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文档简介
2023届安徽省六校教育研究会高三数学试题5月考前最后一卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设函数(,)是上的奇函数,若的图象关于直线对称,且在区间上是单调函数,则()A. B. C. D.2.若为虚数单位,则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.3本不同的语文书,2本不同的数学书,从中任意取出2本,取出的书恰好都是数学书的概率是()A. B. C. D.4.若复数z满足,则()A. B. C. D.5.已知抛物线:的焦点为,准线为,是上一点,直线与抛物线交于,两点,若,则为()A. B.40 C.16 D.6.如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位:亿元)的折线图.则下列结论中表述不正确的是()A.从2000年至2016年,该地区环境基础设施投资额逐年增加;B.2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多;C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番;D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额,根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为)建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型,根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.7.如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边,直角边.已知以直角边为直径的半圆的面积之比为,记,则()A. B. C. D.8.如图,正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图,则该多面体各表面所在平面互相垂直的有()A.2对 B.3对C.4对 D.5对9.已知四棱锥的底面为矩形,底面,点在线段上,以为直径的圆过点.若,则的面积的最小值为()A.9 B.7 C. D.10.已知随机变量服从正态分布,,()A. B. C. D.11.某高中高三(1)班为了冲刺高考,营造良好的学习氛围,向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上,小王,小董,小李各写了一幅书法作品,分别是:“入班即静”,“天道酬勤”,“细节决定成败”,为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的,班主任对三人进行了问话,得到回复如下:小王说:“入班即静”是我写的;小董说:“天道酬勤”不是小王写的,就是我写的;小李说:“细节决定成败”不是我写的.若三人的说法有且仅有一人是正确的,则“入班即静”的书写者是()A.小王或小李 B.小王 C.小董 D.小李12.函数在上单调递增,则实数的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.有2名老师和3名同学,将他们随机地排成一行,用表示两名老师之间的学生人数,则对应的排法有______种;______;14.设O为坐标原点,,若点B(x,y)满足,则的最大值是__________.15.已知函数,若对于任意正实数,均存在以为三边边长的三角形,则实数k的取值范围是_______.16.在等比数列中,,则________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试,每位同学彼此独立的从五所高校中任选2所.(1)求甲、乙、丙三名同学都选高校的概率;(2)若已知甲同学特别喜欢高校,他必选校,另在四校中再随机选1所;而同学乙和丙对五所高校没有偏爱,因此他们每人在五所高校中随机选2所.(i)求甲同学选高校且乙、丙都未选高校的概率;(ii)记为甲、乙、丙三名同学中选高校的人数,求随机变量的分布列及数学期望.18.(12分)已知椭圆的短轴长为,离心率,其右焦点为.(1)求椭圆的方程;(2)过作夹角为的两条直线分别交椭圆于和,求的取值范围.19.(12分)在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线:.过点的直线:(为参数)与曲线相交于,两点.(1)求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;(2)若,求实数的值.20.(12分)椭圆:()的离心率为,它的四个顶点构成的四边形面积为.(1)求椭圆的方程;(2)设是直线上任意一点,过点作圆的两条切线,切点分别为,,求证:直线恒过一个定点.21.(12分)已知三棱锥中侧面与底面都是边长为2的等边三角形,且面面,分别为线段的中点.为线段上的点,且.(1)证明:为线段的中点;(2)求二面角的余弦值.22.(10分)已知函数.(1)当时,求的单调区间;(2)若函数有两个极值点,,且,为的导函数,设,求的取值范围,并求取到最小值时所对应的的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
根据函数为上的奇函数可得,由函数的对称轴及单调性即可确定的值,进而确定函数的解析式,即可求得的值.【详解】函数(,)是上的奇函数,则,所以.又的图象关于直线对称可得,,即,,由函数的单调区间知,,即,综上,则,.故选:D【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的综合应用,由对称轴、奇偶性及单调性确定参数,属于中档题.2.B【解析】
由共轭复数的定义得到,通过三角函数值的正负,以及复数的几何意义即得解【详解】由题意得,因为,,所以在复平面内对应的点位于第二象限.故选:B【点睛】本题考查了共轭复数的概念及复数的几何意义,考查了学生概念理解,数形结合,数学运算的能力,属于基础题.3.D【解析】
把5本书编号,然后用列举法列出所有基本事件.计数后可求得概率.【详解】3本不同的语文书编号为,2本不同的数学书编号为,从中任意取出2本,所有的可能为:共10个,恰好都是数学书的只有一种,∴所求概率为.故选:D.【点睛】本题考查古典概型,解题方法是列举法,用列举法写出所有的基本事件,然后计数计算概率.4.D【解析】
先化简得再求得解.【详解】所以.故选:D【点睛】本题主要考查复数的运算和模的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5.D【解析】
如图所示,过分别作于,于,利用和,联立方程组计算得到答案.【详解】如图所示:过分别作于,于.,则,根据得到:,即,根据得到:,即,解得,,故.故选:.【点睛】本题考查了抛物线中弦长问题,意在考查学生的计算能力和转化能力.6.D【解析】
根据图像所给的数据,对四个选项逐一进行分析排除,由此得到表述不正确的选项.【详解】对于选项,由图像可知,投资额逐年增加是正确的.对于选项,投资总额为亿元,小于年的亿元,故描述正确.年的投资额为亿,翻两翻得到,故描述正确.对于选项,令代入回归直线方程得亿元,故选项描述不正确.所以本题选D.【点睛】本小题主要考查图表分析能力,考查利用回归直线方程进行预测的方法,属于基础题.7.D【解析】
由半圆面积之比,可求出两个直角边的长度之比,从而可知,结合同角三角函数的基本关系,即可求出,由二倍角公式即可求出.【详解】解:由题意知,以为直径的半圆面积,以为直径的半圆面积,则,即.由,得,所以.故选:D.【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系,考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值.8.C【解析】
画出该几何体的直观图,易证平面平面,平面平面,平面平面,平面平面,从而可选出答案.【详解】该几何体是一个四棱锥,直观图如下图所示,易知平面平面,作PO⊥AD于O,则有PO⊥平面ABCD,PO⊥CD,又AD⊥CD,所以,CD⊥平面PAD,所以平面平面,同理可证:平面平面,由三视图可知:PO=AO=OD,所以,AP⊥PD,又AP⊥CD,所以,AP⊥平面PCD,所以,平面平面,所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对.【点睛】本题考查了空间几何体的三视图,考查了四棱锥的结构特征,考查了面面垂直的证明,属于中档题.9.C【解析】
根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定,根据勾股定理,得到之间的等量关系,再用表示出的面积,利用均值不等式即可容易求得.【详解】设,,则.因为平面,平面,所以.又,,所以平面,则.易知,.在中,,即,化简得.在中,,.所以.因为,当且仅当,时等号成立,所以.故选:C.【点睛】本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用,考查空间想象能力以及数形结合思想,涉及线面垂直的判定和性质,属中档题.10.B【解析】
利用正态分布密度曲线的对称性可得出,进而可得出结果.【详解】,所以,.故选:B.【点睛】本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率,属于基础题.11.D【解析】
根据题意,分别假设一个正确,推理出与假设不矛盾,即可得出结论.【详解】解:由题意知,若只有小王的说法正确,则小王对应“入班即静”,而否定小董说法后得出:小王对应“天道酬勤”,则矛盾;若只有小董的说法正确,则小董对应“天道酬勤”,否定小李的说法后得出:小李对应“细节决定成败”,所以剩下小王对应“入班即静”,但与小王的错误的说法矛盾;若小李的说法正确,则“细节决定成败”不是小李的,则否定小董的说法得出:小王对应“天道酬勤”,所以得出“细节决定成败”是小董的,剩下“入班即静”是小李的,符合题意.所以“入班即静”的书写者是:小李.故选:D.【点睛】本题考查推理证明的实际应用.12.B【解析】
对分类讨论,当,函数在单调递减,当,根据对勾函数的性质,求出单调递增区间,即可求解.【详解】当时,函数在上单调递减,所以,的递增区间是,所以,即.故选:B.【点睛】本题考查函数单调性,熟练掌握简单初等函数性质是解题关键,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.36;1.【解析】
的可能取值为0,1,2,3,对应的排法有:.分别求出,,,,由此能求出.【详解】解:有2名老师和3名同学,将他们随机地排成一行,用表示两名老师之间的学生人数,则的可能取值为0,1,2,3,对应的排法有:.∴对应的排法有36种;,,,,∴故答案为:36;1.【点睛】本题考查了排列、组合的应用,离散型随机变量的分布列以及数学期望,属于中档题.14.【解析】,可行域如图,直线与圆相切时取最大值,由15.【解析】
根据三角形三边关系可知对任意的恒成立,将的解析式用分离常数法变形,由均值不等式可得分母的取值范围,则整个式子的取值范围由的符号决定,故分为三类讨论,根据函数的单调性求出函数值域,再讨论,转化为的最小值与的最大值的不等式,进而求出的取值范围.【详解】因为对任意正实数,都存在以为三边长的三角形,故对任意的恒成立,,令,则,当,即时,该函数在上单调递减,则;当,即时,,当,即时,该函数在上单调递增,则,所以,当时,因为,,所以,解得;当时,,满足条件;当时,,且,所以,解得,综上,,故答案为:【点睛】本题考查参数范围,考查三角形的构成条件,考查利用函数单调性求函数值域,考查分类讨论思想与转化思想.16.1【解析】
设等比数列的公比为,再根据题意用基本量法求解公比,进而利用等比数列项之间的关系得即可.【详解】设等比数列的公比为.由,得,解得.又由,得.则.故答案为:1【点睛】本题主要考查了等比数列基本量的求解方法,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)(i)(ii)分布列见解析,【解析】
(1)先计算甲、乙、丙同学分别选择D高校的概率,利用事件的独立性即得解;(2)(i)分别计算每个事件的概率,再利用事件的独立性即得解;(ii),利用事件的独立性,分别计算对应的概率,列出分布列,计算数学期望即得解.【详解】(1)甲从五所高校中任选2所,共有共10种情况,甲、乙、丙同学都选高校,共有四种情况,甲同学选高校的概率为,因此乙、丙两同学选高校的概率为,因为每位同学彼此独立,所以甲、乙、丙三名同学都选高校的概率为.(2)(i)甲同学必选校且选高校的概率为,乙未选高校的概率为,丙未选高校的概率为,因为每位同学彼此独立,所以甲同学选高校且乙、丙都未选高校的概率为.(ii),因此,.即的分布列为0123因此数学期望为.【点睛】本题考查了事件独立性的应用和随机变量的分布列和期望,考查了学生综合分析,概念理解,实际应用,数学运算的能力,属于中档题.18.(1);(2).【解析】
(1)由已知短轴长求出,离心率求出关系,结合,即可求解;(2)当直线的斜率都存在时,不妨设直线的方程为,直线与椭圆方程联立,利用相交弦长公式求出,斜率为,求出,得到关于的表达式,根据表达式的特点用“”判别式法求出范围,当有一斜率不存在时,另一条斜率为,根据弦长公式,求出,即可求出结论.【详解】(1)由得,又由得,则,故椭圆的方程为.(2)由(1)知,①当直线的斜率都存在时,由对称性不妨设直线的方程为,由,,设,则,则,由椭圆对称性可设直线的斜率为,则,.令,则,当时,,当时,由得,所以,即,且.②当直线的斜率其中一条不存在时,根据对称性不妨设设直线的方程为,斜率不存在,则,,此时.若设的方程为,斜率不存在,则,综上可知的取值范围是.【点睛】本题考查椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系,注意根与系数关系、弦长公式、函数最值、椭圆性质的合理应用,意在考查逻辑推理、计算求解能力,属于难题.19.(1),;(2).【解析】
(1)将代入求解,由(为参数)消去即可.(2)将(为参数)与联立得,设,两点对应的参数为,,则,,再根据,即,利用韦达定理求解.【详解】(1)把代入,得,由(为参数),消去得,∴曲线的直角坐标方程和直线的普通方程分别是,.(2)将(为参数)代入得,设,两点对应的参数为,,则,,由得,所以,即,所以,而,解得.【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的转化和直线参数方程的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.20.(1);(2)证明见解析.【解析】
(1)根据椭圆的基本性质列出方程组,即可得出椭圆方程;(2)设点,,,由,,结合斜率公式化简得出,,即,满足,由的任意性,得出直线恒过一个定点.【详解】(1)依题意得,解得即椭圆:;(2)设点,,其中,由,得,即,注意到,于是,因此,满足由的任意性知,,,即直线恒过一个定点.【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程,直线过定点问题,属于中档题.21.(1)见解析;(2)【解析】
(1)设为中点,连结,先证明,可证得,假设
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