微积分 第3版 课件 2.1 数列无穷小与极限_第1页
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2.1数列无穷小与极限

数列是指定义在正整数集上的函数数列简记为例如,简记为简记为简记为第二章极限与连续数列的定义域正整数集是无限集,没有最大正整数.

即对任意给定的正数C,总存在正整数N,使得

依次取

在几何上,数列可以看作数轴上的一个动点,

数列的变化过程包含两个相关的无限过程:n的主动变化过程是自变量n的主动变化过程和因变量的被动变化过程.即n从1开始,不断增大(每次加1,无限重复).我们将n的这种变化过程称为n趋于无穷大,记为考察数列变化趋势.对于数列我们主要研究当时的是一个确定的正数,对任意给定的正数,而在所有正整数中,大于的正整数有无限多个,

我们从中任意选定一个,记之为N,即等价于都存在正整数N,于是当时,有即数列从某一项(第N+1项)开始,我们把具有这种特征的数列称为无穷小,对任意给定的,使得

每一项与常数0的距离都小于

也说它的极限是

定义2.1(数列极限的定义)

如果使得当时,不等式成立,记作设为数列,或称数列是无穷小.

则称当时数列的极限是0,

如果存在某个常数A,使得

则称当时数列的极限是A,

或称数列收敛于A.

记作如果不存在这样的常数A,使得

则称数列没有极限,

或称数列发散.

定理2.1(无穷小比较定理)

证正整数

n,

由定义,如果存在正数C,设则故对任意的使得对于所有证及无穷小比较定理,有证及无穷小比较定理,有证及无穷小比较定理,有练习证明证注意到及无穷小比较定理,

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