第二十六章 二次函数（64道压轴题专练）

第二十六章二次函数（7大题型）（64道压轴题专练）压轴题型一二次函数的图象与各系数符号的关系1．（23·24上·黄石·开学考试）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③若，则；④，其中正确的结论有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（23·24上·专题练习）抛物线（是常数且）经过点A（3，0）．下列四个结论：①该抛物线一定经过；②；③点，在抛物线上，且，则；④若是方程的两个根，其中，则．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（21·22下·株洲·二模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有（

）

A．①②⑤ B．①④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤4．（21·22下·滨州·二模）如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标是，与x轴的一个交点是，点P在抛物线上，且在直线上方，则下列结论正确的是(

)

A．B．方程有两个不相等的实数根C．D．点P到直线的最大距离5．（22·23下·日照·期末）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③，是抛物线上两点，则；④若关于x的一元二次方程没有实数根，则；⑤对于任意实数m，总有．其中正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6．（23·24上·武汉·阶段练习）已知抛物线的图象经过，顶点是，且，下列四个结论：①；②；③的解集是或；④点，在抛物线上，当时，．其中正确的是（填写序号）．7．（23·24上·武汉·阶段练习）抛物线（a、b、c是常数，且）经过点，其中，且对称轴是直线，下列结论：①；②；③当t为全体实数时，总成立；④若，该抛物线上存在、两点，满足，则m的取值范围是，其中正确的有．8．（22·23下·武汉·三模）二次函数(，，是常数，的自变量与函数值的部分对应值如表：…-1012…且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①；②当时，随的增大而减小；③关于的方程的两个根是和；④．其中正确的结论是．(填写序号)9．（22·23下·武汉·一模）二次函数（a，b，c为常数）中的x与y的部分对应值如下表：x-1.4012.4y-1.42.452.4①；②当时，y的值随x值的增大而减小；③是方程的一个根；④当时，．以上结论正确的是（填序号）．10．（22·23下·武汉·一模）已知函数（为常数）的图象经过点．下列结论：①；②当时，；③若，则函数图象与轴有两个公共点；④若，则当时，随的增大而增大，其中正确的结论是（填写序号）．压轴题型二二次函数的平移问题1．（22·23下·济南·二模）如图，抛物线与直线交于A、B两点，与直线交于点P，将抛物线沿着射线平移个单位，在整个平移过程中，点P经过的路程为（

）

A．6 B． C． D．2．（2022下·嘉兴·一模）已知抛物线与直线有且只有一个交点，若c为整数，则c的值有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2021下·济南·中考真题）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点的限变点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（22·23下·广州·一模）如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，交抛物线于点，．则以下结论：①无论取何值，总是负数；②抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当时，随着的增大，的值先增大后减小；④四边形为正方形．其中正确的是．（填写正确的序号）5．（2021下·合肥·二模）已知函数与y轴交于点C，顶点为D．直线交x轴于点E，点F在直线上，且横坐标为4，现在，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段总有公共点．抛物线向上最多可以平移个单位长度，向下最多可以平移个单位长度．6．（22·23上·莆田·阶段练习）抛物线经过两点，则关于x的不等式的解集为．7．（23·24上·恩施·阶段练习）抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），顶点在y轴的正半轴上，点E，D在抛物线上，．

(1)求点A，B的坐标；(2)求m与n之间的关系式；(3)若的面积是96，求点E的坐标．8．（23·24上·大庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，菱形的顶点，在轴的负半轴，抛物线过点．(1)求的值；(2)若把抛物线沿轴向左平移个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形的顶点．试判断点是否落在平移后的抛物线上，并说明理由．(3)在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在直接写出点坐标，若不存在请说明理由．9．（23·24上·合肥·阶段练习）已知抛物线（为常数，）过点，顶点为点．(1)当时，求此抛物线顶点的坐标；(2)当时，若△的面积为4，求此抛物线的解析式；(3)将抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位，得到新抛物线的顶点为A，与轴交点为B，点M在直线上，点N在直线上，当四边形的周长最小时，恰好有，求的值．压轴题型三二次函数的图象与性质综合1．（23·24上·杭州·阶段练习）已知二次函数，当时，则下列说法正确的是（

）A．当时，有最小值 B．当时，有最大值C．当时，无最小值 D．当时，有最大值2．（23·24上·合肥·期中）已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为：（

）A． B．或C．或 D．或3．（23·24上·武汉·阶段练习）无论为何值，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是（

）A． B．或 C． D．或4．（23·24上·西城·阶段练习）已知某函数的图象过，两点，下面有四个推断：①若此函数的图象为直线，则此函数的图象经过；②若此函数的图象为抛物线，且经过，则该抛物线开口向下；③若此函数的解析式为，且经过原点，则；④若此函数的解析式为，开口向下，且，则a的范围是．所有合理推断的序号是．5．（23·24上·武汉·阶段练习）已知抛物线，(为常数)若对满足的任意实数，都使得成立，别实数的取值范围是．6．（22·23下·亳州·开学考试）若抛物线过点和两点，且顶点在第二象限．（1）若该抛物线的对称轴，则．（2）设，则P的取值范围是．7．（23·24上·西城·期中）已知点，在抛物线的图象上，设抛物线的对称轴为．(1)若，，则_______；(2)当，时，都有，求的取值范围．8．（23·24上·朝阳·期中）已知抛物线．(1)求该抛物线的项点坐标（用含的式子表示）；(2)抛物线上有不同的两点，若，直接写出的值；(3)点在抛物线上，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由．9．（23·24上·门头沟·期中）已知抛物线．(1)直接写出抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；(2)若点，在抛物线上，直接写出a的取值范围；(3)若，，都在抛物线上，是否存在实数m，使得恒成立?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．压轴题型四二次函数的最值问题1．（22·23下·二模）安安同学在正三角形中放入正方形和正方形（两个正方形不重叠），使得在边AB上，点P，N分别在边上．下列说法正确的是（）A．两个正方形边长和的最小值为 B．两个正方形的边长差为3C．两个正方形面积和的最小值为 D．两个正方形面积和的最大值为2．（22·23下·三明·二模）已知二次函数（是常数，且）的最大值为，且该二次函数图像经过点，两点，则的值可能是(

)A． B． C．0 D．13．（22·23下·岳阳·一模）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则的最大值为（

）A．4 B．6 C．8 D．4．（22·23上·开学考试）已知抛物线经过点．（1）和的代数关系为；（2）若，过点作直线轴，与轴交于点，与抛物线交于另一点，，点为直线上方抛物线上一点，求点到直线距离的最大值为．5．（22·23·成都·三模）定义：将函数的图象绕点旋转，得到新的函数的图象，我们称函数是函数关于点P的相关函数．如果当时，函数关于点的相关函数的最大值为8，则m的值为．6．（22·23下·合肥·二模）已知：关于的二次函数，（1）当时，函数的最大值为．（2）若函数的最大值为，则的最小值为．7．（23·24上·苏州·阶段练习）已知抛物线与直线都经过点，抛物线与y轴交点为，过点B作x轴平行线，与抛物线的另一个交点为C，直线与抛物线对称轴交与点D，将点D向上平移一个单位得到点E，点E不在直线上方．(1)______；______；______；（均用含m的代数式表示）(2)若抛物线的顶点为G，求的最小值及此时m的值；(3)连接、、，直接写出是______三角形．8．（23·24上·广州·期中）已知函数，记该函数图象为．(1)当时，①已知在该函数图象上，求的值；②当时，求函数的最大值．(2)当时，作直线与轴交于点，与函数交于点，若时，求的值；(3)当时，设图象与轴交于点，与轴交于点，过点作交直线于点，设点的横坐标为点的纵坐标为，若，求的值．9．（23·24上·鸡西·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点C．

(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图①，二次函数图象的对称轴与直线AC交于点D，若E是直线AC上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值；(3)如图②，P是直线AC上的一个动点，是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．压轴题型五二次函数的存在性问题1．（22·23上·济南·期末）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点．(1)求抛物线的表达式和对称轴；(2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值；(3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．（22·23上·南川·期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴于，两点，与y轴交于C点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)当动点Р运动到什么位置时，使四边形ACPB的面积最大，求出此时四边形ACPB的面积最大值和P的坐标；(3)如图2，点M在抛物线对称轴上，点N是平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以点M、N、A、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有M点的坐标；若不存在，请说明理由．3．（22·23下·永州·一模）已知抛物线（，为常数，且）的对称轴为，且过点．点是抛物线上的一个动点，点的横坐标为，直线的解析式为，直线与轴相交于点，与轴相交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)当直线与抛物线只有一个交点时，求点的坐标；(3)当时，是否存在的值，使函数的最大值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．4．（22·23下·临沧·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线的对称轴上．(1)若点E在x轴下方的抛物线上，求面积的最大值．(2)抛物线上是否存在一点F，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．5．（22·23下·株洲·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，直线经过、两点．

(1)求二次函数的表达式．(2)求点的坐标及直线的表达式．(3)在直线上方的抛物线上存在一动点，过点作轴，交于点，请求出线段的最大值．6．（22·23·绥化·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．

(1)求这个二次函数的表达式．(2)连接、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)当点运动到什么位置时，使的面积最大，求出点的坐标和的面积最大值．7．（22·23上·洛阳·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上；

(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得周长最小，若存在，求出P点的坐标及周长的最小值；(3)若点M是直线下方的抛物线上的一动点，过M作y轴的平行线与线段交于点N，求线段的最大值．8．（22·23下·聊城·三模）抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，点P为抛物线上的动点．

(1)求b，c的值；(2)若P为直线上方抛物线上的动点，作轴交直线于点H，求的最大值；(3)点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使直线垂直平分线段？若存在，请直接写出点N的纵坐标；若不存在，请说明理由．9．（22·23上·绵阳·期中）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点．(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的对称轴上是存在点K，使为等腰三角形，若存在，请求出K点坐标，若不存在，请说明理由；(3)如图2，若点P是二次函数图象上位于下方的一个动点，作交于M，设点P的横坐标为t，求的最大值．压轴题型六二次函数与一元二次方程关系1．（23·24上·西城·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，两点，且．若将此抛物线先向左平移3个单位，再向下平移个单位，所得新抛物线与轴两个交点间的距离为8，则的值为（

）．

A．6 B．12 C．24 D．362．（23·24上·西城·期中）抛物线与轴交于两点，若点的坐标是，则点的坐标为（

）．A． B． C． D．3．（23·24上·中山·期中）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是（

）A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为C．，两点之间的距离为7 D．当时，的值随值的增大而增大4．（23·24上·南通·阶段练习）二次函数的图象如图所示，若关于x的一元二次方程的两个实数根异号，则m的取值范围是．

5．（23·24上·苏州·阶段练习）我们约定：为函数的关联数，当其图像与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为的函数图像与x轴有两个整交点（m为正整数），则m为．6．（23·24上·苏州·阶段练习）若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线与x轴的公共点坐标为．7．（23·24上·武汉·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点．

(1)的值为___________；(2)当满足___________时，的值随值的增大而减小；(3)当满足___________时，抛物线在轴上方；(4)当满足时，的取值范围是___________．8．（22·23上·淮安·阶段练习）如图．已知二次函数的图像与轴的一个交点为，与轴交于点．

(1)______；(2)此二次函数关系式为______；(3)在轴的负半轴上是否存在点．使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．9．（23·24上·宁波·阶段练习）如图，抛物线与直线相交于点，，点的横坐标为，与轴相交于点．

(1)求出抛物线的解析式．(2)求出抛物线与轴的交点坐标．(3)根据图象，当时，直接写出自变量的取值范围．压轴题型七二次函数的综合应用（含参）1．（23·24上·咸宁·阶段练习）某超市销售一种商品，成本价为20元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．设每天的总利润为w元．

(1)根据图象求出y与x之间的函数关系式；(2)请求出w与x之间的函数关系式，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？(3)若该超市销售该商品所获利润不低于2800元，请直接写出x的取值范围．之间的关系式，在滑道上设置了几个固定的计时点，测得一些数据（如表格）．位置编号①②③④⑤⑥滑行时间t/s01234滑行距离s/m0131448为观察s与t之间的关系，建立坐标系，以t为横坐标，s为纵坐标，描出表中数据对应的点（如图）．可以看出，其中绝大部分的点都近似的位于某条抛物线上．于是，我们用二次函数来近似的表示s与t的关系．

(1)在位置①处，当时，，所以______；(2)有一个计时点的计时装置出现了故障，请同学们用平滑曲线连接这些绝大部分的点，通过观察发现故障点的位置编号可能是______；(3)利用函数图象推测当此滑雪者滑行距离为30m时，用时约为______s（结果保留一位小数）；(4)求s与t的函数关系式，并求出滑雪者在故障位置的滑行距离．3．（23·24上·阶段练习）如图，函数的图象交轴于点和点，交轴于点．

(1)求抛物线的函数解析式；(2)点在抛物线上，求当时点的坐标．4．（21·22·模拟预测）问题提出：（1）如图1，等边的边长为1，是边上的一点，过点作，垂足为．设线段的长度为，的面积为，求与的函数关系式．问题解决：（2）某路口拐角处有一个五边形空地．为方便市民出行的需要，市政局准备在这片空地上给广大来往群众搭建一个既能遮阳又能避雨的遮阳棚．经过勘测发现，在如图2所示的五边形中，，，米，，根据该路口的实际条件限制，需将遮阳棚形状设计为三角形，且的顶点、、分别在边、、上，为的中点，，为进一步提升市民的出行体验，想让遮阳棚面积尽可能大．请问，是否存在符合设计要求的面积最大的？若存在，求面积的最大值；若不存在，请说明理由．

5．（23·24上·武汉·阶段练习）跳台滑雪是北京冬奥会的比赛项目之一，下图是某跳台滑雪场地的截面示意图．平台长1米(即)，平台AB距地面18米，以地面所在直线为x轴，过点B垂直于地面的直线为y轴，取1米为单位长度，建立平面直角坐标系，已知滑道对应的函数为．运动员(看成点)在方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落过程中的某位置(忽略空气阻力)．设运动员飞出时间为t秒，运动员与点A的竖直距离为h米，运动员与点A的水平距离为l米，经实验表明：．

(1)求滑道对应的函数表达式：(2)当米每秒，秒时，通过计算判断运动员此时是否已落在滑道上；(3)在试跳中，某运动员以6米每秒的速度从A处飞出，其飞行路径近似看作抛物线的一部分，着陆时水平距离为d，直接写出飞行路径的函数解析式和d的值．6．（22·23·衢州·中考真题）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．

(1)求出启航阶段关于的函数表达式（写出自变量的取值范围），(2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s．①当时，求出此时龙舟划行的总路程，②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，视为达标，请说明该龙舟队能否达标；(3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）．7．（22·23下·保定·一模）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的B处发出，球每次出手后的运动轨迹都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点B高出1米，已知米，排球场的边界点A距O点的水平距离为米，球网高度为米，且．(1)C点的坐标为（用含m的代数式表示）(2)当时，求抛物线的表达式．(3)当时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．(4)若运动员调整起跳高度，使球在点A处落地，此时形成的抛物线记为，球落地后立即向右弹起，形成另一条与形状相同的抛物线，且此时排球运行的最大高度为1米，球场外有一个可以移动的纵切面为梯形的无盖排球回收框（），其中米，米，米，若排球经过向右反弹后沿的轨迹落入回收框内（下落过程中碰到P、Q点均视为落入框内），设M点横坐标的最大值与最小值的差为d，请直接写出d的值．8．（22·23下·宿州·模拟预测）甲、乙两汽车出租公司均有辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费元，那么辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租费每增加元，那么将少租出辆汽车，另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计元．说明：①汽车数量为整数；②月利润月租车费月维护费；在两公司租出的汽车数量相等且都为（单位：辆，）的条件下，甲的利润用表示（单位：元），乙的利润用（单位：元）表示，根据上述信息，解决下列问题：(1)分别表示出甲、乙的利润，什么情况下甲、乙的利润相同？(2)甲公司最多比乙公司利润多多少元？(3)甲公司热心公益事业，每租出辆汽车捐出元（）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围．9．（23·24上·武汉·阶段练习）已知抛物线的顶点为D，与x轴交于A，B两点（A在B左边）．(1)若该抛物线的顶点D坐标为，求其解析式；(2)如图（1），在（1）的条件下，P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，射线，分别与抛物线交于M，N两点，求的值．(3)如图（2），已知抛物线的顶点D在直线上滑动，且与直线l交于另一点E，若的面积为，求抛物线顶点D的坐标；

第二十六章二次函数（7大题型）（64道压轴题专练）压轴题型一二次函数的图象与各系数符号的关系1．（23·24上·黄石·开学考试）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③若，则；④，其中正确的结论有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】开口向下，故，与y轴交于负半轴，故；对称轴在直线右侧，故，所以；故①正确；对称轴在直线右侧，故，可推出，故②错误；由，得，于是，故③正确；时，，结合，得，可推出，故④正确；【详解】解：如图，开口向下，故；抛物线与y轴交于负半轴，故；对称轴在直线右侧，故，所以；∴．故①正确；对称轴在直线右侧，故，∴．∴，故②错误；∵，，∴．∴，故③正确；∵，∴，时，，∵，∴∴．∴，故④正确；故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，根据图象确定参数的取值范围，对轴轴信息及关键点信息是解题的关键．2．（23·24上·专题练习）抛物线（是常数且）经过点A（3，0）．下列四个结论：①该抛物线一定经过；②；③点，在抛物线上，且，则；④若是方程的两个根，其中，则．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由函数解析式可得函数的对称轴为直线，再根据二次函数的图像和性质，逐一分析，判断对错即可解答．【详解】解：①∵抛物线经过点，，，当时，，，∴该抛物线一定经过，故此项正确；②由①得：，，，，，，，故此项正确；③抛物线的对称轴为直线，当时，，，，也符合题意与矛盾，故此项错误．④∵抛物线，对称轴为直线，抛物线对称轴为直线，∴抛物线图象向左平移2个单位得到抛物线的图象，∵抛物线经过点，∴抛物线经过点，是方程的两个根，是抛物线与直线交点的横坐标，，，故此项正确，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质和数形结合的思想，掌握二次函数的基本性质并会灵活应用是解题的关键．3．（21·22下·株洲·二模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有（

）

A．①②⑤ B．①④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤【答案】C【分析】根据抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线的对称轴公式可判断b与a的关系，由抛物线与y轴的交点判断c的取值范围，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由图象可知该二次函数图象开口向上，与y轴的交点位于x轴下方，对称轴为直线，∴，，，∴，∴，故①正确；由图象可知当时，二次函数值为0，又∵对称轴为直线，∴当时，二次函数值为0，∴当时，二次函数值小于0，即，故②错误；③∵该抛物线图象与y轴的交点B在和之间，，对称轴为直线，∴顶点的纵坐标要小于，∴．∵，∴，故③正确；∵该抛物线图象与y轴的交点B在和之间，∴．∵与x轴交于点，∴，∴，∴，∴，故④正确；∵，，，∴，故⑤正确．综上可知正确的为①③④⑤．故选C．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用．4．（21·22下·滨州·二模）如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标是，与x轴的一个交点是，点P在抛物线上，且在直线上方，则下列结论正确的是(

)

A．B．方程有两个不相等的实数根C．D．点P到直线的最大距离【答案】C【分析】根据图象可知，，再由对称轴可知，可判断①；根据抛物线的顶点可知方程有且只有一个实数根，可判断②；当时函数有最大值，由此可判断③；求出函数的解析式和直线的解析式，当的面积最大值时，P点到的距离最大，过P点作轴交于点G，用同一参数的代数式分别表示点P，G的坐标，表示出，运用二次函数性质，可求得的最大值，当取最大值时，的面积最大，从而求得P点到的距离最大值，由此判断④．【详解】解：由图象可知开口向下，∴，∵函数与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴，∵对称轴为直线，∴，∴，故A不符合题意；∵抛物线的顶点坐标是，∴时，方程的解为，∴方程有两个相等的实数根，故B不符合题意；当时，，∴，即，故C符合题意；设直线的解析式为，∴，解得，∴，设抛物线，将点代入，∴，解得，∴，过P点作轴交于点G，设P点坐标为，则，∴，∴当时，有最大值，此时，为最大值，由图，，设点P到的距离为h，则当最大时，h取最大值，∴解得，∴点P到直线AB的最大距离为，故D不符合题意；故选：C．

【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息，结合函数的性质，尤其是配方法求极值是解题的关键．5．（22·23下·日照·期末）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③，是抛物线上两点，则；④若关于x的一元二次方程没有实数根，则；⑤对于任意实数m，总有．其中正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与轴轴的交点，综合判断即可．【详解】解：抛物线开口向上，则，对称轴，则，，，所以①正确；抛物线对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为，于是有，联立，解得，，所以②正确；抛物线的解析式为，，是抛物线上两点，，，即，所以③错误；若关于x的一元二次方程没有实数根，，，，，，所以④正确；抛物线与轴有两个不同交点，因此关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以④正确；对于任意实数m，总有故⑤正确．综上所述，正确的结论有：①②④⑤．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是正确判断的前提．6．（23·24上·武汉·阶段练习）已知抛物线的图象经过，顶点是，且，下列四个结论：①；②；③的解集是或；④点，在抛物线上，当时，．其中正确的是（填写序号）．【答案】①③④【分析】由已知可得抛物线开口方向及对称轴，从而可得，符号，由及抛物线对称轴为直线可得抛物线与轴的另一交点坐标，从而可得的符号，进而判断①②，由与的关系可得的解，从而判断③，由抛物线的对称轴及开口方向可得时随增大而减小，再根据可得，，从而判断④．【详解】解：抛物线经过，顶点是，且，顶点为最低点，即抛物线开口向上，，由抛物线的对称性可得抛物线经过，时，，时，抛物线与轴交点在轴下方，即，，，，①正确．当时，，时，，②错误．，，抛物线与轴交点坐标为，，，抛物线开口向上，或时，，③正确．当时，，，时，随增大而减小，，④正确．故答案为：①③④．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．7．（23·24上·武汉·阶段练习）抛物线（a、b、c是常数，且）经过点，其中，且对称轴是直线，下列结论：①；②；③当t为全体实数时，总成立；④若，该抛物线上存在、两点，满足，则m的取值范围是，其中正确的有．【答案】①②④【分析】由抛物线的开口方向及对称轴，可确定b的符号，再可确定抛物线与x轴的另一个交点，结合二次函数的性质即可确定c的符号，从而可判断①；由①得，当时有，只要确定的大小，利用函数的增减性即可判断②；由题意知，函数当时取得最大值，因此，对任意实数t，都有，整理即可判断③；由抛物线上存在、两点，满足，则应在对称轴的两侧，则有，解不等式组即可，从而可判断④，最后可确定答案．【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，，∴，即，∴；∵抛物线经过点，其中，∴由抛物线的对称性质，抛物线的另一个交点为，∴，∵当时，y随x的增大而减小，∴当时，时，，∴，故①正确；由①得，则当时有，∵，∴，即，由函数的增减性知，故②正确；由题意知，函数当时取得最大值，∴对任意实数t，都有，即，∵，∴整理即可判断③；当，该抛物线上存在、两点，满足，∴应在对称轴的两侧，∴有，解不等式组得：，故④正确；∴正确的有①②④，故答案为：①②④．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．8．（22·23下·武汉·三模）二次函数(，，是常数，的自变量与函数值的部分对应值如表：…-1012…且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①；②当时，随的增大而减小；③关于的方程的两个根是和；④．其中正确的结论是．(填写序号)【答案】①③④【分析】根据题意得：函数图象的对称轴为，可得，再由当时，，可得；由，可得，再由当时，与其对应的函数值，可得，从而得到图象在对称轴右侧y随x的增大而增大；根据二次函数图象的对称轴为，可得点关于对称轴的对称点为，从而得到关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根是和；再由当时，，当时，，可得，即可求解．【详解】解：①根据题意得：函数图象的对称轴为，即，∴异号，∴，∵当时，，即，∴，故①正确；②∵，∴，当时，，解得：，∴二次函数图象开口向上，∴图象在对称轴右侧y随x的增大而增大，∴当x>1时，y随x的增大而增大，故②错误；③∵二次函数图象的对称轴为，∴点关于对称轴的对称点为，∴关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根是和，故③正确；④当时，，当时，，∴，故④正确，∴正确的结论是①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．9．（22·23下·武汉·一模）二次函数（a，b，c为常数）中的x与y的部分对应值如下表：x-1.4012.4y-1.42.452.4①；②当时，y的值随x值的增大而减小；③是方程的一个根；④当时，．以上结论正确的是（填序号）．【答案】①③④【分析】根据表格数据可得抛物线的对称轴为直线且开后向下，即可判定①；由对称轴为对称轴为直线且开后向下，则当时，y的值随x值的增大而减小，可判定②；然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．【详解】解：①由图表中数据可得出抛物线且开后向下，∴，即①正确；②二次函数开口向下，且对称轴为，当时，y的值随x值的增大而减小，故②错误；③时，，∴，将代入可得：，即是方程的一个根，故③正确；④时，，时，，时，，则且函数有最大值，当时，，故④正确．故答案为①③④．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图像与系数的关系、抛物线与x轴的交点、二次函数与不等式等知识点，熟练掌握二次函数图像和性质是解题的关键．10．（22·23下·武汉·一模）已知函数（为常数）的图象经过点．下列结论：①；②当时，；③若，则函数图象与轴有两个公共点；④若，则当时，随的增大而增大，其中正确的结论是（填写序号）．【答案】①②③④【分析】根据抛物线与x轴的交点得出、b的关系，进而得到，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．【详解】∵抛物线与x轴的交点为，∴，000∴，故①正确，由①可知，，∴，∵，∴，∴，∴，故②正确，令，则，，∵∴，∴若，则函数图象与轴有两个公共点，即选项③正确，设，是方程的两个实数根，则，当时，则，∵点抛物线与x轴的一个交点，∴令，则，∵，∴，∵∴抛物线开口向下，∴若，则当时，随的增大而增大，即选项④正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了二次函数图象与性质．掌握二次函数图像上点的坐标特征以及对称轴方程求法是关键.压轴题型二二次函数的平移问题1．（22·23下·济南·二模）如图，抛物线与直线交于A、B两点，与直线交于点P，将抛物线沿着射线平移个单位，在整个平移过程中，点P经过的路程为（

）

A．6 B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可得由题意得，当抛物线沿着射线平移个单位时，相当于将点A先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，则平移后的解析式为，再根据点P在直线，直接把代入得到点P的纵坐标与a的二次函数，然后根据二次函数的性质求解即可.【详解】解：由题意得，当抛物线沿着射线平移个单位时，相当于将点A先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，∵原抛物线解析式为，∴平移后的解析式为令时，则，∴当时，，∵，∴当时，，当时，，∴当时，在平移过程中点P的运动路程为，当时，在平移过程中点P的运动路程为，∴整个平移过程中，点P的运动路程为，故选B．【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的特征等知识，解题的关键是灵活运用平移的性质解决问题，学会利用参数，构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．2．（2022下·嘉兴·一模）已知抛物线与直线有且只有一个交点，若c为整数，则c的值有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】由函数解析式作出抛物线与直线的图象，根据图象关系计算求值即可；【详解】解：∵，对称轴为：，∴x=0时，y=c；x=-3时，y=c，如图为抛物线与直线关系图，由图象可知：①当直线过抛物线左端点时c=-5，当直线过抛物线右端点时c=-2，∴当-5≤c＜-2时，直线与抛物线只有一个交点，∴c为整数时可取-5，-4，-3，②令，则，时，解得c=-1，此时方程有两个相等的实数根，抛物线与直线只有一个交点，∴c的值为：-5，-4，-3，-1，故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点问题，利用图象法确定交点个数是解题关键．3．（2021下·济南·中考真题）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点的限变点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，当时，的图象向下平移4个单位，当时，，的图象关于轴对称，据此即可求得其限变点的纵坐标的取值范围，作出函数图像，直观的观察可得到的取值范围【详解】点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的图像即为图中虚线部分，如图，当时，的图象向下平移4个单位，当时，的图象关于轴对称，从图可知函数的最大值是当时，取得最大值3，最小值是当时，取得最小值，．故选D．【点睛】本题考查了新定义，二次函数的最值问题，分段讨论函数的最值，可以通过函数图像辅助求解，理解新定义，画出函数图像是解题的关键．4．（22·23下·广州·一模）如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，交抛物线于点，．则以下结论：①无论取何值，总是负数；②抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当时，随着的增大，的值先增大后减小；④四边形为正方形．其中正确的是．（填写正确的序号）【答案】①②④【分析】①根据非负数的相反数或者直接由图像判断即可；②先求抛物线的解析式，再根据抛物线的顶点坐标，判断平移方向和平移距离即可判断②；③先根据题意得出时，观察图像可知，然后计算，进而根据一次函数的性质即可判断；④分别计算出的坐标，根据正方形的判定定理进行判断即可．【详解】①，，，无论取何值，总是负数，故①正确；②抛物线与抛物线交于点，，即，解得，抛物线，抛物线的顶点，抛物线的顶点为，将向右平移3个单位，再向下平移3个单位即为，即将抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位可得到抛物线，故②正确；③，将代入抛物线，解得，，将代入抛物线，解得，，，从图像可知抛物线的图像在抛物线图像的上方，当，随着的增大，的值减小，故③不正确；④设与轴交于点，，，由③可知，，，，当时，，即，，，四边形是平行四边形，，四边形是正方形，故④正确，综上所述，正确的有①②④，故答案为：①②④．【点睛】本题考查了二次函数图像与性质，一次函数的性质，平移，正方形的判定定理，解题的关键是综合运用以上知识．5．（2021下·合肥·二模）已知函数与y轴交于点C，顶点为D．直线交x轴于点E，点F在直线上，且横坐标为4，现在，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段总有公共点．抛物线向上最多可以平移个单位长度，向下最多可以平移个单位长度．【答案】36【分析】求得直线CD的解析式，根据平移规律，设出平移后的解析式，利用解析式联立方程组，转化为一元二次方程的根的判别式问题，不等式的解集，求解即可【详解】∵函数与y轴交于点C，顶点为D，∴点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（1，），设直线CD的解析式为y=kx+b，∴，∴，∴直线CD的解析式为，当y=0时，，解得x=-8，∴点E（-8，0），当x=4时，y=，∴点F（4，6），设最多上移n个单位，此时解析式为，∴当x=-8时，，∵抛物线与直线有公共点，∴y≤0∴≤0,∴n≤36,∴抛物线最多上移36个单位，设向下最多可以平移m个单位，根据题意，得，∴，整理，得，当△=0时，有一个公共点，∴，解得m=；故答案为：36；【点睛】本题考查了抛物线与一次函数的交点，二次函数的平移，不等式的解法，根的判别式，熟练掌握二次函数的平移规律，活用根的判别式是解题的关键．6．（22·23上·莆田·阶段练习）抛物线经过两点，则关于x的不等式的解集为．【答案】【分析】直接利用二次函数大致图象结合不等式与函数关系得出答案．【详解】解：∵抛物线经过两点，∴图像大致如下：∴函数与交于，∴关于x的不等式的解集为：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，二次函数的平移，数形结合是解题关键．7．（23·24上·恩施·阶段练习）抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），顶点在y轴的正半轴上，点E，D在抛物线上，．

(1)求点A，B的坐标；(2)求m与n之间的关系式；(3)若的面积是96，求点E的坐标．【答案】(1)，详见解析(2)，详见解析(3)，详见解析【分析】（1）令，解得：，即可求解；（2）点A向右平移2个单位向上平移n个单位得到点C，则点E向右平移2个单位向上平移n个单位得到点，即可求解；（3）由，即可求解．【详解】（1）令，解得，即点A、B的坐标分别为：；（2）∵点，点E的坐标为，又因为点A向右平移2个单位向上平移n个单位得到点C，∴点E向右平移2个单位向上平移n个单位得到点，将点D的坐标代入抛物线表达式得：，整理得：；（3）连接，过点E作y轴的平行线交x轴于点M，交过点C与x轴的平行线与点N，

则，解得（舍去）或4，故点E的坐标为．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．8．（23·24上·大庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，菱形的顶点，在轴的负半轴，抛物线过点．(1)求的值；(2)若把抛物线沿轴向左平移个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形的顶点．试判断点是否落在平移后的抛物线上，并说明理由．(3)在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在直接写出点坐标，若不存在请说明理由．【答案】(1)(2)当时，点在平移后的抛物线上;当时,点不在平移后的抛物线上(3)存在，，，，【分析】（1）将点的坐标代入二次函数解析式中，可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．（2）设与轴交于点，结合勾股定理以及菱形的性质找出点的坐标，根据二次函数的解析式求出该抛物线与轴的交点坐标，再根据平移的性质找出平移后过点的二次函数的解析式，代入点的坐标来验证其是否在平移后的函数图象上即可得出结论．（3）分情况进行讨论，分别以为斜边进行计算，结合两直线垂直斜率乘积等于进行计算即可求出．【详解】（1）解：∵过点，代入得：解得：．（2）当时.点在平移后的抛物线上;当时,点不在平移后的抛物线上,理由:设与轴交于点,则轴,,.∵四边形是菱形,∴,.点的坐标为.如图：令,得.解得：..当时,平移后的抛物线为令.得∴点在平移后的抛物线上.当时,平移后的抛物线为令，∴点不在平移后的抛物线上.综上所述：当时.点在平移后的抛物线上;当时,点不在平移后的抛物线上．（3）解：是菱形，设①以为直角，为斜边整理得：解得：，②以为直角，为斜边同理：解得：③以为直角，为斜边同理：解得：综上所述：存在点，坐标为：，，，．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换及菱形的性质.确定出平移的的值，并采用分类讨论的方法求解是解题的关键．9．（23·24上·合肥·阶段练习）已知抛物线（为常数，）过点，顶点为点．(1)当时，求此抛物线顶点的坐标；(2)当时，若△的面积为4，求此抛物线的解析式；(3)将抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位，得到新抛物线的顶点为A，与轴交点为B，点M在直线上，点N在直线上，当四边形的周长最小时，恰好有，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）将，代入抛物线，可得函数解析式，即可解答；（2）先求出点P坐标，求得抛物线对称轴与直线的交点C的坐标，根据，即可解答；（3）写出新抛物线的解析式为，可得，，如图，作B点关于的对称点，作A点关于的对称点，连接交、于点，此时四边形的周长最小，再求解直线的解析式，直线的解析式，结合建立方程求解即可．【详解】（1）解：将，代入抛物线，得，解得，抛物线的解析式为，；（2）如图，的对称轴为直线，顶点P坐标为，而，过作轴交于C，

设直线的解析式为，将代入，∴，直线的解析式为，，将代入，得，，，，解得，抛物线的解析式为；（3）如图，

∵抛物线为，而，则，∴平移后的抛物线，，如图，作B点关于的对称点，作A点关于的对称点，连接交、于点，此时四边形的周长最小，设直线的解析式为，将，代入可得，解得，直线的解析式为，

设直线的解析式为，将，代入可得，解得，直线的解析式为，，，解得．【点睛】本题为二次函数综合题目，考查了二次函数的性质，二次函数的平移，熟练画出大概图形并作出四边形周长最小时的图形是解题的关键．压轴题型三二次函数的图象与性质综合1．（23·24上·杭州·阶段练习）已知二次函数，当时，则下列说法正确的是（

）A．当时，有最小值 B．当时，有最大值C．当时，无最小值 D．当时，有最大值【答案】B【分析】根据抛物线的性质，分当时，时两种情况进行判断，即可得出结论．【详解】解：当时，当，在轴同侧时，，都越大时，越接近于，但不能取，即没有最小值，当，异号时，当，时，最大，当时，当，在轴同侧时，，离轴越远，越大，但取不到最大，当，在轴两侧时，当，时，取到最小，最小值为，故选：B．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解本题的关键对二次函数的性质的掌握与应用．2．（23·24上·合肥·期中）已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为：（

）A． B．或C．或 D．或【答案】D【分析】首先根据题意求出对称轴，然后分两种情况：和，分别根据二次函数的性质求解即可．【详解】∵二次函数，∴对称轴，当时，∵当时对应的函数值均为正数，∴此时抛物线与x轴没有交点，∴，∴解得；当时，∵当时对应的函数值均为正数，∴当时，，∴解得，∴，∴综上所述，当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为或．故选：D．【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是分两种情况讨论．3．（23·24上·武汉·阶段练习）无论为何值，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是（

）A． B．或 C． D．或【答案】D【分析】因为两个图象总有公共点，所以将两个解析式进行联立，再根据根的判别式进行判断即可求出的取值范围．【详解】解：由题意得，无论为何值，直线与抛物线总有公共点，将代入得：，整理得：，，，，当时，，解得，，当时，，解得：，的取值范围是或．故选：D．【点睛】本题主要考查的是函数图象的交点问题，正确的列出判别式，并根据交点数进行判定是解题的关键．4．（23·24上·西城·阶段练习）已知某函数的图象过，两点，下面有四个推断：①若此函数的图象为直线，则此函数的图象经过；②若此函数的图象为抛物线，且经过，则该抛物线开口向下；③若此函数的解析式为，且经过原点，则；④若此函数的解析式为，开口向下，且，则a的范围是．所有合理推断的序号是．【答案】①④/④①【分析】①利用待定系数法求出直线解析式，再令，求出y的值，即可判断；②利用待定系数法求出抛物线解析式即可判断；③利用待定系数法求出抛物线解析式即可判断；④设此函数的解析式为，根据其经过，两点可求出，从而得出该函数为，进而得出其对称轴为直线，即，再根据h的取值范围和抛物线开口方向求出a的解集，即可判断．【详解】解：设过，两点的直线解析式为，∴，解得：，∴直线的解析式为：，当时，，∴此函数的图象经过，故①符合题意；若此函数的图象为抛物线，即可设其解析式为，将，，代入，得：，解得：，∴抛物线解析式为，∴抛物线的开口向上，故②不符合题意；当函数的解析式为，且经过，和原点，则，解得：，∴，故③不符合题意；设其解析式为，由其图象经过，，∴，解得：，∴该函数为，∴．∵，∴，即．又∵抛物线开口向下，∴，∴，解得：，故④符合题意；故答案为：①④．【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．5．（23·24上·武汉·阶段练习）已知抛物线，(为常数)若对满足的任意实数，都使得成立，别实数的取值范围是．【答案】/【分析】分类讨论，函数图象与轴有一个交点和没有交点时，的任意实数，都有成立，若函数图象与轴有两个交点，则需满足两交点的横坐标均不大于，列出不等式即可求的取值范围．【详解】①二次函数的图象开口向上，当二次函数的图象与轴没有交点或只有个交点时，总有成立如图；

此时，即，解得；②当二次函数的图象与轴有个交点时，，可得或，设此时两交点为，，则，要使的任意实数，都有，需，，即，如图，且，解得：，此时，综上，对满足的任意实数，都使得成立，则．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．6．（22·23下·亳州·开学考试）若抛物线过点和两点，且顶点在第二象限．（1）若该抛物线的对称轴，则．（2）设，则P的取值范围是．【答案】【分析】（1）根据题意，列方程组求解即可得到答案；（2）根据题意得到，代入使，再由顶点在第二象限，分类讨论，确定抛物线开口方向，进而得到，利用不等式性质求出范围即可．【详解】解：（1）抛物线过点和两点，，抛物线的对称轴，，，解得，，故答案为：；（2）抛物线过点和两点，，，，顶点坐标为，且顶点在第二象限，，当抛物线开口向上时，，则，，与顶点在第二象限矛盾，抛物线开口向下，则，，，则，解得，，，即，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数图像与性质，涉及待定系数法确定函数系数、顶点坐标及利用二次函数图像与性质确定式子范围，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键．7．（23·24上·西城·期中）已知点，在抛物线的图象上，设抛物线的对称轴为．(1)若，，则_______；(2)当，时，都有，求的取值范围．【答案】(1)5(2)【分析】（1）根据，即可求解；（2）根据，，，进行讨论求解即可【详解】（1）解：由题意得：抛物线的对称轴为：直线，∴，故答案为：5．（2）①当时，，∵，∴，，∵，∴．②当时，则与条件矛盾，③当时，与条件矛盾，综上，当，时，都有，求的取值范围．【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识并正确理解题意是解题的关键．8．（23·24上·朝阳·期中）已知抛物线．(1)求该抛物线的项点坐标（用含的式子表示）；(2)抛物线上有不同的两点，若，直接写出的值；(3)点在抛物线上，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）由，可得顶点坐标为；（2）由题意知，关于直线对称，即，计算求解即可；（3）由顶点坐标为，，可知，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小；由，可得，当，即时，；当，且，即时，；然后作答即可．【详解】（1）解：∵，∴顶点坐标为；（2）解：∵抛物线上有不同的两点，，∴关于直线对称，∴，解得，，∴；（3）解：∵顶点坐标为，恒成立，∴，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小；∵，∴，当，即时，；当，且，即时，；综上所述，存在，当时，．【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标，二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．9．（23·24上·门头沟·期中）已知抛物线．(1)直接写出抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；(2)若点，在抛物线上，直接写出a的取值范围；(3)若，，都在抛物线上，是否存在实数m，使得恒成立?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，【分析】（1）由，可得抛物线的顶点坐标为；（2）令，则，解得，或，则二次函数图象与轴的两个交点为，，分当时，，，由，，可知符合要求；当时，，，由，，计算求解即可；（3）由，可知二次函数图象开口向下，当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小；由，可知当，且时，即，此时；当，且时，无解；然后作答即可．【详解】（1）解：∵，∴抛物线的顶点坐标为；（2）解：令，则，解得，或，∴二次函数图象与轴的两个交点为，，当时，，，∵，，∴符合要求；当时，，，∵点，在抛物线上，∴，，解得，；综上，a的取值范围为或；（3）解：存在，；∵，∴二次函数图象开口向下，当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小，∵，∴当，且时，即，此时；当，且时，无解；综上，时，．【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标，二次函数的图象与性质，不等式组的解集，二次函数与轴的交点．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．压轴题型四二次函数的最值问题1．（22·23下·二模）安安同学在正三角形中放入正方形和正方形（两个正方形不重叠），使得在边AB上，点P，N分别在边上．下列说法正确的是（）A．两个正方形边长和的最小值为 B．两个正方形的边长差为3C．两个正方形面积和的最小值为 D．两个正方形面积和的最大值为【答案】D【分析】连接，设正方形、正方形的边长分别为，求得面积和的表达式为：，再结合（2）的结论，即可求出这两个正方形面积和的最大值和最小值了．【详解】解：如图，连接，则．设正方形、正方形的边长分别为，它们的面积和为S，则，，∴，∴．延长交于点G，则，在中，由勾股定理，．∵，即，∴，∴，∴，故选项A、B不正确；∴．①当时，即时，S最小．∴；故选项C不正确；②当最大时，S最大．即当a最大且b最小时，S最大．∵，由（2）知，，．∴．故选项D正确；故选：D．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了等边三角形的性质，正方形的性质，二次函数的性质等知识，解题关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．2．（22·23下·三明·二模）已知二次函数（是常数，且）的最大值为，且该二次函数图像经过点，两点，则的值可能是(

)A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】根据题意，得到二次函数的对称轴为，图像开口向下；再由二次函数图像经过点，两点，得到，从而由二次函数增减性知到对称轴距离比到对称轴距离近，列不等式求解即可得到答案．【详解】解：二次函数（是常数，且）的最大值为，当时有，即二次函数的对称轴为，图像开口向下，二次函数图像经过点，两点，，即，，即，当，即时，，解得；当，即时，，解得；四个选项中的数字，只有满足上述要求，故选：A．【点睛】本题考查二次函数图像与性质，难度较大，读懂题意，将条件准确转化为相应的代数式求解是解决问题的关键．3．（22·23下·岳阳·一模）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则的最大值为（

）A．4 B．6 C．8 D．【答案】C【分析】由二次函数解析式求出对称轴，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的的取值范围，将转化为二次函数求最值即可．【详解】解：抛物线的对称轴为直线：，①当时，抛物线开口向上，∵时，y随x的增大而减小，∴，即．解得，∴，∵，∴．②当时，抛物线开口向下，∵时，y随x的增大而减小，∴，即，解得，∴，∵，当时，有最大值，∵，∴此情况不存在．综上所述，最大值为8．故选C．【点睛】本题考查二次函数的性质．解题的关键是将的最大值转化为二次函数求最值．4．（22·23上·开学考试）已知抛物线经过点．（1）和的代数关系为；（2）若，过点作直线轴，与轴交于点，与抛物线交于另一点，，点为直线上方抛物线上一点，求点到直线距离的最大值为．【答案】9【分析】（1）将点的坐标代入抛物线表达式得：，即可求解；（2）当点是抛物线的顶点时，点到直线距离的最大值，即可求解．【详解】解：（1）将点的坐标代入抛物线表达式得：，整理得：，故答案为：；（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为，而，故抛物线的对称轴，即点在对称轴的左侧，根据函数的对称性，点，，故，即，解得：，则点，当时，抛物线的表达式为：，当点是抛物线的顶点时，点到直线距离的最大值，由抛物线的表达式得，故顶点，则到直线距离的最大值，故答案为：9．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求出的值是解题的关键．5．（22·23·成都·三模）定义：将函数的图象绕点旋转，得到新的函数的图象，我们称函数是函数关于点P的相关函数．如果当时，函数关于点的相关函数的最大值为8，则m的值为．【答案】或【分析】先求出该函数顶点坐标，再根据题目所给新定义和旋转的性质，求出其相关函数的表达式，最后根据对称轴的不同位置，进行分类讨论即可．【详解】解：∵，，∴该函数顶点坐标为，设该函数关于点的相关函数顶点坐标为，∴，，解得：，，∴设该函数关于点的相关函数顶点坐标为，∴设该函数关于点的相关函数为；①当时，，∵，开口向下，∴当时，y有最大值，，解得：，（舍）；②当时，时，当时，y有最大值，，解得：（舍），（舍），③当时，，∵，开口向下，∴当时，y有最大值，，解得：（舍），（舍）；综上：或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，旋转的性质，解题的关键是根据他题意得出该函数以及其相对函数的顶点坐标连线中点为，根据对称轴的不同位置进行分类讨论．6．（22·23下·合肥·二模）已知：关于的二次函数，（1）当时，函数的最大值为．（2）若函数的最大值为，则的最小值为．【答案】【分析】（1）将代入解析式，得出二次函数图象开口向上，对称轴为，当时，随的增大而减小，则函数的最大值为时，；（2）根据，先求得当时的的值，进而分，分别求得关于的函数表达式，进而画出函数图象，即可求解．【详解】（1）当时，，∵系数为，则二次函数图象开口向上，对称轴为，∴当时，随的增大而减小，∴当时，函数的最大值为时，，故答案为：．（2）对称轴为，∵，①当时，即时，当和时的函数值相等，抛物线解析式为，在，当或时，最大值为,②当时，即，对应的函数值大于对应的函数值，∴，③当时，即，∴关于的函数图象，如图所示，∴的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．7．（23·24上·苏州·阶段练习）已知抛物线与直线都经过点，抛物线与y轴交点为，过点B作x轴平行线，与抛物线的另一个交点为C，直线与抛物线对称轴交与点D，将点D向上平移一个单位得到点E，点E不在直线上方．(1)______；______；______；（均用含m的代数式表示）(2)若抛物线的顶点为G，求的最小值及此时m的值；(3)连接、、，直接写出是______三角形．【答案】(1)(2)当时，有最小值(3)等腰直角【分析】（1）将代入即可求出b的值，将、代入，即可求出a和k的值；（2）根据（1）可得抛物线的表达式为，一次函数表达式为，求出，则，即可求出和，再根据三角形的面积公式求出和，即可得出的表达式，将其化为顶点式，即可解答；（3）根据两点之间的距离公式求出，，，即可得出结论．【详解】（1）解：将代入得：，解得：，将、代入得：，解得：，故答案为：；（2）解：∵，∴抛物线的表达式为，∴，∵，∴一次函数表达式为，把代入得：，∴，∵点D向上平移一个单位得到点E，∴，∵点E不在直线上方，轴，∴，解得：∵，，∴轴，则，∴点B到的距离为m，∴，∵，，∴轴，则，∴点A到的距离为，∴，∴，∵，∴当时，有最小值；（3）解：∵抛物线的表达式为，∴抛物线对称轴为直线，设∵，∴，解得：，∴，∵、，∴，，，∵，∴是等腰三角形，∵，∴是直角三角形，综上：是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角．【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数综合，等腰三角形的定义，勾股定理逆定理，解题的关键是掌握用待定系数大求解函数表达式的方法和步骤．8．（23·24上·广州·期中）已知函数，记该函数图象为．(1)当时，①已知在该函数图象上，求的值；②当时，求函数的最大值．(2)当时，作直线与轴交于点，与函数交于点，若时，求的值；(3)当时，设图象与轴交于点，与轴交于点，过点作交直线于点，设点的横坐标为点的纵坐标为，若，求的值．【答案】(1)①；②;(2)6或14(3)．【分析】（1）①将代入解析式，将代入对应解析式求解．②将分为两部分确定y的最大值，当时，将配方可得最值，再将代入中，可得，对比可得函数G的最大值；（2）分两种情况：Q在x轴的上方和下方；证明是等腰直角三角形，得，列方程可得结论；（3）分两种情况：①，如图2，过点C作轴于D，证明，得，列方程可得结论；②，如图3，同理可得结论．【详解】（1）解：当时，，①∵在该函数图象上，∴；②当时，∵，∴当时，y有最大值是，当时，，∵，∴当时，函数G的最大值是，（2）分两种情况：①如图1，当Q在x轴上方时，由题意得：，

∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴解得：，∵，∴；②当Q在x轴下方时，同理得：解得：，∵，∴；综上，m的值是6或14（3）分两种情况：①如图2，当时，过点C作轴于D，

当时，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，当时，，即，，解得：，∴，且，∵点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若，∴，∴，∵，∴，解得：（此时，A，B，C三点重合，舍），，②当时，如图3，过点C作轴于D，

同理得：，当时，，则，解得：（舍），∴，∴，解得：（舍去），综上，m的值是．【点睛】本题考查二次函数的综合运用，主要考查了函数的性质，函数关系式的确定，解题的关键是对关键点进行分析，理解分段函数，并利用图象解答．9．（23·24上·鸡西·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点C．

(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图①，二次函数图象的对称轴与直线AC交于点D，若E是直线AC上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值；(3)如图②，P是直线AC上的一个动点，是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)点P的坐标为或或或．【分析】（1）利用待定系数法，设抛物线的交点式直接得出结果；（2）先求出抛物线的对称轴，直线解析式，进而求得，坐标，过点与轴垂直的直线交与，设点坐标为，点坐标为，从而得出，根据二次函数的最值得出结果；（3）设点P为．用两点距离公式用表示出、，根据等腰三角形的定义分三种情况列出方程求解即可.【详解】（1）解：由题意得，；（2）解：如图1，

由抛物线得：抛物线的对称轴是直线：，抛物线与y轴交点坐标为又∵直线过、，∴直线解析式为当时，，，设过点与轴垂直的直线交AC与，设点坐标为，点坐标为，∴，∵，∴即∴当时，；（3）解：设，则，，当时，由得，，，，，当时，由得，，，，当时，由得，，，，，综上所述：点P的坐标为或或或．【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，等腰三角形的定义、三角形面积的求法等知识，解决问题（2）的关键是利用铅直法求三角形面积。解决问题（3）的关键是利用平面直角坐标系中两点距离公式表示三角形三边长．压轴题型五二次函数的存在性问题1．（22·23上·济南·期末）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点．(1)求抛物线的表达式和对称轴；(2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值；(3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，直线(2)，最大值为4(3)，或，【分析】（1）根据与x轴交点可得顶点式，化简即可求解；（2）由，即可求解；（3）当四边形是菱形时，则，即可求解．【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：，即，则抛物线的对称轴为直线；（2）设直线的表达式为：，将点的坐标代入上式得：，解得：，故直线的表达式为：，设点，则点，则，，故有最大值，当时，的最大值为4；（3）存在，理由：当时，点，设点，，而点；四边形是菱形，则，即，解得：，即点的坐标为，或，．【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质是解题的关键．2．（22·23上·南川·期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴于，两点，与y轴交于C点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)当动点Р运动到什么位置时，使四边形ACPB的面积最大，求出此时四边形ACPB的面积最大值和P的坐标；(3)如图2，点M在抛物线对称轴上，点N是平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以点M、N、A、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有M点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)当时，四边形ABCP的最大值是，此时点P的坐标为(3)存在，、、、【分析】（1）由二次函数的图象与x轴交于两点，直接利用待定系数法，即可求得这个二次函数的表达式；（2）设点P的坐标为，即可由求得答案；（3）分别从当，，AC为对角线，结合菱形的性质去分析求解即可求得答案．【详解】（1）∵二次函数的图象与x轴交于两点，∴，解得：，∴这个二次函数的表达式为：；（2）设点P的坐标为∵∴当时，四边形ABCP的最大值是，此时点P的坐标为（3）∵∴抛物线的对称轴为直线，当时，，∴设点M的坐标为，则：，，，设的中点为Q，则点Q的坐标为即，∴，当时，则∴解得，∴、；当时，则，∴解得，∴、；舍去，此时M、A、C三点共线，无法构成菱形当AC为对角线时则有：∴解得，∴∴存在这样的点M、N能够使得以点M、N、A、C为顶点的四边形是菱形，此时点M的坐标为：、、、【点睛】此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式的知识、二次函数的最值问题以及菱形的性质．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．3．（22·23下·永州·一模）已知抛物线（，为常数，且）的对称轴为，且过点．点是抛物线上的一个动点，点的横坐标为，直线的解析式为，直线与轴相交于点，与轴相交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)当直线与抛物线