23.1 成比例线段同步练习

第23章图形的相似23.1成比例线段基础过关全练知识点1成比例线段1.(2023四川遂宁射洪中学教育联盟期中)已知下列各组四条线段，它们能组成比例线段的是()A.a=12cm，b=15cm，c=8cm，d=10cm B.a=5cm，b=10cm，c=15cm，d=20cmC.a=7cm，b=3cm，c=2cm，d=10cm D.a=30cm，b=2cm，c=8cm，d=12cm2.某出版社出版发行的《中华人民共和国地图》将台湾省与中国大陆按同比例尺1∶6700000表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图.若在这种地图上量得台湾省与福建沿海的图上直线距离约为2厘米，则台湾省与福建沿海的实际直线距离约为千米.

知识点2比例的基本性质3.(2023吉林长春德惠期末)若xy=32，则A.13 B.-13 C.124.(2023河南鹤壁淇滨期中)已知x∶y∶z=1∶3∶5，求x+3y知识点3平行线分线段成比例5.(2023陕西渭南华州期末)如图，l1∥l2∥l3，直线AC和DE分别交l1、l2、l3于点A、B、C和点D、B、E，AB=4，BC=8，DB=3，则DE的长为()A.4 B.5 C.6 D.96.(2023河南商丘永城月考)某商店新推出的鞋架可抽象成下图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1、l2、l3所截，如果AB=30cm，BC=50cm，EF=40cm，那么DE的长是.

7.如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3.(1)如果AB=3，BC=6，DE=4，求EF的长；(2)如果DE∶EF=2∶3，AC=25，求AB的长.知识点4平行线分线段成比例的推论8.(2023山西临汾翼城期末)如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，BD=3，AC=10，则AE的长为()A.3 B.4 C.5 D.6[变式1](2023陕西西安长安期中)如图，点D、E分别在△ABC的边BA、CA的延长线上，且DE∥BC，已知AE=3，AC=6，AD=2，则BD的长为()A.4 B.6 C.7 D.8[变式2](2023吉林长春汽开区期中)如图，AD、BC相交于点O，点E、F分别在BC、AD上，AB∥CD∥EF，如果CE=6，EO=4，BO=5，AF=6，那么AD=.

知识点5黄金分割9.(2023河南南阳邓州期中)在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”在全国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE·AB，已知AB为2米，则线段AE的长为()A.(5+1)米 B.(3-5)米 C.(3+5)米 D.(5-1)米能力提升全练10.(2022浙江丽水中考)如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上.若线段AB=3，则线段BC的长是()A.23 B.1 C.32 11.(2022山西临汾尧都模拟)若ca+b=ab+c=bA.12 B.1 C.-1 D.112.(2022江苏镇江中考)《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆.衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线.用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍质量的物体.图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物质量是砝码质量的倍.

13.(2022河南开封模拟)已知三个数1，2，2，请再添上一个数，使它们能构成一个比例式，那么添上的这个数是.(填写一个即可)

14.(2022海南海口中学模拟)我们定义：顶角等于36°的等腰三角形为黄金三角形.如图，△ABC中，AB=AC且∠A=36°，则△ABC为黄金三角形.(1)尺规作图：作∠B的平分线，交AC于点D；(保留作图痕迹，不写作法)(2)请判断△BDC是不是黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由.素养探究全练15.请阅读下面材料，并回答所提出的问题.三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.已知：如图，△ABC中，AD是角平分线，求证：BDDC=AB分析：在比例式BDDC=ABAC中，AC恰是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CE∥DA，交BA的延长线于E，从而得到BD、DC、AB的第四比例项AE，这样，证明BDDC=ABAC证明：如图，过C作CE∥DA，交BA的延长线于E，则∠1=∠E，∠2=∠3.∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∴∠E=∠3，∴AE=AC.∵CE∥DA，∴BDDC=ABAE，∴BDDC(1)上述证明过程中，用到了哪些定理?(写对两个定理即可)(2)在上述分析、证明过程中，主要用到了下面三种数学思想中的哪一种?选出一个填在后面的括号内(只填序号)()①数形结合思想；②转化思想；③分类讨论思想.(3)用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，AB=5cm，AC=4cm，BC=7cm.求BD的长.

第23章图形的相似23.1成比例线段答案全解全析基础过关全练1.A∵12×10=15×8，∴选项A中的四条线段能组成比例线段；∵5×20≠10×15，7×3≠2×10，30×2≠8×12，∴选项B、C、D中的四条线段均不能组成比例线段.2.134解析设台湾省与福建沿海的实际直线距离约为x千米，∵地图的比例尺为1∶6700000，在这种地图上量得台湾省与福建沿海的图上直线距离约为2厘米，∴2x×105=167×1053.D∵xy=32，∴x+yy4.解析解法1：[比例的基本性质]由x∶y∶z=1∶3∶5得y=3x，z=5x，∴x+3y−zx解法2：[等比性质]由x∶y∶z=1∶3∶5得x1=y3=∴x1=3y3×3=−3y−3×3∴x+3y−z1+3×3−5=x−3∴x+3y−解法3：[参数法]设x1=y3=z5=k，则x=k，y=3k，z∴x+3y−zx5.D∵l1∥l2∥l3，∴ABBC=DB∵AB=4，BC=8，DB=3，∴48=3∴BE=6，∴DE=DB+BE=3+6=9.6.24cm解析本题从日常生活中的鞋架提炼出平行线分线段成比例问题，新颖别致.∵直线l1∥l2∥l3，∴DEEF=ABBC，即DE40∴DE=24cm.7.解析(1)∵l1∥l2∥l3，∴ABBC=DEEF，∵AB=3，BC=6，DE=4，∴36=4EF，(2)∵l1∥l2∥l3，∴ABBC=DE∵DE∶EF=2∶3，AC=25，∴AB25−AB=23，解得8.B∵DE∥BC，∴ADAB=AEAC，∵AD=2，BD=3，AC=10，∴22+3=AE10，[变式1]B∵DE∥BC，∴EAAC=DAAB，即36∴AB=4，∴BD=AD+AB=2+4=6.[变式2]10解析∵AB∥CD∥EF，∴BECE=AF∵CE=6，EO=4，BO=5，AF=6，∴96=6DF，∴DF∴AD=AF+DF=6+4=10.9.B∵E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE·AB，∴BE=5−12AB=(5-1)米，∴AE=AB-BE=2-(5-1)=(3-5)米.能力提升全练10.C如图，过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，则ABBC=ADDE，即3BC=2，解得BC11.D运用等比性质的前提是各个分母的和不能等于零，如果题目中没有此条件，那么在运用等比性质时应分类讨论.本题分情况求解如下：(1)当a+b+c=0时，a=-(b+c)，∴k=ab+c=(2)当a+b+c≠0时，k=a+b+综上所述，k的值为-1或1212.1.2解析设被称物的质量为m1，砝码的质量为m2，由题意得5m1=6m2.∴m1∶m2=6∶5=1.2.13.22或解析设添上的数是x，则1×x=22或2x=1×2或1×2=2x，解得x=22或2或22，即这个数是22或2或2214.解析(1)如图所示，BD即为所求.(2)△BDC是黄金三角形，理由如下：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=12×(180°-36°)=72°∵BD是∠