浙江省2025届高考预测数学试题（含解析）

浙江省2025届高考预测卷数学试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合“={》|/=1}.N为自然数集，则下列表示不正确的是()

A.IGMB.M=[-1,1}C.D.M=N

2.已知集合河={x|-2<x<6},N^{x\-3<x<log235},则"r|N=()

A.{%|-2<x<log235}B.{x|-3<x<log235}

C.|-3<x<6}D.1%|log235<x<6}

3.已知函数/(x)=1cosx|+sinx,则下列结论中正确的是

①函数/Xx)的最小正周期为万；

②函数f(x)的图象是轴对称图形；

③函数/(x)的极大值为0;

④函数的最小值为-1.

A.①③B.②④

C.②③D.②③④

4.为计算5=1-2x2+3x22-4x23+...+100x(-2)99,设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入()

(“妁)

A.i<100B.i>100C.i<100D.z>100

5.若z=(3—z)(a+2z)(aeH)为纯虚数，贝!)z=()

A.—iB.6/C.—iD.20

33

6.为了得到函数y=sin（2x-乡］的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）

A.向左平移B个单位长度B.向右平移m个单位长度

O6

C.向左平移1个单位长度D.向右平喷个单位长度

7.—=()

1-z

l+3z3+z3-z-l+3z

A.B.——C.D.---------

22F2

8.函数/(%)=sinx（-万且xwO）的图象是（）

9.三棱柱ABC-4与G中，底面边长和侧棱长都相等，ZBAAl=ZCAAi=60°,则异面直线A耳与BQ所成角的余

弦值为（）

AV3RV606D百

A.•JD•Vz・•

3646

10.已知在AABC中，角A,瓦C的对边分别为a,4c,若函数+；"2+：（/+一或卜存在极值，则

角3的取值范围是（）

11.已知心，〃是两条不重合的直线，a是一个平面，则下列命题中正确的是()

A.若机//iz,nlla,则相〃“B.若mlIa,"ua,则相〃"

C.若加_1_〃，mVa>则〃//aD.若nlla,则〃z_L〃

12.已知平面A3CD，平面ADERABC。且AB=3,AD=C0=6,ADE尸是正方形，在正方形

ADE尸内部有一点〃，满足与平面ADEF所成的角相等，则点M的轨迹长度为()

44

A.—B.16C.-7iD.87r

33

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设等比数列｛4"｝的前"项和为S",若6-4=2,。2-%=6,则S4=.

14.某大学A、B、C、。四个不同的专业人数占本校总人数的比例依次为3.2%、4.8%、4%、5.2%,现欲采用

分层抽样的方法从这四个专业的总人数中抽取129人调查毕业后的就业情况，则。专业应抽取_________人.

15.“六艺”源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.某校在周末学生业余兴趣活动中开

展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两讲座必须相邻的

不同安排种数为.

16.角a的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点尸(1,2),则鬻则/一啕E的值是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

InY

17.(12分)已知函数/(x)=­.

(1)求函数〃力的极值；

(II)若加>〃>0,且m"=,求证：mn>e2.

18.(12分)如图，在四棱锥尸一A5CD中，底面是边长为2的菱形，ZS4D=60°,PB=PD=42-

(1)证明：平面平面ABC。；

(2)设“在AC上，AH=-AC,若PH=回求PH与平面P3C所成角的正弦值.

33

19.(12分)已知函数/(x)=|ax+l|+|x-l|.

(1)若a=2,解关于x的不等式，(x)<9；

(2)若当%>0时，〃x)>l恒成立，求实数〃的取值范围.

37r

20.(12分)在平面四边形ABCD中，已知NABC=—,AB±AD,AB=1.

4

(1)若AC=5,求△ABC的面积；

(2)若sinZCAD=箸,=4,求CD的长.

21.(12分)已知函数/'(x)=k+l|-归一2].

(1)解不等式〃x)Wl；

22222

⑵记函数/(龙)的最大值为s,若a+%+c=s(“,b,c>0),证明：ab+bc+ccr>3abc.

22.(10分)设函数〃％)=兀2-2x+2alnx(aeR).

(I)讨论函数/(九)的单调性；

(II)若函数/(九)有两个极值点以“，求证：/"")一"")>47次_1.

m—n

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

集合河={》|%2=1}={_1,1}.N为自然数集，由此能求出结果.

【详解】

解：集合河={》|炉=1}={_1,1}.N为自然数集，

在A中，IwM,正确；

在B中，A/={—1,1},正确；

在C中，00M,正确；

在D中，M不是N的子集，故D错误.

故选：D.

本题考查命题真假的判断、元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.A

【解析】

根据对数性质可知5Vlog235<6,再根据集合的交集运算即可求解.

【详解】

v5<log235<6,

集合M={为|-2<%<6},

由交集运算可得以cN={%|—2<x<log235}.

故选：A.

本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题.

3.D

【解析】

因为+兀)=1cos(兀+7i)|+sin(x+7i)=|cos九|一sinxwf(x),所以①不正确；

因为/(%)=1cosx|+sin兄,所以/(■^+x)=|cos(5+%)|+sin(]+x)=|sinx|+cosx,

//兀\I/兀x|•/兀\I|匕厂[、|//兀\//兀\

/(----X)=|cos(--X)|+sin(---X)=|sin%|+cosx,所以/(—+x)=/(---x),

所以函数/(元)的图象是轴对称图形，②正确;

易知函数了。)的最小正周期为2%,因为函数“X)的图象关于直线》=?对称，所以只需研究函数在［工上

222

的极大值与最小值即可.当工加时，/(x)=-cosx+sinx=V2sin(x-—),.1.—<%-—<—,令无一色=巴，得

22444442

X=—,可知函数/■(*)在x=3处取得极大值为鱼，③正确；

44

因为fw尤-fw半，所以T40sin(x-r)40,所以函数/⑴的最小值为—1,④正确.

4444

故选D.

4.A

【解析】

根据程序框图输出的S的值即可得到空白框中应填入的内容.

【详解】

由程序框图的运行，可得：s=o,i=0

满足判断框内的条件，执行循环体，a=l,S=l,i=l

满足判断框内的条件，执行循环体，a=2x(-2),S=l+2x(-2),i=2

满足判断框内的条件，执行循环体，a=3x(-2)2,S=l+2x(-2)+3x(-2)2,i=3

观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a=99x(-2)9%s=l+2x(-2)+3x(-2)2+...+lx(-2)",

i=l,此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值，所以判断框中的条件应是i<l.

故选：A.

本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题.

5.C

【解析】

根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果.

【详解】

z=(3-z)(a+2z)=3a+2+(6-a)z

*/z=(3—z)(a+2z)(aeH)为纯虚数，

3。+2=0且6-。20

得a=—2,此时z=及i

33

故选：C.

本题考查复数的概念与运算，属基础题.

6.D

【解析】

通过变形/'(x)=sin12x—W卜sin2(x—]),通过“左加右减”即可得到答案.

【详解】

根据题意/(x)=sin卜x—^]=sin2(x—念,故只需把函数y=sin2x的图象

上所有的点向右平移2个单位长度可得到函数V=sin2x-£的图象，故答案为D.

12I6；

本题主要考查三角函数的平移变换，难度不大.

7.A

【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【详解】

2+21(2+，)。+，)_2+3，+/_1+3，_13.

T7-(l-z)(l+O―_2--~2~~2+21

本题正确选项：A

本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题.

8.B

【解析】

先判断函数的奇偶性，再取特殊值，利用零点存在性定理判断函数零点分布情况，即可得解.

【详解】

由题可知/(%)定义域为[一汉0)50㈤，

，/(%)是偶函数，关于y轴对称,

二排除C,D.

2.〃万2c

sm—=----->0,

71227r

二/(%)在(0,乃)必有零点，排除A.

故选：B.

本题考查了函数图象的判断，考查了函数的性质，属于中档题.

9.B

【解析】

设羽=4,AB=a>前=5,根据向量线性运算法则可表示出鬲和M；分别求解出丽.西和|鬲|，忸叫，

根据向量夹角的求解方法求得cos〈鸡,西〉，即可得所求角的余弦值.

【详解】

设棱长为1,=c,AB-aAC-b

一1一11

由题意得：a♦b=—，b,c——，a•c=—

222

AB{=a+c,BC[=BC+BBX=b—a+c

ABy•BC1—(a+c)•(b-a+=-Q?+Q・C+b•c-ci,c+c2=——1+—+1=1

22

又I福卜J(a+32=y/a+2a-c+c=A/3

\BC^=+=yjb2+a2+c2-2a-b+2b-c-2a-c=>/2

■<Tgpc>-4/BQ_J__V6

cos-£画画一布_不

即异面直线A片与8。所成角的余弦值为：逅

6

本题正确选项：B

本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.

10.C

【解析】

求出导函数/'(x),由/。)=0有不等的两实根，即/〉0可得不等关系，然后由余弦定理可及余弦函数性质可得结

论.

【详解】

f(x)=~x'+3bx2+z(矿+c~-ac)x,f\x)=+bx++c~-ac).

若〃x)存在极值，则/—4xLx(/+c2一砒)>0,...a2+c242<ac

4'7

又cos3="+'———,.,.cosB<-.又：86（0,兀），：.巴<8<兀.

lac2'’3

故选：C.

本题考查导数与极值，考查余弦定理.掌握极值存在的条件是解题关键.

11.D

【解析】

利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断.

【详解】

解:选项A中直线m，九还可能相交或异面，

选项B中小，〃还可能异面，

选项C,由条件可得〃//a或〃ua.

故选：D.

本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.

12.C

【解析】

根据与平面ADEF所成的角相等，判断出=建立平面直角坐标系，求得〃点的轨迹方程，由

此求得点M的轨迹长度.

【详解】

由于平面A3CDL平面AD£E,且交线为AZ）,AB±AD,CD±AD,所以AB,平面ADEF,CD,平面ADEF.

所以NBMA和NCMD分别是直线MB,与平面ADE尸所成的角，所以4M4=NQ如，所以

tanZBMA=tanZCMD,即丝="，所以Affi>=2A".以A为原点建立平面直角坐标系如下图所示，贝U

AMMD

A（0,0）,0（6,0）,设Af（羽y）（点〃在第一象限内），由=得MD?=44欣2,即

（x-6）2+r=4（x2+y2）,化简得（X+2）2+y2=42,由于点“在第一象限内，所以〃点的轨迹是以G（—2,0）为

圆心，半径为4的圆在第一象限的部分.令x=0代入原的方程，解得y=±2石，故"（0,26）,由于G4=2,所以

77TT4万

ZHGA=-,所以点〃的轨迹长度为三义4=k.

333

故选：C

本小题主要考查线面角的概念和运用，考查动点轨迹方程的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查数形结合

的数学思想方法，属于难题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13,-40

【解析】

由题意，设等比数列的公比为q,根据已知条件，列出方程组,求得q,q的值，利用求和公式，即可求解.

【详解】

由题意，设等比数列的公比为4,

a,-cuq=2

因为-4=2,。2-%=6，即“2解得q=3,q=-1,

%q—=o

所以S4=

1一171-3

本题主要考查了等比数列的通项公式，及前n项和公式的应用,其中解答中根据等比数列的通项公式，正确求解首项

和公比是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

14.39

【解析】

求出。专业人数在A、B、C、。四个专业总人数的比例后可得.

【详解】

由题意A、B、。、。四个不同的专业人数的比例为8:12:10:13,故。专业应抽取的人数为

13

129x=39.

8+12+10+13

故答案为：1.

本题考查分层抽样，根据分层抽样的定义，在各层抽取样本数量是按比例抽取的.

15.24

【解析】

分步排课，首先将“礼”与“乐”排在前两节，然后，“射”和“御”捆绑一一起作为一个元素与其它两个元素合起来全排列，

同时它们内部也全排列.

【详解】

第一步：先将“礼”与“乐”排在前两节，有&2=2种不同的排法；第二步：将“射”和“御”两节讲座捆绑再和其他两艺全

排有用团=12种不同的排法，所以满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两节讲座必须相邻的不同安排种数为

尺尺看=24.

故答案为：1.

本题考查排列的应用，排列组合问题中，遵循特殊元素特殊位置优先考虑的原则，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用

插入法.

2^5

1b.---

5

【解析】

试题分析：由三角函数定义知cosa=[=。，又由诱导公式知cos(〃-a)=-cosa=-^~，所以答案应填：-与.

考点：1、三角函数定义；2、诱导公式.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(I)极大值为：—，无极小值；(II)见解析.

e

【解析】

(I)求出函数的导数，解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可求出函数/(%)的极值;(II)得到/(和)=/(〃),

根据函数的单调性问题转化为证明相>—>e,即证期<二咽，令G(x)=e2lnx-2x2+x2]nx(l<x<e),

nne"

根据函数的单调性证明即可.

【详解】

(i)•.•/(x)=F.-./(x)的定义域为(o,+。)且/■‘(%)=上詈

令/'(九)>0,得0(尤<e；令/''(NvO,得x〉e

.•./(%)在(O,e)上单调递增，在(%”)上单调递减

•••函数/(%)的极大值为/(e)=—=|,无极小值

(II)vm>n>0,mn=rT:.nynm—m\nn

InmInn.\\

—=——，SPf(m)=f(n)

mn

由(I)知/(%)在(。,6)上单调递增，在(G+8)上单调递减

且/(1)=。，则1<〃<e<加

2(2、(2、

要证加”>e2，即证m〉J〉e,即证/(")</—,即证/■(〃)<，—

n\n)\n)

即证皿<"2Tn")

ne2

由于l<〃ve,即Ovlnzivl,即证/inavZ"一〃2]口〃

令G(x)=1如%一2X2+x2lnx(l<x<e)

\(e2、(e+x)(e-x),、

贝!JG(x)=---4x+2x]nx+x=----x+2x(lnx-l)=-----------+2x(lnx-l)

X卜X'JC

-.-l<x<e.•.G'(x)〉0恒成立,G(力在(l,e)递增

G(x)<G(e)=0在％e(1,e)恒成立

2

/.mn>e

本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，考查运算

求解能力及化归与转化思想，关键是能够构造出合适的函数，将问题转化为函数最值的求解问题，属于难题.

18.(1)见解析；(2)&

3

【解析】

(1)记ACpB。：。，连结尸O,推导出瓦)，PO,班>，平面？AC,由此能证明平面PAC,平面A3CD；(2)

推导出平面ABCD,连结由题意得”为的重心，BC工BH,从而平面跳出_1平

面尸5C,进而是PH与平面尸5c所成角，由此能求出ZW与平面P5C所成角的正弦值.

【详解】

(1)证明：记ACnB〃=。，

连结PO,中，OB=OD,PB=PD，:.BD±PO,

-,-BD±AC,ACP|PO=。，平面PAC,

Q3Du平面ABCD,..・平面B4C，平面ABCD.

JIr—

(2)APOB中,ZPOB=-,OB=1,PB=①，：.PO=1,

2

•.•AO=5OH=虫,

3

.­.PH2=(,)2=|PH2=PO2+OH2,

:.PH±AC,..PH，平面ABC。，BC,

连结HB，由题意得H为AABD的重心，

jrTC

ZHBO=-,NHBC=—,..3C_L跳/,「U平面

62

•••平面PHB，平面PBC,：.H在平面PBC的射影落在PB上,

ZHPB是PH与平面PBC所成角,

.•.RtAPHB中，PH^―,PB=J2>:.BH=—

33

:.s"BPH=%=空=&

BP3垃3

PH与平面PBC所成角的正弦值为逅

3

W/

B

本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查运算求

解能力，是中档题.

19.(1){%|-3<x<3}(2)ae(0,+oo)

【解析】

(1)利用零点分段法将/(九)表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.

⑵对。分成a>O,a=O,a<。三种情况，求得〃尤)的最小值，由此求得。的取值范围.

【详解】

3x,x>1

(1)当a=2时，/(x)=|2x+l|+|x-l|=<x+2,—VxKl,

2

C1

—3x,x<—

2

由此可知，，(%)<9的解集为{为|一3<兀<3}

(a+l)x,x>1

(2)当a>0时，/(x)=|<7x+l|+|x-l|=<(a—l)x+2,—Vx1

a

-(a+l)x,x<—

/(元)的最小值为了和/(1)中的最小值，其中/1+->1,/(1)=。+1>1.所以/(幻>1恒成立.

a

当。=0时，/(%)=|x-l|+l>l,且/⑴=1,/。)>1不恒成立，不符合题意.

当a<。时，/(1)=|1+4/1+-,

a

若—2Wa<0,则故/'(x)>l不恒成立，不符合题意;

若a<—2,则/<1,故/(尤)>1不恒成立，不符合题意.

综上，ae(0,+oo).

本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方

法，属于中档题.

20.(1)-；(2)V13.

2

【解析】

(1)在三角形ABC中，利用余弦定理列方程，解方程求得的长，进而由三角形的面积公式求得三角形A5C的面

积.

(2)利用诱导公式求得cosNBAC,进而求得sin/BAC,利用两角差的正弦公式，求得sinN5C4,在三角形ABC

中利用正弦定理求得AC,在三角形ACD中利用余弦定理求得CD的长.

【详解】

（1）在△ABC中，AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosZABC

5=l+BC2+^/2BC^BC-+42BC-4=Q>

解得BC=立,

11r-J?1

S=-AB-BC-5znZABC=-xlxV2x—

aABC2222

（2）ZBAD=90°,sinZCAD=

5

cosABAC=sinACAD=^-,sinZBAC=—

55

ACAB

在AABC中,

sinZABCsinZBCA

…AB-sinZABC

二.AC=------------------

sinZBCA

CD2=AC-+AD2-2ACADcosZCAD^5+16-2x^5x4x^-=13.

CD=V13

本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.

21.(1)(2)证明见解析

【解析】

—3,x<一1

(1)将函数整理为分段函数形式可得/(%)=(2%-1,-1<%<2,进而分类讨论求解不等式即可;

3,x>2

(2)先利用绝对值不等式的性质得到了(九)的最大值为3,再利用均值定理证明即可.

【详解】

(1)f(x)=\x+]\-\x-2\

—3,x«—1

/(x)=<2x-l,-l<x<2

3,x>2

①当九<一1时，一3恒成立，

..x<—1；

②当一1〈尤<2时，2x—l<l,即x<1,

••—1<x<1；

③当时，3<1显然不成立，不合题意;

综上所述，不等式的解集为,1].

(2)由(1)知/(©max=3=$,

于是a+b+c=3

222

由基本不等式可得//+Z，C>2^/^W=2a&c(当且仅当a=c时取等号)

b%z+da1>24a2ble&=2abe1(当且仅当b=a时取等号)

c2a2+a2b2>2而bY=2a2bc(当且仅当c=b时取等号)

上述三式相加可得

2(以>2+b2c2+c2a2)>2abc(a+b+c)(当且仅当a=Z?=c时取等号)

a+b+c=3,

erb2+b2c2+c2a2>3abc，故得证.

本题考查解绝对值不等式和利用均值定理证明不等式,考查绝对值不等式的最值的应用，解题关键是掌握分类讨论解决

带绝对值不等式的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

22.(I)见解析(II)见解析

【解析】

(I)求导得到广⑴=2必—2x+2〃,讨论。2；,a<0三种情况得到单调区间.

(II)设机>〃，要证"咐一〉4加〃,即证/(根)一/(〃)>(4相〃-1)(加一〃)，m+n=l,mn=a,设

m-