2025年中考数学复习之一元二次方程

2025年中考数学复习新题速递之一元二次方

选择题（共10小题）

1.（2024•青秀区校级开学）下列方程是关于尤的一元二次方程的是（）

A.2/-3x+l=0B.3x+2y=0

»1

C.3x-2=0D.x2--+2=0

x

2.（2024秋•花都区校级月考）对于一元二次方程2x2+1=3x,下列说法错误的是（）

A.二次项系数是2B.一次项系数是-3尤

C.常数项是1D.x=l是它的一个根

3.（2024秋•花都区校级月考）用配方法解一元二次方程/-2x=l,配方后的结果是（）

A.（x-I）2=|B.（2x-1）2=0

C.（x-1）2=2D.（x+2）2=|

4.（2024•重庆一模）“读万卷书，行万里路.”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，

学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字.设该校七至九年级人均阅读量

年均增长率为x,则可列方程为（）

A.100（1+x）2=121

B.100（1+x%）2=121

C.100（l+2x）=121

D.100+100（1+x）+100（1+无）2=121

5.（2023秋•攀枝花期末）下列说法中，正确的是（）

B.Vab=Va-Vb

C.方程/+x-2=0的根是xi=-1,无2=2

D.—1尸—x—1

6.（2023秋•攀枝花期末）若x=-1是关于尤的一元二次方程a^+bx-1=0的一个根.则2024-2a+2b

的值为（）

A.2019B.2020C.2022D.2023

7.（2024•荔湾区校级开学）已知方程匕2+2尤-1=0有实数根，则上的取值范围是（）

A.后-1B.后1C.ZW1且左W0D.左2-1且公£0

8.（2024•青秀区校级开学）某农机厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个.设该厂五、

六月份平均每月的增长率为x,那么无满足的方程是（）

A.25（1+无）2=182

B.25+25（1+龙）+25（l+2x）=91

C.25（l+2x）=91

D.25+25（1+x）+25（1+无）2=91

9.（2023秋•苏家屯区校级月考）如果关于x的一元二次方程（机-3）x2+3x+："2-9=0有一个解是o,那

么m的值是（）

A.3B.-3C.±3D.0或-3

10.（2023秋•卫辉市期末）菱形ABC。的边长是5,两条对角线交于。点，且A。，2。的长分别是关于x

的方程/+（2/7!-1）龙+川+3=0的根，则m的值为（）

A.-3B.5C.5或-3D.-5或3

填空题（共5小题）

11.（2024•荔湾区校级开学）已知（6-1）%疗+1+3久-5=0是关于x的一元二次方程，则m的值

为.

12.（2024秋•新城区校级月考）一元二次方程?-2x-1=0有两个实根（填“相等”或“不

等”）.

13.（2024•荔湾区校级开学）若关于x的一元二次方程a/+6x+c=0QW0）的两根分别为xi=3,X2=-

2,则方程a（x-1）2+b（x-1）+c=0（aWO）的两根分别为.

14.（2024•青秀区校级开学）若一元二次方程7-2x-3=0的两根分别为a,b,则a+b=.

15.（2024•官渡区开学）若xi,%2是方程3/+2尤-2=0的两个根，贝！］好+以=.

三.解答题（共5小题）

16.（2024•东城区校级开学）已知a是方程27-5x-3=0的一个根，求代数式a（2a-5）+3的值.

17.（2024•西市区校级模拟）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量

快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同.

（1）求该公司销售A产品每次的增长率；

（2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的

降价措施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份

要获利70万元，则每套A产品需降价多少？

18.（2023秋•凉州区校级期末）解方程:

(1)x2-2x-2=0；

(2)4尤(2尤-1)=3(2尤-1).

19.(2024•肇源县开学)已知关于x的一元二次方程(2租+1)尤+加2-2=0有两个实数根分别为a,0,

(1)求机的取值范围；

(2)a2+p2=ll,求机的值.

20.(2024•亭湖区三模)三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河

流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”.为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆

文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意.已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A,B两个

系列，A系列产品比8系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150元购买8系列产品

的数量相等.按定价销售一段时间后发现：8系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若8系列产品

每降1元，则每天可以多卖10件.

(1)A系列产品和2系列产品的单价各是多少？

(2)为了使2系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售

价应定为多少元/件？

2025年中考数学复习新题速递之一元二次方程（2024年9月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.（2024•青秀区校级开学）下列方程是关于％的一元二次方程的是（）

A.2x2-3x+l=0B.3x+2y=0

01

C-3x2=。D./二+2=0

【考点】一元二次方程的定义.

【专题】一元二次方程及应用.

【答案】A

【分析】根据一元二次方程的定义即可解决问题.

【解答】解：根据一元二次方程的定义可知，

2*-3x+l=0只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2,

故A选项符合题意.

3x+3y=0含有两个未知数，

故2选项不符合题意.

3x-2=0只含有一个未知数，但未知数的最高次数为1,

故C选项不符合题意.

/-1+2=0只含有一个未知数，但不是整式方程，

故。选项不符合题意.

故选：A.

【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键.

2.（2024秋•花都区校级月考）对于一元二次方程2x2+1=3x,下列说法错误的是（）

A.二次项系数是2B.一次项系数是-3尤

C.常数项是1D.x=l是它的一个根

【考点】一元二次方程的一般形式.

【专题】一元二次方程及应用.

【答案】B

【分析】首先将原式化为一般式，然后根据一元二次方程的定义以及解的定义进行分析即可.

【解答】解：原方程一般式为：2?-3x+l=0,

二次项系数是2,一次项系数是-3,常数项是1,A、C正确，8错误，

当x=l时，2Xp+i=3,.\=1是它的一个根，。正确，

故选：B.

【点评】本题考查一元二次方程的定义及其解的定义，理解一元二次方程的一般式，以及相应基本概念

是解题的关键.

3.(2024秋•花都区校级月考)用配方法解一元二次方程7-2x=l,配方后的结果是()

A.(x—I/=|B.(2x-1)2=0

C.(x-1)2=2D.(久+2)2=|

【考点】解一元二次方程-配方法.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】C

【分析】将二次项系数化为1,两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可.

【解答】解：：X2-2X=1,

.'.x2-2x+l=l+l,

即(x-1)2=2,

故选：C.

【点评】本题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键.

4.(2024•重庆一模)“读万卷书，行万里路.”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，

学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字.设该校七至九年级人均阅读量

年均增长率为x,则可列方程为()

A.100(1+x)2=121

B.100(1+x%)2=121

C.100(l+2x)=121

D.100+100(1+x)+100(1+无)2=121

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.

【专题】一元二次方程及应用；应用意识.

【答案】A

【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量X(1+增长率)，如果设该校七至九年级人均阅

读量年均增长率为x,根据题意即可列出方程求解.

【解答】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为X,

根据题意得100(1+x)2=121.

故选：A.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，掌握为增长率问题的一般形式为a（1+x）2=b,。为起始时

间的有关数量，b为终止时间的有关数量是解决问题的关键.

5.（2023秋•攀枝花期末）下列说法中，正确的是（

,a+bc+d-,ac

A-如m果丁=丁’那么1d

B.Vab=y/a.■Vb

C.方程/+x-2=0的根是xi=-1,无2=2

D.J(x■-I——x—1

【考点】解一元二次方程-因式分解法；比例的性质；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法.

【专题】计算题.

【答案】A

【分析】A、等式两边利用同分母分数加法逆运算法则变形得到结果，即可做出判断；

B、当。与6都小于0时，原式不成立；

C、利用因式分解法求出方程的解，即可做出判断；

。、利用二次根式的化简公式计算得到结果，即可做出判断.

【解答】解：A、上券=变形得：+1=+1,即2=E，本选项正确；

bd匕abd

B、当〃20,b20时，Vab—4a*y]b,本选项错误；

C、方程因式分解得：（x-1）（x+2）=0,解得：xi=l,X2=-2,本选项错误；

D、J（X-1）2=|x-1],本选项错误，

故选：A.

【点评】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法，以及

比例的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

6.（2023秋•攀枝花期末）若x=-1是关于x的一元二次方程a^+bx-1=0的一个根.则2024-2a+26

的值为（）

A.2019B.2020C.2022D.2023

【考点】一元二次方程的解.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】c

【分析】把x=-1代入"^法-1=0,得至Ija,b的等式，转化为求代数式的值问题即可.

【解答】解：把x=-1代入苏+灰-1=0,

得a-b-1=0,

故a-b=l,

；.2O24-2a+2b=2024-2(a-b)=2022,

故选：C.

【点评】本题考查了一元二次方程解的定义，即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的

关键.

7.(2024•荔湾区校级开学)已知方程区2+2x-1=0有实数根，则上的取值范围是()

A.k2-1B.kAC.%W1且％WOD.左2-1且上二0

【考点】根的判别式.

【专题】一元二次方程及应用；推理能力.

【答案】A

【分析】当上=0时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当上W0时，根据根的判别式的意义得到

A=22-4kX(-1)>0,解得栏-1且20,然后综合两种情况得到k的取值范围.

【解答】解：当左=0时，方程化为2%-1=0,

解得％=

当上W0时，贝IJA=22-4%X(-1)20,

解得上N-1且k¥0,

综上所述，k的取值范围为-1.

故选：A.

【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，能根据题意进行分类讨论是解题的关键.

8.(2024•青秀区校级开学)某农机厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个.设该厂五、

六月份平均每月的增长率为x,那么无满足的方程是()

A.25(1+x)2=182

B.25+25(1+龙)+25(l+2x)=91

C.25(l+2x)=91

D.25+25(1+x)+25(l+.r)2=91

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】D

【分析】设该厂五、六月份平均每月的增长率为x,则五月份生产零件25(1+x)个，六月份生产零件

25(1+x)2个，根据“第二季度共生产零件91万个”即可列出方程.

【解答】解：设该厂五、六月份平均每月的增长率为无，根据题意，

得25+25(1+x)+25(1+x)2=91.

故选：D.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的

关键.

9.(2023秋•苏家屯区校级月考)如果关于x的一元二次方程(m-3)x2+3x+/〃2-9=0有一个解是0,那

么m的值是()

A.3B.-3C.±3D.0或-3

【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义.

【专题】一元二次方程及应用.

【答案】B

【分析】把x=0代入方程(m-3)x2+3x+m2-9=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不

能使原方程对二次项系数为0.

【解答】解：把x=0代入方程(m-3)/+3苫+加2-9=0中，得

H?-9=0,

解得m=-3或3,

当％=3时，原方程二次项系数m-3=0,舍去，

故选：B.

【点评】本题考查的是一元二次方程解的定义.能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考

查了一元二次方程的概念.

10.(2023秋•卫辉市期末)菱形ABC。的边长是5,两条对角线交于。点，且A。，8。的长分别是关于x

的方程/+(2/7!-1)龙+川+3=0的根，则m的值为()

A.-3B.5C.5或-3D.-5或3

【考点】根与系数的关系；菱形的性质.

【专题】方程与不等式.

【答案】A

【分析】由题意可知：菱形的边长是5,则AO1+BO2=25,则再根据根与系数的关系可得：AO+BO

=-2m+\,机2+3；代入中，得到关于机的方程后，求得机的值.

【解答】解：由勾股定理可得：AC^+BO2=25,

又有根与系数的关系可得：AO+BO=-2m+l,AO-BO=irr+3

：.A02+BO1=(AO+BO)2-2AO-BO=(-2/ra+l)2-2(m2+3)=25,

整理得：》?-2m-15=0,

解得：机=-3或5.

又,：&>0,

(2m-1)2-4(加2+3)>o,解得相v—学，

m--3,

故选：A.

【点评】此题考查根与系数问题，将菱形的性质与一元二次方程根与系数的关系，以及代数式变形相结

合解题是一种经常使用的解题方法.

二.填空题(共5小题)

11.(2024•荔湾区校级开学)已知(m-l)xm2+1+3%-5=0是关于x的一元二次方程，则m的值为

1.

【考点】一元二次方程的定义.

【专题】一元二次方程及应用；推理能力.

【答案】7.

【分析】根据一元二次方程的定义得出关于机的等式及不等式，据此可解决问题.

【解答】解：由题知,

m2+l=2,且机-1W0,

解得m=-1.

故答案为：-1.

【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键.

12.(2024秋•新城区校级月考)一元二次方程7-2x-1=0有两个不等实根(填“相等”或“不等”).

【考点】根的判别式.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】不等.

【分析】利用根的判别式A=庐-4ac进行判断即可.

【解答】解：1=0,

A-4ac=(-2)2-4X1X(-1)=8>0

该方程有两个不相等的实数根.

故答案为：不等.

【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式(A=b2-4ac)可

以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当△>()时，方程有两个不

相等的实数根；②当八=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<()时，方程无实数根.上述结论反

过来也成立.

13.(2024•荔湾区校级开学)若关于x的一元二次方程(aWO)的两根分别为xi=3,x2=-

2,则方程a(x-1)2+b(尤-1)+c=0(aWO)的两根分别为xi=4,%2=T.

【考点】根与系数的关系.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】尤1=4,X2=-1.

【分析】把方程a(X-1)2+b(X-1)+c=0中的X-1看成一个新的未知数，则关于尤-1的方程的解

等于关于x的一元二次方程ax1+bx+c=O的解.

【解答】解：：a?+6x+c=0(aWO)的两根分别为无1=3,x2=-2,

...关于尤-1的方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0(a/0)的解为：尤-1=3或x-1=-2,

解得：XI=4,X2=-1,

故答案为：xi=4,X2=-1.

【点评】本题考查一元二次方程的解的概念，关键是理解一元二次方程的解的概念.

14.(2024•青秀区校级开学)若一元二次方程/-2x-3=0的两根分别为a,b,则a+b=2.

【考点】根与系数的关系.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】2.

【分析】直接根据根与系数的关系求解.

【解答】解：二.一元二次方程7-2尤-3=0的两根分别为a,b

・'・a+b=—j—=2.

故答案为：2

2,

【点评】本题考查了根与系数的关系：若xi,X2是一元二次方程ax+Z?x+c=O（〃WO）的两根时,xr+x2=

bc

，X-iXn——.

a12a

16

15.（2024•官渡区开学）若xi,眼是方程3/+2x-2=0的两个根，则*+依=g.

【考点】根与系数的关系.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】.

【分析】根据尤1,X2是方程3/+2『2=0的两个根，可以得到尤1+X2=—多X1X2^-I，然后将所求式

子变形，再将无1+X2=-|,X1X2=—|代入计算即可.

【解答】解：•.•尤1,X2是方程3/+2X-2=0的两个根，

Xl+%2=一a，X1X2=一我，

+%2

=（X1+X2）2-2X1X2

=（一|）2-2X（-1）

44

-+-

93

4

-192

9

1

6

9

故答案为：—.

9

【点评】本题考查根与系数的关系，解答本题的关键是明确尤1+无2=-1尤02=2

三.解答题（共5小题）

16.（2024•东城区校级开学）已知a是方程2?-5元-3=0的一个根，求代数式a（2a-5）+3的值.

【考点】一元二次方程的解.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】6.

【分析】先根据一元二次方程解的定义得到2/-5a=3,然后利用整体代入的方法计算.

【解答】解：是方程2尤2-5%-3=0的一个根，

2cz2-5a-3=0,

/.2cr-5a=3,

.'.a（2a-5）+3=2a2-5i7+3=3+3=6.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程

的解.

17.（2024•西市区校级模拟）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量

快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同.

（1）求该公司销售A产品每次的增长率；

（2）若4产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的

降价措施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份

要获利70万元，则每套A产品需降价多少？

【考点】一元二次方程的应用.

【专题】方程思想；一元二次方程及应用；应用意识.

【答案】（1）该公司销售A产品每次的增长率为50%；

（2）每套A产品需降价1万元.

【分析】（1）设该公司销售A产品每次的增长率为为根据2月份及4月份该公司A产品的销售量，即

可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出（30+备X20）套，根据总利润=每套的利润X

销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论.

【解答】解：（1）设该公司销售A产品每次的增长率为x,

依题意，得：20（1+x）2=45,

解得：入1=0.5=50%,X2=-2.5（不合题意，舍去）.

答：该公司销售A产品每次的增长率为50%.

（2）设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出（30+备X20）套，

依题意，得：（2-y）（30+备X20）=70,

整理,得：4y2-5y+l=0,

解得：yi=I，"=1.

・・•尽量减少库存,

，y=l.

答：每套A产品需降价1万元.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

18.(2023秋•凉州区校级期末)解方程：

(1)x2-2x-2=0；

(2)4x⑵-1)=3(2x-1).

【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】(1)xi=l+V3,X2=l-V3；

13

(2)X\=2,X2=

【分析】(1)利用配方法求解即可；

(2)利用因式分解法求解即可.

【解答】解：(1)V?-2x-2=0,

-2x=2,

-1x+1=2+1,

(X-1)2=3,

".x-1=±V3,

.'.xi=l+V3,X2=l一百；

(2)V4.r(2尤-1)=3(2尤-1),

：.4x(2x-1)-3(2x-1)=0,

贝U⑵-1)(4x-3)=0,

.'.2x-1=0或4x-3=0,

解得Xl=:,尤2=

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方

法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

19.(2024•肇源县开学)已知关于尤的一元二次方程⑵%+1)龙+廿-2=0有两个实数根分别为a,0,

(1)求相的取值范围；

(2)若a2+仍=]],求m的值.

【考点】根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式.

【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力.

9

答案-

4

(2)m=l.

【分析】(1)由方程有两个实数根，可得出八=4m+920,解之即可得出机的取值范围；

(2)利用根与系数的关系，可得出a+B=2〃?+l,-2,结合式2+伊=11,可得出关于根的一元

二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论.

【解答】解：(1).•・关于x的一元二次方程x2-(2加+1)X+M?-2=0有两个实数根，

AA=[-(2m+l)I2-4X1X(m2-2)=4m+930,

9

-

4

Q

：.m的取值范围为m>—五；

(2)•.•关于x的一元二次方程(2加+1)/〃，-2=0有两个实数根分别为式，p,

/.a+p=2/7Z+La,p=/772-2,

*.'a2+p2=(a+p)2-2a邛=11,

(2m+1)2-2Cm2-2)=11,

.'.m2+2m-3=0,

解得：=7712=-3(不符合题意，舍去)，

m的值为1.

【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：(1)牢记“当

A20时，方程有两个实数根”；(2)根据根与系数的关系及9+伊=11,找出关于机的一元二次方程.

20.(2024•亭湖区三模)三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河

流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”.为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆

文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意.已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A,B两个

系列，A系列产品比2系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品

的数量相等.按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若2系列产品

每降1元，则每天可以多卖10件.

(1)A系列产品和B系列产品的单价各是多少？

(2)为了使8系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售

价应定为多少元/件？

【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用.

【专题】分式方程及应用；一元二次方程及应用；应用意识.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）设A系列产品的单价是x元/件，则8系列产品的单价是（x+5）元/件，利用数量=总价

・单价，结合100元购买A系列产品的数量与150元购买8系列产品的数量相等，可列出关于尤的分

式方程，解之经检验后可得出A系列产品的单价，再将其代入（x+5）中，即可求出8系列产品的单价；

（2）设B系列产品的实际售价应定为y元/件，则每天可以卖（200-10y）件，利用销售总额=销售单

价义销售数量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，

即可确定结论.

【解答】解：（1）设A系列产品的单价是x元/件，则8系列产品的单价是（尤+5）元/件，

一.100150

根据题显得：=

xx+5

解得：龙=10,

经检验，x=10是所列方程的解，且符合题意，

...x+5=10+5=15（元）.

答：A系列产品的单价是10元/件，2系列产品的单价是15元/件；

（2）设8系列产品的实际售价应定为y元/件，则每天可以卖50+10（15-j）=（200-10y）件，

根据题意得：y（200-10y）=960,

整理得：y2-20y+96=0,

解得：yi=8,”=12,

又•••要尽可能让顾客得到实惠，

；.y=8.

答：B系列产品的实际售价应定为8元/件.

【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正

确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程.

考点卡片

1.二次根式的性质与化简

(1)二次根式的基本性质：

①VHNO；心。(双重非负性).

②(迎)2=aQ20)(任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式).

a(a>0)

0(a=0)(算术平方根的意义)

{—a(a<0)

(2)二次根式的化简：

①利用二次根式的基本性质进行化简；

②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简.

Va

Vab=y[a*y[b(。20,心

0)VFb>0)

(3)化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开

得尽方的因数(或因式)都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数(或因式)的指数都

小于根指数2.

【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法

1.常见题型：与分式的化简求值相结合.

2.解题方法：

(1)化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简.

(2)代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果.

(3)检验结果：所得结果为最简二次根式或整式.

2.二次根式的乘除法

(1)积的算术平方根性质：Va-b=y/a'y[b(a20,620)

(2)二次根式的乘法法则：6•迎=(a^O,b20)

(3)商的算术平方根的性质：器弋(40,b>0)

二次根式的除法法则：得=a

(4)—(〃20,b>0)

规律方法总结:

在使用性质•迎=7a,b(a'O,b》O)时一定要注意a'O,620的条件限制，如果a<0,b<0,使

用该性质会使二次根式无意义，如(DX(7=9)W-4X-9；同样的在使用二次根式的乘法法则，

商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此.

3.一元二次方程的定义

(1)一元二次方程的定义：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.

(2)概念解析：

一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数是2.

(3)判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高

次数是2"；“二次项的系数不等于0"；“整式方程”.

4.一元二次方程的一般形式

(1)一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式"2+笈+°=0QW0).这种

形式叫一元二次方程的一般形式.

其中办2叫做二次项，。叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项.一次项系数6和常数项c可取任

意实数，二次项系数a是不等于。的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程

就不是一元二次方程了.

(2)要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式.

5.一元二次方程的解

(1)一元二次方程的解(根)的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解

也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.

(2)一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解.这XI,尤2是一元二次方程

的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量.

axi2+bxi+c=Q(aWO),ax22+bx2+c=O(aWO).

6.解一元二次方程-配方法

(1)将一元二次方程配成(x+机)2=〃的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫

配方法.

（2）用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为依QWO）的形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方

程无实数解.

7.解一元二次方程-因式分解法

（1）因式分解法解一元二次方程的意义

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两

个因