(1)如图1，当t=3时，求DF的长(2)如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，DFDE的大小是否发生变化?如果变化，请说明理由;如果不变，请求出DF(3)连接AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1:2时，请直接写出t的值【答案】解：(1)当t=3时，点E为AB的中点，

∵A(8,0)，C(0,6)，

∴OA=8，OC=6，

∵点D为OB的中点，

∴DE//OA，DE=12OA=4，

∵四边形OABC是矩形，

∴OA⊥AB，

∴DE⊥AB，

∴∠OAB=∠DEA=90°，

又∵DF⊥DE，

∴∠EDF=90°，

∴四边形DFAE是矩形，

∴DF=AE=3；

(2)DFDE的大小不变；

理由如下：

如图2所示：作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，

∵四边形OABC是矩形，

∴OA⊥AB，

∴四边形DMAN是矩形，

∴∠MDN=90°，DM//AB，DN//OA，

∵点D为OB的中点，

∴M、N分别是OA、AB的中点，

∴DM=12AB=3，DN=12OA=4，

∵∠EDF=90°，

∴∠FDM+∠MDE=∠MDE+∠EDN=90°

∴∠FDM=∠EDN，

又∵∠DMF=∠DNE=90°，

∴△DMF∽【分析】

本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质和性质、坐标与图形性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、一次函数解析式的求法等知识；本题综合性强，难度较大．

(1)当t=3时，点E为AB的中点，由三角形中位线定理得出DE//OA，DE=12OA=4，再由矩形的性质证出DE⊥AB，得出∠OAB=∠DEA=90°，证出四边形DFAE是矩形，得出DF=AE=3即可；

(2)作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，证明四边形DMAN是矩形，得出∠MDN=90°，DM//AB，DN//OA，由平行线分线段成比例和三角形中位线的性质证明△DMF∽△DNE，再利用相似三角形的性质求解即可；

(3)作作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；①当点E到达中点之前时，NE=3−t，由△DMF∽△DNE得：MF=34(3−t)，求出AF=4+MF=−34t+254求出点G的坐标，求出直线AD的解析式，将点G的坐标代入即可求出t的值；②当点E越过中点之后，NE=t−3，由△DMF∽△DNE得：MF=34(t−3)，求出AF=4−MF=−34t+254，求出点G的坐标，求出直线AD的解析式，将点G的坐标代入即可求出t的值．

【解答】

解：

(3)作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，

若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，

设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；

①当点E到达中点之前时，如图3所示，NE=3−t，

由△DMF∽△DNE得：MF=34(3−t)，

∴AF=4+MF=−34t+254，

∵点G为EF的三等分点，

∴G(3t+7112,23t)，

设直线AD的解析式为y=kx+b，

把A(8,0)，D(4,3)代入得：

8k+b=04k+b=3,

解得：k=−34b=6,

∴直线AD的解析式为y=−34x+6，

把G(3t+7112,23t)代入得：

−34×3t+7112+6=23t，

解得：t=7541;

②当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t−3，

(1)尝试探究

如图1，Rt△ABC中，AB=AC，AD是高，点E是AB边上一点，CE与AD交于点G，过点E作EF⊥CE交BC于点F.若AE=2BE，则EF与EG的数量关系是________________．

(2)类比延伸

如图2，在(1)的条件下，若AE=nBEn>0，则EF与EG的数量关系是________________(用含n的代数式表示)

(3)拓展迁移

如图3，Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AD是高，点E是AB边上一点，CE与AD交于点G，过点E作EF⊥CE交BC于点F，若AE=aBE，AB=bACa>0,b>0，则EF与EG

【答案】解：(1)EG=2EF；

(2)EG=nEF．

理由：

如图2中，过点E分别作EP⊥BD于点P，作EQ⊥AD于点Q．

∴∠BPE=∠AQE=90°．

∵AD是等腰直角三角形的高，

∴∠B=∠EAQ=45°，

∴△BPE∽△AQE，

∴EPEQ=BEAE，

∵AE=nBE，

∴EQ=nEP．

∵∠FEP+∠PEG=90°，∠GEQ+∠PEG=90°，

∴∠FEP=∠GEQ．

又∵∠EPF=∠EQG=90°，

∴△EPF∽△EQG，

∴EPEQ=EFEG，

【分析】

本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形，本题需要用到多次相似，属于中考常考题型．

(1)如图1中，过点E分别作EP⊥BD于点P，作EQ⊥AD于点Q，先证明△BPE∽△AQE，再证明△EPF∽△EQG即可；

(2)如图2中，过点E分别作EP⊥BD于点P，作EQ⊥AD于点Q，证明方法类似(1)；

(3)如图3中，过点E分别作EP⊥BD于点P，作EQ⊥AD于点Q，由△EPF∽△EQG，得AEBE=AQEP①，由△AEQ∽△CBA，得ABAC=EQAQ

②，①×②得EQEP=ab，由此即可解决问题．

【解答】

解：(1)EG=2EF；

理由：如图1中，过点E

∴∠BPE=∠AQE=90°．

∵AD是等腰直角三角形的高，

∴∠B=∠EAQ=45°，

∴△BPE∽△AQE，

∴EPEQ=BEAE=12，

∴EQ=2EP，

∵∠FEP+∠PEG=90°，∠GEQ+∠PEG=90°，

∴∠FEP=∠GEQ．

又∵∠EPF=∠EQG=90°，

∴△EPF∽△EQG，

∴EPEQ=EFEG=12，

∴EG=2EF．

故答案为EG=2EF；

(2)见答案；

(3)EG=abEF

∵△EPF∽△EQG，

∴AEBE=AQEP①，

∵∠AQE=∠BAC，∠EAQ=∠ACB，

∴△AEQ∽△CBA，

∴AQAC=EQAB，

∴ABAC=EQAQ②，

①×②得AEBE·

如图，一路灯AB与墙OP相距20米，当身高CD=1.6米的小亮在离墙17米的D处时，影长DG为1米；当小亮站在点F时，发现自己头顶的影子正好接触到墙的底部O处．

(1)求路灯AB的高度．

(2)请在图1中画出小亮EF的位置，并求出此时的影长．(3)如果小亮继续往前走(如图2)，在距离墙2米的N处停下，那么小亮MN在墙上的影子有多高？【分析】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．

(1)求出BD的长，再求出BG的长，然后根据△ABG和△CDG相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；

(2)根据△ABO和△EFO相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可得到影长FO；

(3)设影子在墙上的落点为L，过M作HK//BO交AB于H，交PO于K，求出AH、HM的长，然后根据△AHM和△LKM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出KL，再根据MN的长度列式计算即可得解．

【解答】解：(1)∵BO=20米，OD=17米，∴BD=BO−OD=20−17=3米，

∵DG=1米，

∴BG=BD+DG=3+1=4米，