《高等数学（经济类）下册 第2版》课件 12-4 二阶常系数线性微分方程

第十二章微分方程第四节二阶常系数线性微分方程三、二阶常系数齐次线性方程解法一、n阶线性微分方程的定义二、二阶线性微分方程解的结构四、二阶常系数非齐次线性方程解法五、小结一、n阶线性微分方程定义1称形如的方程为n阶线性微分方程；右端函数不恒为零时，称之为非齐次的.称之为齐次的.方程右端函数f(x)恒为零时，以上方程变为例如都是高阶线性微分方程.以上的线性方程中，(1)、(4)是非齐次的；(2)、(3)是齐次的.接下来以n=2时的线性方程为例，来说明解的结构.二、二阶线性微分方程解的结构1、

齐次线性微分方程的解的结构定理1的解，则也是方程(1)的解.说明：对于齐次线性微分方程来说，它的两个解的线性组合

也是方程的解.问题:例如，那么，如何得到二阶齐次线性方程的通解呢？解中只有一个独立的任意常数.定义2使得恒等式成立，则称这n个函数在区间I上是线性相关的，否则称它们是线性无关的.对于两个函数,若比值恒等于常数，则是线性相关的;若比值不恒等于常数，则是线性无关的.定理2的解，且线性无关，则是方程的通解.是该齐次线性微分方程的通解.定理3的n个线性相关的解，则方程2、非齐次线性微分方程的解的结构定理4特解，Y(x)是与方程(2)对应的齐次线性方程(1)的通解，则是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.例如，是它的一个特解，所以是方程的通解.与一阶非齐次线性微分方程解的结构相同.定理5即并且

与分别是微分方程与的解，的解.解的叠加原理.都是微分方程的解,是对应齐次方程的解,常数所求通解为例1解又三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法将其代入上述方程,得故有特征根为其中p,q为实常数.二阶常系数齐次线性微分方程方程通解的求法：特征方程.(1)有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特征根为则一特解为得齐次方程的通解为特征根为(2)有两个相等的实根(3)有一对共轭复根则齐次方程的通解为特征根为根据定理1，则方程的解为均为方程的解，且时线性无关的.利用欧拉公式：注：由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.特征根的情况通解的表达式微分方程特征方程解特征方程为例2解得故所求通解为解方程的特征方程为所以原方程的通解为将初始条件代入通解，于是有得将上式求导，再结合初始条件于是原方程满足初始条件的特解为得例3解特征方程为因此，故所求的通解为例4解得一对共轭的复根四、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法难点：如何求特解？方法：待定系数法.非齐次方程通解的结构二阶常系数非齐次线性方程对应的齐次线性方程方程右端函数f(x)常见类型代入原方程，整理得1、

型设非齐次方程特解为(1)若不是特征方程的根，即则综上，有特解形式为(2)若是特征方程的单根，即(3)若是特征方程的重根，即解又由题意，由特征方程例5于是原方程对应的齐次线性方程的通解为得故可设特解形式为则代入原方程，得比较两边的系数，得于是原方程的特解为综上，原方程的通解为解例6显然，由特征方程得故可设特解形式为则于是得到原方程的一个特解为代入原方程，得比较两边的系数，得解于是原方程对应的齐次线性方程的通解为又由题意，由特征方程得故可设特解形式为例7则解例7代入原方程，化简得比较两边的系数，得于是得到原方程的一个特解因此，原方程的通解为又因此，原方程满足所给初始条件的特解为特别地，设特解形式为解例8故可设特解形式为由特征方程得由题意，右端函数为比较上式等号两边的系数，得于是得到原方程的一个特解将代入原方程，得解例9故其对应的齐次线性微分方程的通解为再分别利用待定系数法，求得由特征方程得右端函数可看作两个函数之和根据解的叠加原理，可分别求两个方程的特解.方程的一个特解为的一个特解为方程解例9所以，原方程的特解为综上，原方程的通解为1、线性方程解的结构；2、二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1