福建省龙岩市上杭县城区三校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

初中2024～2025学年第一学期半期质量检测九年级数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1．在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.用配方法解方程时，将方程化为形式，则的值是（）A.8B.9C.10 D.123.若点，，都在二次函数的图象上，则（）A. B. C. D.4.把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式是（）A. B. C. D.5．如图，四边形是⊙O的内接四边形．若，则的度数为（

）

A．138° B．121° C．118° D．112°6．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为A． B． C． D．7.在平面直角坐标系中，将点绕着原点O顺时针旋转到，则点的坐标为（）A. B. C. D.8.已知为一元二次方程两个根，则的值为（）A. B.0 C.7 D.119.已知二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x……﹣1012……y……0343……那么关于它图象，下列判断正确的是（）A.开口向上 B.与x轴的另一个交点是(3，0)C.与y轴交于负半轴 D.在直线x＝1的左侧y随x的增大而减小10.已知关于x的一元二次方程的解为，则抛物线与轴交点坐标是（）A. B. C. D.二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为．12．一元二次方程根的判别式的值是______．13．已知二次函数的图象与x轴的一个交点为，则它与x轴的另一个交点的坐标是．14．如图，△中，，，，将△绕点逆时针旋转得△，若点在上，则的长为.（第14题）（第15题）15．如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”.用几何语言可表述为：为⊙O的直径，弦于点，寸，寸，则直径的长为.16．已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图像沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是．（第16题）三解答题（本题共8小题，共86分．第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，第25题14分）17．（1）解方程：；（2）解不等式组：18．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为1,0．（1）画出关于轴对称的；（2）画出将绕原点按顺时针旋转所得的，并写出的坐标．19．已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；20．如图，四边形内接于⊙O，为⊙O的直径，．（1）试判断的形状，并给出证明；（2）若，，求的长度．21．已知抛物线经过点，且（1）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）；（2）证明：直线与该抛物线有两个不同的交点．22.某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件．（1）求y与x的函数关系式及自变量的取值范围；（2）如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？23．根据以下素材，探索完成任务．如何加固蔬菜大棚？素材1农科所在某蔬菜基地试用新型保温大棚技术．大棚横截面为抛物线型（如图），一端固定在距离地面1米的墙体A处，另一端固定在距离地面2米的对面墙体B处，两墙体的水平距离为6米．大棚离地面的最高点P与A的水平距离为3.5米．素材2为了使大棚更牢固，在此横截面内竖立若干根与地面垂直的竹竿连接到大棚的边缘．要求相邻竹竿之间的水平距离为2米，靠近墙体的竹竿与墙体的水平距离不超过2米．问题解决任务1确定大棚形状结合素材1，以地面作为x轴，点A所在墙体作为y轴，建立直角坐标系，求大棚横截面所对应的抛物线解析式（不需写自变量取值范围）．任务2探索加固方案请你设计一个符合要求的竹竿竖立方案，方案内容包括：①从何处立第一根竹竿；②共需多少根竹竿；③所需竹竿的总长度（写出计算过程）．24．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和B两点，与y轴交于点C．（1）求C点的坐标；（2）连接，D为抛物线上一点，当时，求点D的坐标；25．已知∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB＝10，OC＝OD＝8．（1）如图1，连接AC、BD，问AC与BD相等吗？并说明理由．（2）若将△COD绕点O逆时针旋转，如图2，当点C恰好在AB边上时，请写出AC、BC、OC之间关系，并说明理由．（3）若△COD绕点O旋转，当∠AOC＝15°时，直线CD与直线AO交于点F，直接写出AF的长．参考答案选择题：1.C2.A3.C4.C5.C6.C7.A8.D9.B10.D二、填空题：11.12.1713.14.15.2616.三、解答题：17．（1）解：，，，，2分，解得；4分（2）解：，解不等式①得：，1分解不等式②得：，即，3分故原不等式的解集为．4分18．（1）解：如图所示，即为所求，3分（2）如图所示，即为所求，8分

19．解：∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，2分即[﹣（k+1）]2﹣4×(14k2解得k＞327即当k＞32时，方程有两个不相等的实数根．820.解：（1）是等腰直角三角形，证明过程如下：为的直径，，1分，，，3分又，是等腰直角三角形．4分（2）在中，，，6分在中，，，．即的长为：．8分21.解：（1）抛物线y=ax2∴a+a+b=0∴y抛物线顶点的坐标为，-9a4)；4分（2）联立直线与抛物线解析式，即有：a可得ax2+(△=(a-2)2由（1）知，且，，△，8分22.解：（1）由题意得每件涨价x元，则每星期的销量为，（0≤x≤5且x为整数）；4分（2）每星期的利润为W元，，8分∵x为整数，∴当x=3或2时，W有最大值1560，9分当x=3时，销量为120件，当x=2时销量为130件，所以定价为42元时才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大，最大利润是1560元.10分23.解：（1）如图，以地面作为x轴，点A所在墙体作为y轴，建立直角坐标系如图（答案不唯一）：由题意可得，，顶点的横坐标为，1分设大棚横截面所对应的抛物线解析式为，，解得，4分∴大棚横截面所对应的抛物线解析式为；5分（2）符合要求的方案：从距左侧墙体2米处立第一根竹竿，距左侧墙体4米处立第二根竹竿，∴共需2根竹竿，当时，，7分当时，，9分∴所需竹竿总长度为（米．10分24.（1）解：将代入抛物线解析可得：解得：．∴C点的坐标为；4分（2）设与轴的交点为，∵，∴，∵，∴，由（1）可得：，令，则，解得：，，∴，∴，6分在中，，解得：，∴，8分设直线的解析式为，将代入可得，解得：，∴直线的解析式为，9分当时，解得：或，10分∴D点的坐标为：12分25.解（1）结论：AC＝BD．理由：∵∠AOB＝∠COD＝90°．∴∠AOC＝∠BOD．在△AOC和△BOD中．OA=OB∠∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD；4分（2）结论：BC2+AC2＝2OC2．理由：连接BD．∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，OA=OB∠∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD∠CAO＝∠DBO＝45°，∴∠CBD＝90°，∴BC2+BD2＝CD2，∴BC2+AC2＝2OC2；8分（3）如图3﹣1中，当点C在AO的上方时，过点O作OH⊥CD于H．∵OC＝OD＝8，∠COD＝90°，∴CD=2OC＝82∵OH⊥CD，∴CH＝HD，∴OH=12CD＝4∵∠DCO＝∠CFO+∠AOC＝45