2024-2025学年高考数学一轮复习讲义：平面向量的概念及其线性运算（学生版+解析）

第01讲平面向量的概念及其线性运算

目录

第一部分：基础知识..................................................1

第二部分：高考真题回顾.............................................3

第三部分：高频考点一遍过...........................................4

高频考点一：平面向量的概念与表示................................4

高频考点二：模..................................................4

高频考点三：零向量与单位向量....................................5

高频考点四：相等向量............................................17

高频考点五：平面向量的加法与减法...............................19

高频考点六：平面向量的数乘......................................6

高频考点七：共线向量定理的应用..................................7

第四部分：典型易错题型.............................................8

备注：“。”的方向是任意的........................................8

第五部分：新定义题.................................................8

第一部分：基础知识

1、向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)

向量表示方法：向量AB或a；模或|a|.

(2)零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作0.

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量，常用e表示.

特别的：非零向量a的单位向量是二.

1«1

（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，a与。共线可记为a=

特别的：0与任一向量平行或共线.

（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作°=小

（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作°=一白.

2、向量的线性运算

2.1向量的加法

①定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量a,

我们规定a+0=0+a=a-

②向量加法的三角形法则（首尾相接，首尾连）

己知非零向量a,6,在平面内任取一点A,作A3=a,3C=B,则向量AC叫做a与6的和，记作a+b,即

a+b=AB+BC^AC-这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.

③向量加法的平行四边形法则（作平移，共起点，四边形，对角线）

已知两个不共线向量a,6,作。4=a,OB=/,以OA,08为邻边作.OACfi,则以。为起点的向量0c

（0C是.OACB的对角线）就是向量q与6的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法

则.

2.2向量的减法

①定义：向量a加上6的相反向量，叫做a与〃的差，即a—6="+（—》）.

②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）

己知向量a,6,在平面内任取一点0,作。4=q,OB=b,则向量a—〃=.如图所示B

如果把两个向量a,6的起点放在一起,则a-6可以表示为从向量6的终点指向向量a的

b/\a-b

终点的向量.

2.3向量的数乘0乙------

a

向量数乘的定义：

一般地,我们规定实数X与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作；la,它的长度与方向规

定如下：

①14a1=14||a|

②当2>0时，2a的方向与a的方向相同；当4<0时，Xa的方向与a的方向相反；当;1=0时，2a=0-

3、共线向量定理

①定义：向量B与非零向量a共线，则存在唯一一个实数2，b=2a-

②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意aw0；特别地，若a=]=0,实数2仍存在，

但不唯一.

4、常用结论

4.1向量三角不等式

①己知非零向量a，b，贝»|。|-|川区|。+6区|。|+|加（当a与6反向共线时左边等号成立；当a与同

向共线时右边等号成立）；

②已知非零向量a，b，贝3”|-|6四。-6区|“|+|切（当a与6同向共线时左边等号成立；当a与b反

向共线时右边等号成立）；

记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如||a|-g||<|a+b\<\a\+\b\^,

||aI-2||<|a+回中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：

||。|-|切区|。+£>区|。|+|6|中||a+b|W|a|+|6|中间链接号都是正号"符同"，故同向共线时等号成立;

4.2中点公式的向量形式：

若尸为线段A3的中点，。为平面内任意一点，则20户=OA+OB.

4.3三点共线等价形式：

OA=WB+juOB（2,〃为实数），若A,B,C三点共线=几+〃=1

第二部分：高考真题回顾

1.（2023•全国•甲卷理）已知向量满足同=忖=1,同=加,且a+b+c=0，贝!Jcos〈〃一G。一。〉=（）

42

A.B.

55

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：平面向量的概念与表示

典型例题

例题1.（23-24高三下•江苏扬州•阶段练习）下列命题中，正确的是（）

A.若卜卜“，则°=8B.若忖>",则°>6

C.若a=b，则a//6D.若a//b,6//c,则al!c

例题2.（23-24高一下•全国•课时练习）给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；

（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积淇中不是向量的有（）

A.6个B.5个C.4个D.3个

练透核心考点

1.（23-24高一・全国•专题练习）给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.

正确的是（）

A.①②③是数量，④⑤⑥是向量B.②④⑥是数量，①③⑤是向量

C.①④是数量，②③⑤⑥是向量D.①②④⑤是数量，③⑥是向量

2.（2023高一•全国•单元测试）下列各量：①数轴；②温度；③拉力；④密度；⑤风速.其中是向量的

有个.

高频考点二：模

典型例题

例题1.（23-24四川南充•一模）已知正方形A3CD的边长为1,则同+23-削=（）

A.0B.0C.2&D.4

例题2.（23-24高一下•甘肃,期末）若正方形A3CD的边长为2,则-AB+助卜（）

A.40B.2后C.&D.学

例题3.（多选）（2024高一下•全国・专题练习）已知非零向量“、万，下列命题正确的是（）

A.若卜卜忖，则.//6B.若a=b，则忖

C.若allb,贝UQ=〃D.若a=b，则allb

练透核心考点

1.（23-24•福建南平•模拟预测）已知正方形ABC。的边长为1,点M满足AB+BC=2AAf，则|加4=（）

A.1B.1C.—D.J2

22

2.（23-24高一下•江西上饶•阶段练习）己知四边形ABCD是边长为1的正方形，求：

（I）|AB+BC|；

（2）\AB+CA-BC\■

高频考点三：零向量与单位向量

典型例题

ab

例题（•北京大兴三模）设是非零向量，是"。=〃’的（）

1.2023a,6"nH=U\b\T

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

例题2.（多选）（23-24高一下・甘肃白银•期中）下列说法中正确的是（）

A.若卜|=0,贝|a=0B.若0与6共线，贝。与方方向相同或相反

a

C.若02为单位向量，则q=e?D.R是与非零向量a共线的单位向量

练透核心考点

1.（23-24高一下•湖南益阳•阶段练习）给出下列四个说法：①若同=0,则4=0;②若同=忖，则a=6

或a=-b；③若a//b，则④若a//，b//c，则其中正确的说法有（）个.

A.1B.2C.3D.4

2.（23-24高三上•福建厦门•开学考试）下列命题不正确的是（）

A.零向量是唯一没有方向的向量

B.零向量的长度等于0

ab

C.若a,b都为非零向量，则使n+^=°成立的条件是a与6反向共线

D.若a=b,b=c，贝Ua=c

例题3.（2024高一•江苏•专题练习）化简下列各式:

WOA-OD+AD;

(2)AB+DA+BD-BC-CA.

练透核心考点

1.（23-24高一下•河南濮阳•阶段练习）在正六边形ABCDEF中，AB-CD+CE=（）

A.0B.FCC.2BFD.BE

2.（23-24高一下•天津滨海新•阶段练习）下列四式不能化简为A。的是（）

A.MB+AD-BMB.（AD++CM）

C.^AB+CD^+BCD.OC-OA+CD

3.（23-24高一下•广东江门•阶段练习）化简：08-（AC+O4）=.

高频考点六：平面向量的数乘

典型例题

12

例题1.（23-24高一下•湖北•阶段练习）在△A8C中，记AC=b，&BE=-BCf”=耳4石，则放=

（）

21,211212

A.——a+—bB.—a——7bC.—a——b7D.——a+—b7

33333333

例题2.（2024高一•江苏•专题练习）化简下列各式：

⑴3（2〃—力―2（4a-3力；

113

（2）—（4a+3b）-—（3a-b）——b-

（3）2（3a—4b+c）—3（2〃+b-3c）.

练透核心考点

numiuur

1.（23-24高一下•江苏常州•阶段练习）若4C=-设A8=%CA，则几的值为.

Q11-

2.（23-24高一下.广东惠州•开学考试）化简：j^a-3b）+-b--（6a-lb）=.

高频考点七：共线向量定理的应用

典型例题

例题1.（23-24高一下•四川绵阳•阶段练习）设不共线，AB=2a+^b,BC=a+b,CD=a-3b,若A,B,

。三点共线，则实数4的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

例题2.（23-24高三下•江苏扬州,阶段练习）设e；是两个不共线的向量，若向量+左e2仅eR）与

向量〃=左弓一44（左©R）共线，贝!j（）

A.k=0B.左=±2

C.k=2D.k=—2

例题3.（23-24高一下•福建莆田•期中）如图，在ABC中，。是AB的中点，EB=；CB.

⑴若AC=23C=2,ZACB=60,求他

（2）若CO=XCD，求X的值.

练透核心考点

1.（23-24高一下•福建莆田•期中）已知向量a与6且AB=a+26,3C=-5a+6b,CD=7&-26则一定共线的

三点是（）

A.A,C,D三点、B.A,B,C三点

C.A,B,D三点D.B,C,D三点、

2.（23-24高一下•新疆乌鲁木齐•阶段练习）已知为非零不共线向量，向量8a-妙与-Za+b共线，贝必=

（）

A.2及B.-272C.±2A/2D.8

3.（23-24高一下•河北沧州•阶段练习）已知q,02是两个不共线的单位向量，a=^-4e2,b=kex+le2,

若a与。共线，贝1」4=.

第四部分：典型易错题型

备注：“0”的方向是任意的

1.（22-23高三上•四川成都・期中）关于向量a,b，c,下列命题中正确的是（）

A.若|a|=W，贝Ua=6B.若°〃6,6〃c,则a〃c

C.若a=—6，则d〃方D.若同>忖，贝!Ja>6

第五部分：新定义题

1.（23-24高一下•江苏南京•阶段练习）已知平面直角坐标系中，点4（。,0）,点3（0,。）（其中为常数,

且仍N0）,点。为坐标原点.

（1）设点尸为线段A3近A的三等分点，OP=2OA+（l-2）OB（2eR）,求4的值;

（2）如图所示，设点用多月,…,Ei是线段AB的”等分点，其中〃eN*,〃52,

①当”=2024时，求|04+。《+0鸟+…+O《T+O目的值（用含。力的式子表示）；

②当a=6=1,〃=10时.求OP,(OR+OP^(l<i,j<n-1,z,jeN*)的最小值.

〃(〃+1)

（说明：可能用到的计算公式：1+2+3++〃=GN*)

2

第01讲平面向量的概念及其线性运算

目录

第一部分：基础知识..................................................1

第二部分：高考真题回顾.............................................3

第三部分：高频考点一遍过...........................................4

高频考点一：平面向量的概念与表示................................4

高频考点二：模..................................................4

高频考点三：零向量与单位向量....................................5

高频考点四：相等向量............................................17

高频考点五：平面向量的加法与减法...............................19

高频考点六：平面向量的数乘......................................6

高频考点七：共线向量定理的应用..................................7

第四部分：典型易错题型.............................................8

备注：的方向是任意的........................................8

第五部分：新定义题.................................................8

第一部分：基础知识

1、向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)

向量表示方法：向量AB或a；模或|a|.

(2)零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作0.

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量，常用e表示.

特别的：非零向量a的单位向量是二.

1«1

（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，a与。共线可记为a=

特别的：0与任一向量平行或共线.

（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作°=小

（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作°=一白.

2、向量的线性运算

2.1向量的加法

①定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量a,

我们规定a+0=0+a=a-

②向量加法的三角形法则（首尾相接，首尾连）

己知非零向量a,6,在平面内任取一点A,作A3=a,3C=B,则向量AC叫做a与6的和，记作a+b,即

a+b=AB+BC^AC-这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.

③向量加法的平行四边形法则（作平移，共起点，四边形，对角线）

已知两个不共线向量a,6,作。4=a,OB=/,以OA,08为邻边作.OACfi,则以。为起点的向量0c

（0C是.OACB的对角线）就是向量q与6的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法

则.

2.2向量的减法

①定义：向量a加上6的相反向量，叫做a与〃的差，即a—6="+（—》）.

②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）

己知向量a,6,在平面内任取一点0,作。4=q,OB=b,则向量a—〃=.如图所示B

如果把两个向量a,6的起点放在一起,则a-6可以表示为从向量6的终点指向向量a的

b/\a-b

终点的向量.

2.3向量的数乘0乙------

a

向量数乘的定义：

一般地,我们规定实数X与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作；la,它的长度与方向规

定如下：

①14a1=14||a|

②当2>0时，2a的方向与a的方向相同；当4<0时，Xa的方向与a的方向相反；当;1=0时，2a=0-

3、共线向量定理

①定义：向量B与非零向量a共线，则存在唯一一个实数2，b=2a-

②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意aw0；特别地，若a=]=0,实数2仍存在，

但不唯一.

4、常用结论

4.1向量三角不等式

①己知非零向量a，b，贝»|。|-|川区|。+6区|。|+|加（当a与6反向共线时左边等号成立；当a与同

向共线时右边等号成立）；

②已知非零向量a，b，贝3”|-|6四。-6区|“|+|切（当a与6同向共线时左边等号成立；当a与b反

向共线时右边等号成立）；

记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如||a|-g||<|a+b\<\a\+\b\^,

||aI-2||<|a+回中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：

||。|-|切区|。+£>区|。|+|6|中||a+b|W|a|+|6|中间链接号都是正号"符同"，故同向共线时等号成立;

4.2中点公式的向量形式：

若尸为线段A3的中点，。为平面内任意一点，则20户=OA+OB.

4.3三点共线等价形式：

OA=WB+juOB（2,〃为实数），若A,B,C三点共线=几+〃=1

第二部分：高考真题回顾

1.（2023•全国•甲卷理）已知向量满足同=忖=1,同=&,且a+b+c=Q,贝Ijcos〈〃一G。一。〉=（）

4224

A.--B.--C.一D.一

5555

【答案】D

【分析】作出图形,根据几何意义求解.

【详解】因为。+Z?=0,所以。+。=」，

即+〃+2〃.》=*,即i+i+2』.匕=2,所以=0.

如图，设O4=a,O5=B,oC=e,

c

由题知,OA=O5=1,OC=0,0A5是等腰直角三角形，

AB边上的高。。=也,4。=也，

22

所以。。=（?0+。£>=&+也=逑，

22

tanZACZ）=—=-,cosZACD=-J=

CD3阿

COS〈Q-c,b-c）=cosZACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-1

故选:D.

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：平面向量的概念与表示

典型例题

例题1.（23-24高三下•江苏扬州•阶段练习）下列命题中，正确的是（）

A.若忖=忖，则°=6B.若忖＞忖，则°

C.若a=6,则a//6D.若a〃4M/c,贝ljal1c

【答案】C

【分析】根据向量的概念逐一判断.

【详解】对于A：若W=W，则a,b只是大小相同，并不能说方向相同，A错误;

对于B：向量不能比较大小，只能相同，B错误；

对于C：若a=&,则a,6方向相同，C正确；

对于D：若a//b,b〃c,如果6为零向量，则不能推出a,c平行，D错误.

故选：c.

例题2.（23-24高一下•全国•课时练习）给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；

（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积淇中不是向量的有（）

A.6个B.5个C.4个D.3个

【答案】A

【分析】根据向量的概念，即可得出答案.

【详解】看一个量是不是向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向.

（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，

（1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小没有方向，不是向量.

故选：A.

练透核心考点

1.（23-24高一•全国•专题练习）给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.

正确的是（）

A.①②③是数量，④⑤⑥是向量B.②④⑥是数量，①③⑤是向量

C.①④是数量，②③⑤⑥是向量D.①②④⑤是数量，③⑥是向量

【答案】D

【分析】根据向量的定义即可判断.

【详解】密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；

速度、位移既有大小又有方向，是向量.

故选：D.

2.（2023高一•全国•单元测试）下列各量：①数轴；②温度；③拉力；④密度；⑤风速淇中是向量的

有个.

【答案】2

【分析】根据向量的定义判断即可.

【详解】既有大小，又有方向的量叫做向量；

温度、密度、风速只有大小没有方向，因此不是向量；

而数轴、拉力既有大小，又有方向，因此它们都是向量.

故答案为2

高频考点二：模

典型例题

例题1.（23-24四川南充•一模）已知正方形ABCD的边长为1,贝lj|A2+2（j-CA|=（）

A.0B.0C.2cD.4

【答案】C

【分析】利用向量运算法则得到|AB+-=2|AC|=20.

【详解】k2+2。一。4=,（：一。小=2,4，

因为正方形ABCD的边长为1,所以AC=g=&，

故|A8+3C-CA|=2衣

故选：c

例题2.（23-24高一下,甘肃•期末）若正方形ABCD的边长为2,则从。-AB+即卜（）

A.4\/2B.2A/2C.D.

【答案】A

【分析】根据平面向量的线性运算即可求解.

【详解】由正方形ABCD的边长为2,贝UBD=2&，

所以,£>-AB+明=回+回==4A/2.

例题3.（多选）（2024高一下•全国・专题练习）已知非零向量°、b，下列命题正确的是（）

A.若忖=忖,BOallbB.若a=b，则忖=卜|

C.若a”b，贝!Ja=bD.若a=b，则a〃6

【答案】BD

【分析】

利用向量、共线向量、相等向量等概念逐项判断.

【详解】

对于A,向量是具有方向的量，

若同=M，则向量a与6的大小一样，方向不确定，不一定共线，故A错误；

对于B,若a=b，则一定有同=忖，故B正确；

对于C,若力/力，则只能说明非零向量a、B共线，

当4、6大小不同或方向相反时，都有°力6,故C错误；

对于D,若°=6，则a、。共线且方向相同，所以a〃各，故D正确.

故选：BD.

练透核心考点

1.（23-24•福建南平,模拟预测）已知正方形ABC。的边长为1,点M满足AB+3C=2AM，则WU=（）

1f-

A.-B.1C.—D.5/2

22

【答案】C

【分析】根据几何关系求解.

如图，AB+BC=AC=2AM，所以M是4c的中点，卜?；

故选：C.

2.（23-24高一下•江西上饶•阶段练习）已知四边形ABCD是边长为1的正方形，求:

（I）|AB+BC|；

（2）\AB+CA-BC\'

【答案】①双

（2）2

【分析】利用向量的加减法法则化简向量即可解决问题.

【详解】（1）四边形ABCD是边长为1的正方形，

.-.|AB+BC|=|AC|=V2

（2）|AB+CA-BC|=|CB-BC|=2|CB|=2

高频考点三：零向量与单位向量

典型例题

ab

例题1.（2023•北京大兴三模）设a,6是非零向量，"叼=山"是".=〃’的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.

ab

【详解】由闩=南表示单位向量相等，则石同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出a=6,

由表示。/同向且模相等，则口=同，

所以"是的必要而不充分条件.

故选：B

例题2.（多选）（23-24高一下•甘肃白银•期中）下列说法中正确的是（）

A.若卜|=0,贝！］°=0B.若a与。共线，贝I”与b方向相同或相反

C.若G，e2为单位向量，则D.「是与非零向量£共线的单位向量

【答案】AD

【分析】

根据零向量的定义与性质，单位向量的定义以及共线向量的定理，可得答案.

【详解】对于A,根据零向量的定义，故A正确；

对于B,当°=0时，显然a与6共线，当零向量的方向是任意的，故B错误；

对于C,设之=（1,0）,、=（0,1）,显然相；为单位向量，但行心，故C错误；

I

aa|r|ara

对于D,由百a=一=1,则日为单位向量，由忖曲=。，则向量E与£共线，故D正确.

故选：AD.

练透核心考点

1.（23-24高一下•湖南益阳•阶段练习）给出下列四个说法：①若问=0,则.=0；②若|《=W，则a=b

或a=_5；③若。/妨，则|《=网；④若&/妨，b/ic，则。〃c淇中正确的说法有（）个.

【答案】A

【分析】根据零向量定义、向量模长、平行的定义等知识依次判断各个选项即可.

【详解】对于①，模长为零的向量为零向量，①正确；

对于②，a,b的模长相同，但方向不确定，未必同向或反向，②错误；

对于③，若aHb，则同向或反向，但模长未必相同，③错误；

对于④，当6=0时，dllb，b//C成立，但此时未必平行，④错误.

故选：A.

2.（23-24高三上•福建厦门•开学考试）下列命题不正确的是（）

A.零向量是唯一没有方向的向量

B.零向量的长度等于0

ab八

C.若a,6都为非零向量，则使口+愀=°成立的条件是a与方反向共线

D.若a=b，b=c<贝！Ja=c

【答案】A

【分析】

AB选项，由零向量的定义进行判断；C选项，根据共线向量，单位向量和零向量的定义得到C正确；D选

项，根据向量的性质得到D正确.

【详解】

A选项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；

B选项，由零向量的定义知，零向量的长度为0,故B正确；

abababn

c选项，因为n与国都是单位向量，所以只有当n与面是相反向量，即°与。是反向共线时n+rn=°才

H\b\H\b\H忖

成立，故C正确；

D选项，由向量相等的定义知D正确.

故选：A

高频考点四：相等向量

典型例题

例题1.（22-23高一下•北京•期中）给出下列命题正确的是（）

A.若=忖，则°=88.若°=人6=c，贝！Ja=c

C.若卜卜忖且a〃6，贝！I“=8D.若aUb，bile，贝Ua〃c

【答案】B

【分析】根据向量平行及相等定义分别判断各个选项即可.

【详解】

对于A,当a与6方向不同时，a=6不成立，二A错误，

对于B,若a=b=c，则a=c，，B正确，

对于C,当a与。方向相反时，a=6不成立，二C错误，

对于D,当3时，满足a〃b，6〃c,但a〃c不一■定成立.所以D错误.

故选：B.

例题2.（多选）（22-23高一下•湖南益阳•阶段练习）下列说法不正确的有（）

A.若6=e，贝h/ucB.若aHb，则a与6的方向相同或相反

C.若a=a,则〃=eD.若a//b,bile1则。〃d

【答案】BCD

【分析】

根据向量的有关概念逐一判断即可.

【详解】若a=b，b=d，贝ijane,故A正确；

对于B,当有一个为零向量时不成立，故B错误；

对于C,当“与6,e垂直时，可得a.6=q.c=0，但推不出b=c，故C错误;

对于D,当6=0时不成立，故D错误，

故选：BCD.

练透核心考点

1.（23-24高一下•云南昆明•阶段练习）如图，四边形ABCD是菱形，下列结论正确的是（）

B.AB+BD=DA

D.AB-BC=DB

【答案】D

【分析】

根据向量相等的定义判断A,根据向量的加法减法运算法则判断BCD.

【详解】

对于A,因为向量方向不同，所以ABwAO，故A错；

对于B,AB+BD=AD>故B错；

对于C,根据向量加法的平行四边形法则知，AB+AD=AC，故C错;

对于D,根据向量减法运算可知，AB-BC=AB-AD=DB,故D对.

故选：D

2.（23-24高一下•广东东莞・开学考试）设点。是正方形A8CD的中心，则下列结论错误的是（）

A.AO=OCB.AO=BOC.BOUDBD.AB与CO共线

【答案】B

【分析】

画出图形，结合相等向量与共线向量的定义判断即可.

【详解】

如图，

因为AO，0c方向相同，长度相等，故AO=OC，故A正确;

因为A。，8。方向不同，故49/20，故B错误；

因为8,0,。三点共线，所以B0〃D8,故C正确；

因为AB〃CD,所以.与C。共线，故D正确.

故选：B

高频考点五：平面向量的加法与减法

典型例题

例题L（23-24高一下•重庆•阶段练习）下列各式中不熊化简为P0的是（）

A.AB+[PA+BQ）B.PA+AB-BQ

C.QC-QP+CQD.（AB+PC）+（BA-gC）

【答案】B

【分析】根据平面向量加、减运算法则及运算律计算可得.

【详解】对于A：AB+（PA+BQ）=PA+AB+BQ=PQ,故A不合题意；

对于B：PA+AB-BQ=PB-BQ,故B满足题意；

对于C：QC-QP+CQ=QC+CQ+PQ=PQ,故C不合题意；

对于D：（AB+PC]+（BA-QC）=BA+AB+PC+CQ=PQ,故D不合题意.

故选：B

例题2.（23-24高一下•江西九江•阶段练习）下列各式化简结果正确的是（）

A.AB+AC^BCB.AM+MB+BO+BM=AM

C.AB+BC-AC=OD.AD-AB+DC=BC

【答案】D

【分析】根据向量的加减法运算法则求解.

【详解】对于A,若AB+AC=BC，则AB+AC=AC-AB，则A8=0，矛盾，A错误，

对于B,因为++=所以AM+M8+80+=AM+80#AM，B错误;

对于C,AB+BC-AC=AC-AC=O，C错误；

对于D,AD-AB+DC=BD+DC^BC，D正确；

故选：D.

例题3.（2024高一•江苏・专题练习）化简下列各式：

WOA-OD+AD;

（2）AB+DA+BD-BC-CA.

【答案】⑴6

⑵48

【分析】（1）由向量的加减法运算即可得答案；

（2）由向量的加减法运算即可得答案.

UULuumUUIUUL1UUUIH1

【详解】⑴OA-OD+AD=DA+AD=0-

（2）AB+DA+BD-BC-CA=AB+DA+AC+BD-BC=AB+DC+CD=AB.

练透核心考点

1.（23-24高一下•河南濮阳•阶段练习）在正六边形ABCDE尸中，AB-CD+CE=（）

A.0B.FCC.2BFD.BE

【答案】A

【分析】

利用平面向量的线性运算结合正六边形的几何性质可化简所求向量.

【详解】由正六边形的性质可知，AB，DE互为相反向量，

所以，AB-CD+CE=AB+^CE-CD^=AB+DE=O.

故选：A.

2.（23-24高一下•天津滨海新•阶段练习）下列四式不能化简为的是（）

A.MB+AD-BMB.^AD+BMy^BC+CM

c.^AB+CD^+BCD.OC-OA+CD

【答案】A

【分析】

由向量的加法或减法原则求解即可.

【详解】MB+AD-BM=MB+AD+MB=2MB+AD>

^AD+BM^-(BC+CM^=AD+BM-BM=AD,^AB+CD^+BC=AB+BC+CD=AD,

OC-OA+CD=AC+CD=AD-

故选：A.

3.(23-24高一下•广东江门•阶段练习)化简：O3-(AC+OA)=.

【答案】C/-BC

【分析】根据向量的加减法运算法则化简求解.

【详解】OB-^AC+OA^=OB-^AC-AO)=OB-OC=CB.

故答案为：CB

高频考点六：平面向量的数乘

典型例题

12

例题1.(23-24高一下•湖北•阶段练习)在△ABC中，记他二。，AC=b^&BE=-BC,=石，则族=

()

21,2112]12,

A.—aH—bB.-a—7bC.-a—bD.—QH—b

33333333

【答案】A

2

【分析】先用表示AE，然后利用AF=耳AE得到Ab的表达式，最后利用3尸=4/_岫得到8尸的表

达式.

【详解】由2E=gBC,得AE=8E+AB=gBC+AB=；bAB+AC)+A8=g(A8+AC)=g(a+6),

又因为Ab=§AE=§(a+6),

^.BF=AF-AB^^a+b)-a^-^a+^b,A正确.

故选：A.

例题2.(2024高一•江苏•专题练习)化简下列各式：

⑴3(2Q—b)—2(4a-3b)；

113

(2)—(4a+3Z?)-—(3a-b)-^b；

(3)2(3a—4》+c)—3(2〃+b-3c).

【答案】⑴-2。+3〃

⑵-

o

⑶-1g+llc

【分析】利用向量的数乘运算计算即可.

【详解】(1)3(2tz-Z?)-2(4^-3Z?)=6a-3b-Sa+6b=-2a+3b；

1/.\1/_\343131

(z2)x—4Q+36——\3a7-b\——Tb=—a+7b——a+—7b——7b=——a；

3、,2、