2019年北京市高考数学试卷(理科)含答案

2019年北京市高考数学试卷（理科）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项。

1.已知复数z=2+i,则z・5=（）

A.75B.x/5C.3D.5

2.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）

A.1B.2C.3D.4

3.已知直线/的参数方程为["H，（/为参数），则点（1,0）到直线/的距离是（）

y=2+4/

.1D2「4n6

A.—D.—C•—D.-

5555

4.已知椭圆二+[=13">0）的高心率为L则（）

a-b~2

A.n2=7h2B.3/72=4h2C..a=1bD.3a=4b

5.若x,y满足且y…-1,则3x+y的最大值为（）

A.-7B.1C.5D.7

6.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足

-〃?今，其中星等为恤的星的亮度为片（女=1,2）.已知太阳的星等是-26.7,天

狼星的星等是7.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为（）

A.IO101B.10.1C.feld.1D.IO-101

7.设点A,B,C不共线，则“人4与AC的夹角为锐角”是“|48+AC|>|8C|”的（

）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如

图）.给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）：

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过血；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是（）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.函数/(x)=siif2x的最小正周期是.

10.设等差数列｛an｝的前〃项和为S”，若/=-3,§5=-11),则%=,S”的最小值为.

11.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正

①/_L〃z；②m3a、③/_La.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：—.

13.设函数/(%)="+念7(。为常数).若/(x)为奇函数，则。=—；若是R上的增

函数，则〃的取值范围是—•

14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价

格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行

促销：•次购买水果的总价达到120元，顾客就少付工元.每笔订单顾客网上支付成功后，

李明会得到支付款的80%.

①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付一元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大

值为.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15.(13分)在A4BC中，a=3,b-c=2,cosB=--.

2

(I)求〃，c的值；

(II)求sin(B-C)的值.

16.(14分)如图，在匹棱锥P-ABC力中，Q4JL平面4HC7)，AD1CD,AD//BC.

pp1

PA=AD=CD=2,BC=3.E为尸。的中点，点尸在PC上，且——=一.

PC3

(I)求证：CD_L平面E4D；

(II)求二面角/—AE—P的余弦值；

（HI）设点G在依上，且t=2.判断直线AG是否在平面AE”内，说明理由.

17.（13分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主

要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,8两种移动支付方式的使用情况，从全校学

生中随机抽取了100人，发现样本中A,8两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使

用人和仅使用4的学生的支付金额分布情况如下：

支付金额（元）(0,1OOOJ(1000,2000]大于2000

支付方式

仅使用A18人9人3人

仅使用B10人14人1人

（I）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A,8两种支付方式都使用的概率;

（H）从样本仅使用A和仅使用8的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支

付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；

（III）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，随

机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使

用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.

18.（14分）已知抛物线C:f=-2py经过点（2,-1）.

（I）求抛物线。的方程及其准线方程；

（H）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线/交抛物线C于两点M,N,

宜线y=T分别交直线OM,ON于点、A和点B.求证：以为直径的圆经过），轴上的两

个定点.

19.（13分）已知函数=一f+X.

（I）求曲线），=/（©的斜率为/的切线方程；

（II）当xw［-2,4］时，，求证：不一6绡（x）x；

（III）设尸（或=|/3-。+。）|（0€砌，记尸㈤在区间［-2,4］上的最大值为M（a）.当例

（a）最小时，求。的值.

20.（13分）已知数列｛%｝,从中选取第耳项、第％项、…、第M项"।V%，若

则称新数列由，%，…，”为｛凡｝的长度为，〃的递增子列.规定：数

列｛”“｝的任意一项都是｛《｝的长度为1的递增子列.

（I）写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列；

（II）己知数列｛6｝的长度为〃的递增子列的末项的最小值为〃,如，长度为夕的递增子列的

末项的最小值为%.若p<q,求证：a<a；

（山）设无穷数列｛%｝的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若他”｝的长度为s的递增

子列末项的最小值为2s-1,且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有末7个（s=l,2,...）,

求数列｛%｝的通项公式.

【归纳与总结】本题考查参数方程化普通方程，考查点到直线距离公式的应用，是基础题.

丫2v21

4.已知椭圆4=的离心率为L则（）

a~b~2

A.a1=2b2B.3a2=4b-C.a=2bD.3a=帖

【思路分析】由椭圆离心率及隐含条件/=〃+c2得答案.

【解析】：由题意，-=得£•=,，则匕2二,，

a2a~4a24

/.4a2-4/?2=a2，即3a2=4b2.

故选：B.

【归纳与总结】本题考查椭圆的简单性质，熟记隐含条件是关键，是基础题.

5.若x,y满足且y…-1,则3%+y的最大值为（）

A.-7B.1C.5D.7

【思路分析】由约束条件作出可行域，令z=3x+），，化为直线方程的斜截式，数形结合得

到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.

令z=3%+y,化为y=-3x+z,

由图可知，当直线y=-3[+z过点A时，z有最大值为3x2-1=5.

故选：C.

【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.

6.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足

牲-肛=g/g看，其中星等为恤的星的亮度为4（女=],2）.已知太阳的星等是-26.7,天

狼星的星等是T.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为（）

A.IO101B.10.1C.k10.1D.IO-101

【思路分析】把已知熟记代入如-q二』々互，化简后利用对数的运算性质求解.

2E2

【解析】：设太阳的星等是班=-26.7,天狼星的星等是也=-1.45,

由题意可得：-1.45-（-26.7）=|/g亮，

.g=弊=]01，则纹=]om.

E25E2

故选：A.

【归纳与总结】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题.

7.设点A,B,。不共线，则“A3与AC的夹角为锐角”是“|4B+AC|>|BC|”的（

)

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【思路分析】与AC5的夹角为锐角”=>a\AB+AC\>\BC\f\a\AB+AC\>\BC\

=>“A3与AC的夹角为锐角”，由此能求出结果.

【解析】：点A,B,。不共线，

“/仍与AC的夹角为锐角”=>i（\AI3+AC\>\BCI",

U\AB+AC\>\BC\,fn“A8与AC的夹角为锐角”，

设点A,B,C不共线，则“A4与AC'的夹角为锐角”是“|A8+AC|>|8C|"的充分必

要条件.

故选：C.

【归纳与总结】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考

查推理能力与计算能力，属于基础题.

8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:/+），2=l+|x|），就是其中之一（如

图）.给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过0；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是（）

【思路分析】将x换成t方程不变，所以图形关于y轴对称，根据对称性讨论），轴右边的

图形可得.

【解析】：将工换成r方程不变，所以图形关于y轴对称，

当大=0时，代入得/=1,...y=±i,即曲线经过（0,1）,（0,-1）；

当x>0时，方程变为丁2-.9+/_1=。，所以△=x2-4（f-i）..。，解得xw（o,竽],

所以x只能取整数1,当/=1时，y2-y=0,解得），=0或），=1,即曲线经过（1,0）,（1,1）,

根据对称性可得曲线还经过（-1,0）,（-1,1）,

故曲线一共经过6个整点，故①正确.

丫2+v2

当X>0时，由V+）?=1+.得f+）,2_]=孙,，:--2_,（当X=），时取等），

X2+2,.•・G+嬉O,即曲线C上），轴右边的点到原点的距离不超过五，根据对

称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过正；故②正确.

在x轴上图形面积大于矩形面积=1x2=2,文轴下方的面枳大于等腰直角三角形的面枳

=1x2x1=1,因此曲线。所围成的“心形”区域的面积大于2+1=3,故③错误.

2

故选：C.

【归纳与总结】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题.

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.函数f(x)=sin?2x的最小正周期是—.

~2~

【思路分析】用二倍角公式可得f(x)=-,cos(4x)+,，然后用周期公式求出周期即可.

22

[解析1：\f(x)=sin2(2^),

二.f(x)=-gcos(4x)+g,/(K)的周期T=],故答案为：y.

【归纳与总结】本题考查了三角函数的图象与性质，关键是合理使用二倍角公式，属基础题.

10.设等差数列｛4｝的前〃项和为S。，若％=-3,55=-1(),则4=0,S〃的最小值

为•

【思路分析】利用等差数列｛〃“｝的前〃项和公式、通项公式列出方程组，能求出4=~4,

d=l,由此能求出处的S”的最小值.

【解析】：设等差数列｛%)的前“项和为S”,4=-3,S5=-1O,

q+d=-3

•5x4»解得4=-4,d=1,/.a5=at+4d=-44-4x1=0»

5q+—d=-10

°n(n-\),.n(n-1)1,981

S„=na.+-----=T〃+---------=-(n一一)x—2——，

“122228

二〃=4或〃=5时，S“取最小值为，=Ss=-10.故答案为：0,-10.

【归纳与总结】本题考查等差数列的第5项的求法，考查等差数列的前〃项和的最小值的求

法，考杳等差数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题.

11.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正

方形的边长为/,那么该儿何体的体积为40.

【思路分析】由三视图还原原几何体，然后利用一个长方体与一个棱柱的体积作和求解.

【解析】：由三视图还原原几何体如图，

该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱，

则该几何体的体积V=4x2x2+；（2+4）x2x4=40.

故答案为：40.

【归纳与总结】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题.

12.已知,,,〃是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断：

①/_!_〃？；②〃z//a；③/J_a.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：若Ua,

/±m,则m/la_.

【思足两i】由二，〃是平面a外的两条不同直线，利用线面平行的判定定理得若/_La,

I»则〃?//a.

【解析】：由/,〃?是平面a外的两条不同直线，知：

由线面平行的判定定理得:若/-La,/_!_〃?，则mlla.故答案为:若/JLa»ILm，则mlla.

【归纳与总结】本题考查满足条件的真命题的判断，考直空间中线线、线面、面面间的位置

关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题.

13.设函数/（x）=e'+aef（a为常数）.若/（幻为奇函数，则。若/（幻是R上的

增函数，则a的取值范围是—.

【思路分析】对于第一空：由奇函数的定义可得/（一为二一/5），即6-+。，=-（/+馥7）,

变形可得分析可得。的值，即可得答案：

对于第二空：求出函数的导数，由函数的导数与单调性的关系分析可得/（幻的导数

r（x）=e'-aeT.O在上恒成立，变形可得：出小恒成立，据此分析可得答案.

【解析】：根据题意,函数/。）=力+%-",

若/（X）为奇函数，则/（—x）=—/（x）,^e~x+aex=-（ex+ae-x）,变形可得〃=一1,

函数/（X）="+导数f\x）=e-x

若f（x）是R上的增函数，则/*）的导数/（幻=F-a1..0在R上恒成立，

变形可得：氏恒成立，分析可得4,0,即a的取值范围为（y,0］；

故答案为：一1，（f，0J.

【归纳与总结】本题考有函数的奇偶性与单调性的判定，关键是理解函数的奇偶性与单调性

的定义，属于基础题.

14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价

格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行

促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付1元.每笔订单顾客网上支付成功后，

李明会得到支付款的80%.

①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付130元;

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大

值为.

【思路分析】①由题意可得顾客一次购买的总金额，减去X,可得所求值；

②在促销活动中，设订单总金额为〃?元，可得。〃-x)x80%..〃zx70%,解不等式，结合恒

成立思想，可得x的最大值.

【解析】：①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80=140(元)，

即有顾客需要支付140-10=130(元)：

②在促销活动中，设订单总金额为〃，元，

可得-x)x80%..mx70%,

即有K,9，

8

由题怠可得加.120,

可得与呦=15,

8

则X的最大值为15元.

故答案为：130,15

【归纳与总结】本题考查不等式在实际问题的应用，考有化简运算能力，属于中档题.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15.(13分)在A4BC中，a=3,b-c=2,cos«=--.

2

(I)求力，c的值；

(II)求sin(3-C)的值.

【思路分析】(I)利用余弦定理可得从=/+/—2〃ccos4,代入已知条件即可得到关于〃

的方程，解方程即可；

(II)sin(^-C)=sinBcosC-cos/?sinC>根据正弦定理可求出sinC,然后求出cosC,代

入即可得解.

【解析】：(I)a=3,b-c=2,cosB=--.

2

.•・由余弦定理，得/=a2+c2-2accosB=9+(b-2)2-2x3x0-2)x(-l),

2

,.Z?=7,：.c=b—2=5；

(II)在AABC中，vcosB=--,:.s\nB=—,

22

由正弦定理布注二熹._csinB*25指

z.sinC=-----=-----=---

b714

•.Z?>c>B>CJ/.C为锐角，cosC=—,

14

sin(4-C)=sin4cosC-cosZ?sinC=*x-^-(-^)x.

【归纳与总结】本题考查了正弦定理余弦定理和两角差的正弦公式，属基础题.

16.(14分)如图，在匹棱锥产一ABCZ)中，八4_1_平面A8CD,ADLCD,AD//BC,

PF1

PA=AD=CD=2,4c=3.E为叨的中点，点尸在PC上，且一=-.

PC3

(I)求证：CO_L平面2V)；

(II)求二面角厂一4£一夕的余弦值；

(IH)设点G在尸B上，且丝=2.判断直线AG是否在平面诋内，说明理由.

PB3

D

【思路分析】(I)推导出Q4_LCD，ADLCD,由此能证明CO_L平面Q4O.

(II)以A为原点，在平面A8CD内过A作CD的平行线为x轴，A。为)轴，AP为z轴,

建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角厂-AE-尸的余弦值.

47422

(IH)求出AG=(—，0,-),平面W的法向量6=(1,1,-1),m>AG=----=一。0,

33333

从而直线AG不在平面AEF内.

【解答】证明：(I)•.,两_L平面A8CZ),.•.Q4_LCO,

•/AD±CD,PAQAD=A,

.•・。。，平面皿).

解：(H)以A为原点，在平面ABC。内过A作C。的平行线为X轴，

4)为)，轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

A(O,0,0),E(1,0,I),/(|,|,1),。(0,0,2),

724

AE=(1,0,1),A尸=(三母§),

平面AE尸的法向量〃=(1,0,0),

设平面的法向量〃?=(x,y,z),

m»AE=x+z=O

则，224，取x=1,得，〃=(1,1,-1),

m»AF=—x+—y+—z=O

333

设二面角尸一他一尸的平面角为夕，则cose=®L=J==g.

二二面角尸—AE—尸的余弦值为年.

(III)直线AG不在平面A即内，理由如下：

,点G在心上，且丝=2.二.G(士，0,-),

PB333

42

4G=(；,0,1),

•.•平面AE尸的法向量用=(1,1,-1),

422

n>AG=----=一00,

333

故直线AG不在平面AEF内.

【归纳与总结】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查直线是否在已

知平面内的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理

能力与计算能力，属于中档题.

17.（13分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主

要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,8两种移动支付方式的使用情况，从全校学

生中随机抽取了100人，发现样本中A,8两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使

用A和仅使用“的学生的支付金额分布情况如下：

支付金额（元）(0,1OOOI(1000,2000]大于2000

支付方式

仅使用A18人9人3人

仅使用B10人14人1人

（I）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A,8两种支付方式都使用的概率;

（II）从样本仅使用A和仅使用8的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支

付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；

（III）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，随

机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使

用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.

【思路分析】（I）从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，A,8两种支付方

式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用笈的有25人，从而A,"两种支付方

式都使用的人数有40人，由此能求出从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A,

4两种支付方式都使用的概率.

（II）从样本仅使用A和仅使用8的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支

付金额大于1000元的人数，则X的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率，由此能求

出X的分布列和数学期望E（X）.

（川）从样本仅使用A的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支

付金额大于2000元，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大广2000元的概率为

=1,不能认为认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有

Ci4060

变化.

【解析】：（I）由题意得：

从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，

A，4两种支付方式都不使用的有5人，

仅使用A的有30人，仅使用8的有25人，

二.A,8两种支付方式都使用的人数有：100-5-30-25=40,

.•・从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A,8两种支付方式都使用的概率

400

p=----=0.4.

100

(H)从样本仅使用4和仅使用A的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支

付金额大于1000元的人数，

则X的可能取值为0,1,2,

样本仅使用A的学生有30人，其中支付金额在(0,1000］的有18人，超过100()元的有12

人，

样本仅使用8的学生有25人，其中支付金额在(0,1000］的有10人，超过1000元的有15

人,

1Q180_6

P(X=O)=­X=，

30750-25

1Q121039013

p(X=l)=，x.+-----X-—----=-------=-----9

30302575025

…12151806

P(X=2)=—x—=---=—

302575025

」.X的分布列为：

X012

p6136

252525

数学期望E(X)=OX9+1X£+2X9=1.

252525

(III)不能认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，

理由如下：

从样本仅使用A的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额

大于2000元,

随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元的概率为〃=圣=康

虽然概率较小，但发生的可能性为」一.

4060

故不能认为认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.

【归纳与总结】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、

相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题.

18.(14分)已知抛物线C:f=一2万经过点(2,-1).

(I)求抛物线。的方程及其准线方程；

(H)设O为原点，过抛物线。的焦点作斜率不为0的直线/交抛物线C于两点N,

直线y=-l分别交直线OM,ON于点、A和点B.求证：以为直径的圆经过)，轴上的两

个定点.

【思路分析】(I)代入点(2,-1),解方程可得〃，求得抛物线的方程和准线方程；

(II)抛物线丁=7)，的焦点为/(0,-1),设直线方程为)，=米-1,联立抛物线方程，运用

韦达定理，以及直线的斜率和方程，求得A,8的坐标，可得AB为直径的圆方程，可令x=O,

解方程，即可得到所求定点.

【解析】：(I)抛物线。：炉=-2处，经过点(2,-1).可得4=2p,即p=2,

可得抛物线C的方程为f=-4y,准线方程为y=l；

(II)证明：抛物线x2=Y)，的焦点为尸

设直线方程为)，=履-1,联立抛物线方程，可得x2+4米-4=0,

设M(X］,y),N(X2,y2),

可得X+x,=-4Z，％t=-4，

直线QM的方程为)，=&1，即)，二一五x,

耳'4

直线ON的方程为>，=&/•，即)，=-至一

x2^4

44

可得A(—,-1),B(—,-1),

%与

-AL

可得回的中点的横坐标为2(」I+工1)=2二竺=2h

再x2-4

即有AB为直径的圆心为(2七-1),

半径为空1」比_，2巫互=2百，

22x{x24

可得圆的方程为［X-2k)2可y+1)2=4(1+A:2),

化为f-4日+()，+1)2=4,

由x=0,可得)，=1或一3.

则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0,1),(0,-3).

【归纳与总结】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程的求法，考查直线和抛物

线方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题.

19.(13分)已知函数

(I)求曲线)，=/(#的斜率为/的切线方程；

(II)当xw(-2,4］时，求证：工一6期'(x)x；

(III)设户(x)"a)-(x+a)|3eK),记尸㈤在区间［-2,4］上的最大值为M(a).当M

(a)最小时,求a的值.

【思路分析】(I)求导数尸(x)，由广(x)=1求得切点，即可得点斜式方程；

(II)把所证不等式转化为-6期(x)-x0,再令gQ)=/(x)-x,利用导数研究g(x)在［-2,

41的单调性和极值点即可得证；

(III)先把尸(力化为IgCO-al，再利用(II)的结论，引进函数力⑺结合绝对值

函数的对称性，单调性，通过对称轴与-3的关系分析即可.

【解析】：(I)/^)=-^2-2x+l,

4

Q

由r(x)=i得/@一京=().

8

得玉=0,x2=-.

又八。)=。，〃|)=*

小88

y=x和y----=x——,

,273

即y=x和y=x-^j；

(II)证明：欲证x—第'(x)X，

只需证-6期(x)-x0,

令g(x)=/(x)-4=一/，xe［-2,4］,

4

aaQ

则g<x)=二/-2x=-x(x——),

443

QQ

可知g'(x)在［-2,0］为正,在(0,-)为负，在［-,4］为正,

33

.•.以X)在［-2,0］递增，在［0,1递减,在1,4］递增,

33

又g(-2)=-6,g(0)=0，5(1)=-->-6»g(4)=0，

.•.-6轰山⑴0,

X；

(III)由(H)可得，

F(x)=if［x)-(x+a)\

=4f(x)-x-a\

=(g(x)-a|

•・,在［—2,4］上,0,

令f=g(x),h(t)=\t-a\,

则问题转化为当，e［-6，0］时，力⑺的最大值M(a)的问题了,

此时一a.3,当〃=-3时，M(a)取得最小值3；

②当〃..一3时，M(a)=//(-6)=1-6-«|=|6+«|,

6+a.3,:.M(a)=6+a,

也是〃=一3时，M(a)最小为3.

综上，当加(a)取最小值时。的值为-3.

【归纳与总结】此题考查了导数的综合应用，构造法，转化法，数形结合法等，难度较大.

20.(13分)已知数列｛%｝,从中选取第/；项、第力项.....第"项&<•,,<")，若

4<%<一<