重庆市中考数学试题A卷解析版

/2015年重庆市中考数学试卷数学试题（A卷）（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为.一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，期中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。1．（2015•重庆A）在—4，0，—1，3这四个数中，最大的数是（）A.—4B.0C.—1D.3考点：有理数大小比较．分析：先计算|﹣44，|﹣11，根据负数的绝对值越大，这个数越小得﹣4＜﹣1，再根据正数大于0，负数小于0得到﹣4＜﹣1＜0＜3．解答：解：∵|﹣44，|﹣11，∴﹣4＜﹣1，∴﹣4，0，﹣1，3这四个数的大小关系为﹣4＜﹣1＜0＜3．故选D．点评：本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．2．（2015•重庆A）下列图形是轴对称图形的是（）A．B．C．D考点：轴对称图形．分析：根据轴对称图形的概念求解．解答：解：A、是轴对称图形，故正确；B、不是轴对称图形，故错误；C、不是轴对称图形，故错误；D、不是轴对称图形，故错误．故选A．点评：本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．3．（2015•重庆A）化简的结果是（）A.B.C.D.考点：二次根式的性质及化简．分析：直接利用二次根式的性质化简求出即可．解答：解：=2．故选：B．点评：此题主要考查了二次根式的性质及化简，正确化简二次根式是解题关键．4．（2015•重庆A）计算的结果是（）A.B.C.D.考点：幂的乘方及积的乘方．分析：根据幂的乘方和积的乘方的运算方法：①（am）n（m，n是正整数）；②（）n（n是正整数）；求出的结果是多少即可．解答：解：=（a2）3•b3=即计算的结果是．故选：A．点评：此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（am）n（m，n是正整数）；②（）n．5．（2015•重庆A）下列调查中，最适合用普查方式的是（）A.调查一批电视机的使用寿命情况B.调查某中学九年级一班学生视力情况C.调查重庆市初中学生锻炼所用的时间情况D.调查重庆市初中学生利用网络媒体自主学习的情况考点：全面调查及抽样调查．分析：由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．解答：解：A、调查一批电视机的使用寿命情况，调查局有破坏性，适合抽样调查，故A不符合题意；B、调查某中学九年级一班学生的视力情况，适合普查，故B符合题意；C、调查重庆市初中学生每天锻炼所用的时间情况，调查范围广，适合抽样调查，故C不符合题意；D、调查重庆市初中学生利用网络媒体自主学习的情况，适合抽样调查，故D不符合题意；故选：B．点评：本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．6．（2015•重庆A）如图，直线∥，直线分别及直线相交于点G，H。若1=135°，则2的度数为（）A.65°B.55°C.45°D.35°6题图6题图考点：平行线的性质．分析：根据平行线的性质求出∠2的度数即可．解答：解：∵∥，∠1=135°，∴∠2=180°﹣135°=45°．故选C．点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．7．（2015•重庆A）在某校九年级二班组织的跳绳比赛中，第一小组五位同学跳绳的个数分别为198,230,220,216,209，则这五个数据的中位数为（）A.220B.218C.216D考点：中位数．分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．解答：解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：198，209，216，220，230．位于最中间的数是216，则这组数的中位数是216．故选C．点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后根据奇数和偶数的个数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．8．（2015•重庆A）一元二次方程的根是（）A.B.C.D.考点：解一元二次方程-因式分解法．分析：先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解答：解：，x（x﹣2）=0，0，x﹣2=0，X1=0，x2=2，故选D．点评：本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．9、（2015•重庆A）如图，是的直径，点C在上，是的切线，A为切点，连接并延长交于点D，若80°，则的度数为（）A.40°B.50°C.60°D.20°9题图9题图考点：切线的性质．分析：由是⊙O直径，是⊙O的切线，推出⊥，∠∠∠40°，推出∠50°．解答：解：∵是⊙O直径，是⊙O的切线，∴∠90°，∵∠∠40°，∴∠90°﹣∠50°，故选B．点评：本题主要考查圆周角定理、切线的性质，解题的关键在于连接，构建直角三角形，求∠B的度数．（2015•重庆A）今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间，设他从山脚出发后所用的时间为ｔ（分钟），所走的路程为ｓ（米），ｓ及ｔ之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（）A．小明中途休息用了20分钟B．小明休息前爬上的速度为每分钟70米C．小明在上述过程中所走的路程为6600米D．小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度10题图10题图考点：一次函数的应用．分析：根据函数图象可知，小明40分钟爬山2800米，40～60分钟休息，60～100分钟爬山（3800﹣2800）米，爬山的总路程为3800米，根据路程、速度、时间的关系进行解答即可．解答：解：A、根据图象可知，在40～60分钟，路程没有发生变化，所以小明中途休息的时间为：60﹣40=20分钟，故正确；B、根据图象可知，当40时，2800，所以小明休息前爬山的平均速度为：2800÷40=70（米/分钟），故B正确；C、根据图象可知，小明在上述过程中所走的路程为3800米，故错误；D、小明休息后的爬山的平均速度为：（3800﹣2800）÷（100﹣60）=25（米/分），小明休息前爬山的平均速度为：2800÷40=70（米/分钟），70＞25，所以小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度，故正确；故选：C．点评：本题考查了函数图象，解决本题的关键是读懂函数图象，获取信息，进行解决问题．（2015•重庆A）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第=1\*3\*①个图形中一共有6个小圆圈，其中第=2\*3\*②个图形中一共有9个小圆圈，其中第=3\*3\*③个图形中一共有12个小圆圈，．．．，按此规律排列，则第=7\*3\*⑦个图形中小圆圈的个数为（）=1\*3\*①=2\*3\*②=3\*3\*③A.21B.24C.27D.30考点：规律型：图形的变化类．分析：仔细观察图形，找到图形中圆形个数的通项公式，然后代入7求解即可．解答：解：观察图形得：第1个图形有3+3×1=6个圆圈，第2个图形有3+3×2=9个圆圈，第3个图形有3+3×3=12个圆圈，…第n个图形有3+33（1）个圆圈，当7时，3×（7+1）=24，故选B．点评：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到图形变化的通项公式，难度不大．12．（2015•重庆A）如图，在平面直角坐标系中，菱形在第一象限内，边及轴平行，两点的纵坐标分别为3,1，反比例函数的图像经过两点，则菱形对的面积为（）A.2B.4C.D.12题图12题图考点：菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．分析：过点A作x轴的垂线，及的延长线交于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为3，1，可得出横坐标，即可求得，，再根据勾股定理得出，根据菱形的面积公式：底乘高即可得出答案．解答：解：过点A作x轴的垂线，及的延长线交于点E，∵A，B两点在反比例函数的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A，B横坐标分别为1，3，∴2，2，∴2，S菱形底×高=2×2=4，故选D．点评：本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键．二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.13．（2015•重庆A）我国“南仓”级远洋综合补给舰满载排水量为37000吨，把数37000用科学记数法表示为。考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值及小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将37000用科学记数法表示为3.7×104．故答案为：3.7×104．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14．（2015•重庆A）计算。考点：实数的运算；零指数幂．专题：计算题．分析：原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．解答：解：原式=1﹣2=﹣1．故答案为：﹣1．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15、（2015•重庆A）已知,及的相似比为4:1，则及对应边的高之比为。考点：相似三角形的性质．分析：根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比得出即可．解答：解：∵△∽△，△及△的相似比为4：1，∴△及△对应边上的高之比是4：1，故答案为：4：1．点评：本题考查了相似三角形的性质的应用，能熟练地运用相似三角形的性质进行计算是解此题的关键，注意：相似三角形的对应边上的高之比等于相似比．16、（2015•重庆A）如图，在等腰直角三角形中，90°，，以A为圆心，长为半径作弧，交于点D，则阴影部分的面积是。考点：扇形面积的计算；等腰直角三角形．分析：根据等腰直角三角形性质求出∠A度数，解直角三角形求出和，分别求出△的面积和扇形的面积即可．16题图16题图解答：解：∵△是等腰直角三角形中，∠90°，∴∠∠45°，∵4，∴×45°=4，∴S△=8，S扇形=2π，∴图中阴影部分的面积是8﹣2π，故答案为：8﹣2π．点评：本题考查了扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形，等腰直角三角形性质的应用，解此题的关键是能求出△和扇形的面积，难度适中．17．（2015•重庆A）从这五个数中随机抽取一个数记为，的值既是不等式组的解，又在函数的自变量取值范围内的概率是。考点：概率公式；解一元一次不等式组；函数自变量的取值范围．分析：由a的值既是不等式组的解，又在函数的自变量取值范围内的有﹣3，﹣2，可直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵不等式组的解集是：﹣＜x＜，∴a的值既是不等式组的解的有：﹣3，﹣2，﹣1，0，∵函数的自变量取值范围为：2x2+2x≠0，∴在函数的自变量取值范围内的有﹣3，﹣2，4；∴a的值既是不等式组的解，又在函数的自变量取值范围内的有：﹣3，﹣2；∴a的值既是不等式组的解，又在函数的自变量取值范围内的概率是：．故答案为：．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数及总情况数之比．18．（2015•重庆A）如图，矩形中，10,连接，的角平分线交于点E，现把△绕点B逆时针旋转，记旋转后的△为△，当射线和射线都及线段相交时，设交点分别，若△为等腰三角形，则线段长为。18题图18题图考点：旋转的性质．分析：根据角平分线的性质，可得的长，根据旋转的性质，可得′，E′C′；根据等腰三角形，可得、的关系，根据勾股定理，可得的长，根据正切函数，可得∠，∠的值，根据三角函数的和差，可得的长，根据有理数的减法，可得答案．解答：解：作⊥′于K点，如图：在△中，由勾股定理，得14设，4﹣x，由平分∠，得．解得，．在△中，由勾股定理，得．由旋转的性质，得′，′10，E′C′．△是等腰三角形，，在△中，由勾股定理，得x2=（4）2+（10﹣x）2，解得，10﹣=．，故答案为：．点评：本题考查了旋转的性质，利用了勾股定理，旋转的性质，正切函数的定义，利用三角函数的和差得出的长是解题关键．三、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19．（2015•重庆A）解方程组考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：方程组利用代入消元法求出解即可．解答：解：，①代入②得：32x﹣4=1，解得：1，把1代入①得：﹣2，则方程组的解为．点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法及加减消元法．（2015•重庆A）如图，在△和△中，点在同一直线上，且。求证：.20题图20题图考点：全等三角形的判定及性质．专题：证明题．分析：根据等式的性质得出，再利用得出：△及△全等，进而得出∠∠．解答：证明：∵，∴，即，在△及△中，，∴△≌△（），∴∠∠．点评：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等式的性质得出，再利用全等三角形的判定和性质解答．四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.21．（2015•重庆A）考点：分式的混合运算；整式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．解答：解：（1）原式=2﹣y22+22=42；（2）原式=•=．点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（2015•重庆A）为贯彻政府报告中“全民创新，万众创业”的精神，某镇对辖区内所有的小微企业按年利润（万元）的多少分为以下四个类型：A类（），B类()，C类()，D类()，该镇政府对辖区对辖区内所有的小微企业的相关信息进行统计后,绘制成以下条形统计图和扇形统计图,请你结合图中信息解答下列问题：（1）该镇本次统计的小微企业总个数是。扇形统计图中B类所对应扇形圆心角的度数为度。请补全条形统计图。（2）为进一步解决小微企业在发展中的问题，该镇政府准备召开一次座谈会，每个企业派一名代表参会，计划从D类企业的4个参会代表中随机抽取2个发言，D类企业的4个参会代表中2个来自高新区，另2个来自开发区，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2个发言代表都来自高新区的概率。考点：列表法及树状图法；扇形统计图；条形统计图．分析：（1）由题意可得该镇本次统计的小微企业总个数是：4÷1625（个）；扇形统计图中B类所对应扇形圆心角的度数为：×360°=72°；又由A类小微企业个数为：25﹣5﹣14﹣4=2（个）；即可补全条形统计图；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果及所抽取的2个发言代表都来自高新区的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：（1）该镇本次统计的小微企业总个数是：4÷1625（个）；扇形统计图中B类所对应扇形圆心角的度数为：×360°=72°；故答案为：25，72；A类小微企业个数为：25﹣5﹣14﹣4=2（个）；补全统计图：（2）分别用A，B表示2个来自高新区的，用C，D表示2个来自开发区的．画树状图得：∵共有12种等可能的结果，所抽取的2个发言代表都来自高新区的有2种情况，∴所抽取的2个发言代表都来自高新区的概率为：．点评：此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图及扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数及总情况数之比．23．（2015•重庆A）如果把一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，及从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”.例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所64746是“和谐数”.再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”.(1)请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由；(2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x(，x为自然数)，十位上的数字为y，求y及x的函数关系式.考点：因式分解的应用；规律型：数字的变化类．分析：（1）根据“和谐数”的定义（把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，及从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同）写出四个“和谐数”，设任意四位“和谐数”形式为：，根据和谐数的定义得到，，则，易证得任意四位“和谐数”都可以被11整除；（2）设能被11整除的三位“和谐数”为：，则为正整数．故2x（1≤x≤4，x为自然数）．解答：解：⑴四位“和谐数”：1111，2222，3443，1221等任意一个四位“和谐数”都能被11整数，理由如下：设四位“和谐数”是，则满足：个位到最高位排列：最高位到个位排列：由题意，两组数据相同，则：则所以四位“和谐数”能被11整数又由于的任意性，故任意四位“和谐数”都可以被11整除⑵设能被11整除的三位“和谐数”为：，则满足：个位到最高位排列：最高位到个位排列：由题意，两组数据相同，则：故为正整数故点评：本题考查了因式分解的应用．解题的关键是弄清楚“和谐数”的定义，从而写出符合题意的数．24．（2015•重庆A）某水库大坝的横截面是如图所示的四边形，期中∥.瞭望台正前方水面上有两艘渔船M、N，观察员在瞭望台顶端P处观测渔船M的俯角，观测渔船N在俯角，已知所在直线及所在直线垂直，垂足为点E，长为30米.（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡的坡度.为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝定加宽3米，背水坡的坡度为，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；分式方程的应用；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：（1）在直角△，利用三角函数即可求得的长，根据﹣求解；（2）过点D作⊥于点N，利用三角函数求得和的长，进而求得△的面积，得到需要填筑的土石方数，再根据结果比原计划提前20天完成，列方程求解．解答：⑴在△中，30在△中，∴答：两渔船M、N之间的距离为20米⑵过点D作⊥交直线于点N由题意：，在△中，m在△中，m故42-6=36故需要填筑的土石方共设原计划平均每天填筑，则原计划天完成；增加机械设备后，现在平均每天填筑解得：经检验：是原分式方程的解，且满足实际意义答：该施工队原计划平均每天填筑864的土石方点评：本题考查了仰角的定义以及坡度，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．解答题：（本大题2个小题，每小题12分，共24分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.25．（2015•重庆A）如图1，在△中，90°，60°，点E角平分线上一点，过点E作的垂线，过点A作的线段，两垂线交于点D，连接，点F是的中点，⊥，垂足为H，连接，。（1）如图1，若点H是的中点，，求，的长。（2）如图1，求证：。（3）如图2，连接，，猜想：△是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由。图1图2考点：全等三角形的判定及性质；等边三角形的判定及性质；三角形中位线定理．分析：（1）根据直角三角形的性质和三角函数即可得到结果；（2）如图1，连接，证出△≌△，△