中考数学专项复习：二次函数中的平移问题 （含2023年中考试题+2024年一模）（解析版）

专题07二次函数中的平移问题

6）®®®

二次函数中的平移问题主要是点的平移和图形的平移：

针对顶点式抛物线的平移规律是：“左加右减（括号内），上加下减”，同时保持a

不变。

3

1.（2023・上海・统考中考真题）在平面直角坐标系宜川中，已知直线丁=^%+6与x轴

交于点A,y轴交于点'点C在线段A5上，以点C为顶点的抛物线M：

y=aY+灰+c经过点B.

y

A

X

O

（1）求点A,3的坐标;

(2)求b,c的值;

⑶平移抛物线M至N,点C,3分别平移至点尸，D,联结8,且8〃X轴，如果

点尸在x轴上，且新抛物线过点3,求抛物线N的函数解析式.

【答案】⑴A（-8,0）,6（0,6）

3

(2)/?=—,c=6

2

(3)y=得(x-4后)或y=j(x+4匈

3

【分析】⑴根据题意，分别将x=。,…代入直线受“+6即可求得;

（2）+得到抛物线的顶点式为y=-间？+:机+6,将取0,6）代入

可求得"7=一高，进而可得到抛物线解析式为y="2+；x+6,即可求得6,c；

（3）根据题意，设P（p,O）,C（机+6）,根据平移的性质可得点8,点C向下平

-3

移的距离相同，即列式求得机=T,«=—,然后得到抛物线N解析式为：

16

y=3（x-02,将3（0,6）代入可得。=±4虚，即可得到答案.

16

3

【详解】（1）解：：直线了=片+6与X轴交于点A,y轴交于点8,

当x=0时，代入得：y=6,故B（0,6）,

当尸。时，代入得:x=—8,故A（-8,0）,

（2）设C（m,|+6）,

则可设抛物线的解析式为：>=。（无-，"）一+j"+6,

:抛物线M经过点3,

3

将与（0,6）代入得：am2+—m+6=6,

*.*m0,

,3

..am=——,

4

3

即加=一上_,

4〃

33

；・将根=---代入y=Q（x-m）2+—m+6,

4。''4

3

整理得：y^ax2+-X+6,

3

故b=5，c=6；

（3）如图：

：CD〃龙轴，点P在无轴上,

二设尸（P，O）,C（m,^m+6],

•・•点C,B分别平移至点尸，D,

・••点6,点。向下平移的距离相同，

3-一「3八

4【4）

解得：加=-4,

,,3

由（2）知利=---,

4a

,_3

16

；•抛物线N的函数解析式为：y=A（x-p）2,

将矶0,6）代入可得：p=±40,

•••抛物线N的函数解析式为：y何或y=孤+4可.

【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，平移的性

质，二次函数的图象和性质等，解题的关键是根据的平移性质求出机和。的值.

2.（2024上.上海徐汇.九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOv中，第二象限

的点V在抛物线丁=依2（。＞0）上，点/到两坐标轴的距离都是2.

（备用图）

⑴求该抛物线的表达式；

⑵将抛物线）=依2（。＞0）先向右平移!■个单位，再向下平移左仅＞0）个单位后，所得

新抛物线与X轴交于点4〃?,0）和点8（凡0）,已知相＜〃，且=与y轴负半轴交

于点C.

①求上的值；

44

②设直线y=-4左与上述新抛物线的对称轴的交点为D，点尸是直线y=上位于点

3一

D下方的一点，分别连接CO、CP,如果tanNPa）=：,求点尸的坐标.

4

【答案】⑴丁=：龙2

⑵、①八百25；②”【〒24-732、）

【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，直角三角形的性质，熟

练掌握相关的性质，是解答本题的关键.

（1）利用待定系数法，求得。=g,由此得到答案.

（2）①根据题意得到，平移后的抛物线表达式为y=-k,根据已知条件，

令y==0,求出左=告，得至U答案.

②先利用已知条件，求出点C（0,-2）,点。13,一2）由此得到CD〃x轴，过点尸，作

33

P//，〉轴于点//,得到tanNPCO=-=tan/CP”，又tan/POH=—,设C〃=3x,

44

PH=4x,由此得到答案.

【详解】（1）解：根据题意得：

点M（—2,2）,点M在抛物线广加（。＞0）上，

「♦2=4a,

解得：。=;，

该抛物线的表达式为：y=1%2.

（2）①根据题意得：

1Q

将抛物线y尤,先向右平移!■个单位，再向下平移％（%＞。）个单位后的表达式为：

解得：x=^±\f2k,

②由①抛物线的表达式为:

3

其对称轴为x=

则点C(0,—2),

34

当％=一时，y=——x=-2,

23

即点一2)

・・・点C、。的纵坐标相同，

CD〃x轴，

3

则tan/POH=—,

4

3

tan/PCD=—=tanACPH,

4

设C〃=3x,PH=4x,

在Rt&9尸“中，

解得：户j

、

则点尸坐标为：(2432I.

3.(2024上.上海长宁.九年级统考期末)已知抛物线＞=2/+4丈+1.

(1)用配方法把y=2x2+4x+l化为y=a(x+m)2+k的形式，并写出该抛物线的开口方

向、对称轴和顶点坐标；

(2)如果将该抛物线上下平移，得到新的抛物线经过点。,4),求平移后的抛物线的顶点

坐标.

【答案】(1)该抛物线的开口向上，对称轴是直线x=-1,顶点坐标为(T，T)

(2)(T-4)

【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点

的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键.

(1)利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质写出抛物线的开口方向、

对称轴和顶点坐标.

(2)设平移后的抛物线解析式为y=2(x+l)2T+3代入点(1,4),求得人的值即可求

解.

【详解】(1)解：y=2x2+4x+l

=2(f+2x+l)-2+l

=2(%+1)2-1,

•••该抛物线的开口向上，对称轴是直线x=-l,顶点坐标为(T-1)；

(2)设平移后的抛物线解析式为y=2(x+iy-1+%,

:新的抛物线经过点(1,4),

.•.4=2x22-1+0

解得k=-3,

平移后的抛物线解析式为y=2(》+1)，-4,

...平移后的抛物线的顶点坐标是(T,-4).

4.(2024上•上海宝山•九年级统考期末)如图，在平面直角坐标系中，将抛物线

y=g无2平移，使平移后的抛物线仍经过原点O,新抛物线的顶点为M(点M在第四

象限)，对称轴与抛物线y=g尤,交于点N,且MV=4.

(1)求平移后抛物线的表达式；

⑵如果点N平移后的对应点是点P,判断以点。、M、N、P为顶点的四边形的形状,

并说明理由；

(3)抛物线y=上的点A平移后的对应点是点B,BC±MN,垂足为点C,如果

AABC是等腰三角形，求点A的坐标.

［答案］⑴y=］（x_2）~_2；

（2）是正方形，理由见解析；

⑶（4,8）、（2形,4）、（一20,4）、（2,2）.

【分析】（1）由题意得，平移后的抛物线表达式为：y=^x2+bx,得到点M、N的坐

标，进而求解；

（2）由题意得到。（0,0）,M（2,-2）,N（2,2）,P（4,0）,证明四边形OMPN是平行

四边形，由MN=O尸=4,得到四边形OMPN是矩形，由NO=NP=2屈,即可得出

结论；

（3）当AB=C4时，列出等式即可求解；当=或AC=BC时，同理可解.

【详解】（1）解：由题意得，平移后的抛物线表达式为：y=^+bx,

则点M的坐标为：,仇-我）

当x=—〃时，=-1^2>即点N卜";

贝I］MN=—b2+—b2=4,

22

解得：6=2（舍去）或。=一2,

则平移后的抛物线表达式为：y=^x2-2x；

（2）解：四边形OMPN是正方形，

根据题意可得。（0,0）,“（2,-2）,N（2,2）,尸（4,0）,

记MN与OP交于点G,则G（2,0）,

AOG=GP=2,MG=NP=2,MN=OP=4,NO=NP=2也,

四边形OMPN是平行四边形，

:MN=OP=4,

，四边形OMPN是矩形，

NO=NP=272,

四边形OMPN是正方形；

（3）解：设5aB^a+2,-a2—2^,C^2,—a2-2^j,

可得AB=20，AC=^（a-2）2+22,BC=4，

®AB^AC,2亚=《（a一2?+2?,即/田:。,

解得%=4,%=0（舍去0）,

二.A（4,8）；

②AB=BC,272=7?，

解得4=2^2,%=—25/2,

4（2"4）或A卜2衣4卜

®AC=BC,'（"2）2+22=",

解得［=2,

•••4（2,2）；

综上，点A的坐标是（4,8）、（20,4）、卜20,4）、（2,2）.

【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到正方形的性质、图象的平移，等腰

三角形存在问题等，分类求解是解题的关键.

5.（2024上•上海黄浦•九年级统考期末）如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于

点A3.对称轴为直线x=l的抛物线、=依2+法+。经过点43,其与无轴的另一交点

（1）求该抛物线的表达式；

（2）将该抛物线平移，使其顶点在线段AB上点尸处，得到新抛物线L,其与直线

y=-尤+3的另一个交点为。.

①如果抛物线乙经过点A,且与X轴的另一交点为。，求线段8的长；

②试问：A"。的面积是否随点尸在线段AB上的位置变化而变化?如果变化，请说明

理由；如果不变，请求出面积.

【答案】⑴）=T+2X+3；

⑵①CD=2；②ACPQ的面积不变，ACPQ的面积为2.

【分析】(1)先求得A(3,0),8(0,3),利用抛物线的对称性求得C(-l,0),设抛物线的

表达式为y=o(x+l)(x-3),利用待定系数法即可求解；

(2)①8=2；②联立求得。(租+1,2-7”),利用待定系数法求得直线CQ的解析式为

y=Nx+X，作「k〃丁轴交直线CQ于点R,求得区(利二坂+二］,禾(|

772+2m+2Im+2m+2)

用三角形的面积公式，列式计算即可求解.

【详解】(1)解:令x=0,则y=3；令y=0,贝|0=-x+3,解得x=3；

4(3,0),8(0,3),

:对称轴为直线x=l,其与x轴的另一交点为C,

C(-LO),

设抛物线的表达式为y=a(x+l)(x-3),

把3(0,3)代入y=a(x+l)(x-3),得3=a(0+l)(0-3),

解得。=-1,

抛物线的表达式为y=—(x+l)(x—3)=+2x+3；

(2)解：①根据题意设新抛物线L的顶点坐标为(桃3-加)，则新抛物线L的解析式为

y=—(x—77J)2+3—m,

•.•抛物线L经过点A,

0=—(3—AM)2+3—m,

解得机=3(舍去)或加=2,

当勿=2时，新抛物线L的解析式为y=-(元-2)2+1,

令y=0,贝|0=-(无一2)?+1,

解得尤=3或x=1；

•••与x轴的另一交点为。(1,0)；

cr)=i-(-i)=2；

②ACP。的面积不变，

:新抛物线L的解析式为y=-(x-mf+3-m,

联立得一X+3=—（龙一加J+3—772,整理得X?—（2"Z+l）X+7/l（7〃+l）=0,

解得工=%或尤=m+1;

2(m+L2-m),

设直线CQ的解析式为y=kx^bx,

z2-m

k=-------

—k+4=0m+2

：，\m+i)k+b=2-m，解得，

l72-m

b=-------

}m+2

•••直线CQ的解析式为y==x+二?

m+2m+2

作PR〃》轴交直线CQ于点H,

2-m

•mH---(--m----+--1+l)

m+2

2m—m2+2—m|/

加+2

1/22

=—3m—m+6—2m—2—m+m

2V

」x4=2,

2

...△CPQ的面积不变，ACPQ的面积为2.

【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，利用待定系数法求解函数解析式，坐标

与图形面积，二次函数图象的平移，掌握以上基础知识是解本题的关键.

6.（2024上.上海浦东新•九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线

用：,=-尤2+区+0过点42,2）、点8（0,2）,顶点为点C,抛物线M的对称轴交x轴于

点D

y木

i

o1x

(1)求抛物线M的表达式和点C的坐标；

⑵点P在x轴上，当AAOP与AACD相似时，求点P坐标；

(3)将抛物线加向下平移々＞0)个单位，得到抛物线N,抛物线N的顶点为点E,再把

点C绕点E顺时针旋转135。得到点R当点b在抛物线N上时，求f的值.

【答案】(l)y=-f+2X+2,点C(l,3)

⑵或(6,0)

⑶”0

【分析】(1)由待定系数法即可求解;

即孚=平，即可求解；当ACMPsAaM时，同

(2)当《MPsqif)时，则=

3v2

理可解;

(3)根据图像平移和旋转求出点/+3T-半，，代入函数解析式求解即可.

【详解】(1)解：由题意得:

c=26=2

解得:

一4+2Z?+c=2c=2

则抛物线的表达式为：y=-x2+2x+2,

•；y=-x2+2x+2=-(x-l)2+3

顶点C(l,3)；

(2)解：由(1)知，y=—x~+2x+2=—(x—1)+3,

又：抛物线M的对称轴交x轴于点D,

；•点”0),

：A(2,2)、8(0,2),C(l,3),0(1,0),

AC=^(2-1)2+(2-3)2=V2>8=3、AD=^(2-l)2+22>

==ZDCA=ZAOD=45°,

又：AAOP与AACD相似,

，点。与点c对应，

当AQW»AC4£)时，

则黑关，即等举，

CDCA3V2

解得：OP=6,

即点尸(6,0)；

当时，

贝I]"=丝.gpO£=W2

ACCDy/23

4

解得：。尸=3，

则点pg,o；

综上，点尸的坐标为：或(6,0)；

(3)解：如图，过点尸作FT_LCE交CE于点T,则NFET=180O-135o=45。,

c

2

设平移后的抛物线表达式为：y=-x+2X+2-t,

则CE=t,

在等腰RtZ\£FT中，EF=EC=t,

则TF=TE=旦,

2

则点尸'+与，,3一t一与t,

\7

将点F的坐标代入函数表达式得：3-r-争=-（1+字产+2（1+争）+2-,

解得：/=0（舍去）或6,

故f=0.

【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求二次函数解析式，二

次函数图象的平移，旋转的性质，二次函数图象性质，相似三角形的判定性质等知

识，分类求解是解题的关键.

7.（2024.上海杨浦・统考一模）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线

>=62-2办-3（。工0）与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧），与>轴交于点

C,抛物线的顶点为。，且AB=4.

⑴求抛物线的表达式；

⑵点尸是线段BC上一点，如果44c=45。，求点尸的坐标；

⑶在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点。平移至点E处，过点E作

EP工直线AP,垂足为点尸，如果tan/PE尸=；,求平移后抛物线的表达式.

【答案】（1）1y二——2x-3

【分析】（1）设点A的横坐标为4，点3的横坐标为右，根据对称轴，AB=4,列式

区产=1,/-%=4,利用根与系数关系计算确定•值即可.

（2）过点C作ACLMN于点C,交AC右侧的AP的延长线于点交AC左侧的

AP的延长线于点N,利用三角形全等，确定坐标，后根据解析式交点确定所求坐标

即可.

（3）设抛物线向左平移了/个单位，则点E（l-f,T）,过点尸作x轴的平行线交过点

P和y轴的平行线于点“，交过点E和,轴的平行线于点G,证明

GFGFFF1

RUFGEsRt/HR,根据相似三角形的性质得出===~^^=2即可

HFHPFPtanZPEF

求解.

【详解】（1）解：：抛物线＞=加一2依-3（。NO）与x轴交于点A、点8（点A在点8

的左侧），与＞轴交于点C,抛物线的顶点为O,且筋=4,

XAXB

^=1,XB-XA=4,

解得同=3,XA=-1,

解得＜7=1,

故抛物线的解析式为y=Y-2了-3.

（2）过点C作ACLMN于点C,交AC右侧的AP的延长线于点

VZ^4C=45°,

・・・AC=CM,

过点/作轴于点T,

・・・ZACO=90°-ZECM=ACMT

ZACO=ZCMT

・.・\ZAOC=/CTM,

AC=CM

：.△AOC^ACTM（AAS）,

・・.AO=CT,OC=EM,

•・•抛物线的解析式为y=/_21_3,XB=3,XA=-1,

：.AO=CT=IOC=TM=3,A（-l,0）,C（0,-3）,B（3,0）,

OE=2,TM=3

：.M（3,-2）,

设AM的解析式为丁=丘+。，3c的解析式为y=p%+4

.[~k+b=Qj3〃+q=0

t，\3k+b=-2'[q=-3'

AW的解析式为y=-gx-；，BC的解析式为y=x-3,

y=x—3

5

x=—

3

解得

(3)：y=x2-2x-3=(x-l)2-4,点0(1),

设抛物线向左平移了t个单位，则点E(IT,Y),

过点尸作x轴的平行线交过点尸和y轴的平行线于点H,交过点E和y轴的平行线于

点G,

设小，一1一寸

•・•ZEFP=90°,

：.NGFE+NHFP=9。。,

・・•NGFE+NG跖=90。，

・・・NGEF=NHFP,

ARuFGE^RtAPHF,

.GEGFEF1_2

■诉一诉一而一tanN尸石厂—'

,•*GE=yp_y^-=——nt——+4,HF=Xp_Xp=——m,GF—Xp—x0—TH—（1一%）,

rm114

HP=yF-yp=--m--+~,

解得：f=T,

"一4=H-4.

【点睛】本题为考查了二次函数综合运用，三角形全等和相似、解直角三角形、图象

平移等，正确作辅助线是解题的关键.

8.（2024上.上海静安.九年级统考期末）在平面直角坐标系x0y中（如图），已知点

4（一2,0）、8（6,0）、C（0,8）、,2,在同一个二次函数的图像上.

-----------------------------1------------------------►

oi%

（i）请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式；

⑵如果射线班平分/ABC,交y轴于点E,

①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段8E的点尸处，求此时抛物线顶点P的

坐标；

②如果点P在射线BE上，当△尸3c与△8OE相似时，请求点尸的坐标.

9Q

【答案】⑴丫=-§彳2+9+8

（2）®F（2,2）②止2,4）,②<5）

【分析】（1）把解析式设为交点式，再把C（0,8）代入解析式中求解即可；

（2）①过点E作3c于H,由角平分线的性质得到OE=RE.利用勾股定理求

出3c=10,进而利用等面积法求出。E=3,则E（0,3）,求出直线助解析式为

y=x+3,再求出对称轴为直线x=2,由此即可求出/（2,2）；②先求出

OE=3,OB=6,设尸（2根,一加+3）,贝l|PC?=5加？+1。心+25,PB2=5m2-30m+45,

分当时，当APBCSA£BO时，两种情况根据相似三角形的性质建立方

程求解即可.

【详解】⑴解:设二次函数解析式为y=a（x+2）（x—6）（分0）,

把C（0,8）代入y=a（x+2）（x-6）（aH0）中得：a（0+2）（0-6）=8,

2

解得。=-『

99S

二次函数解析式为y=_耳（彳+2）（x_6）=+§彳+8；

（2）解：①过点后作团13（7于H,

•射线8E平分/ABC,EH±BC,EO±AB,

：.OE=HE,

•••8(6,0)、C(0,8),

・•・"=&06=6,

-*•^C=VOC2+OB2=10^

•Sgoc=S/^BCE+SgoE，

：.-OBOC=-OEOB+-BCHE,

222

.\-x6x8=3OE+5OE,

2

OE=3,

：.石（0,3）,

设直线BE解析式为y=kx+b,

・J6左+b=0

u[b=3'

k=--

：.<2,

b=3

.•.直线班解析式为y=+3,

9Q

..•二次函数解析式为了=-§/+：龙+8,

8

，对称轴为直线了=-一=2,

--x3

3

在丫=—1无+3中，当x=2时，y=2,

F（2,2）；

②：E（0,3）,3（6,0）,

Z.OE=3,OB=6,

设尸（2帆一加+3）,

...PC2=（2/?z-0）2+（-m+3-8）2=5z/r+10m+25,

PB2=（2/n-6）2+（-m+3-0）2=5m2-30m+45,

当APBCS—BE时，则喋=黑=2,

PCOE

.5m2-30m+45

,,9=4,

5m之+10m+25

***5m2-30m+45=20m2+40m+100,

•**3m2+14m+11=0,

解得机=-1或（舍去），

；.P（-2,4）；

当APBCS^EBO时,则黑=!|二，

nC（JD2

.5m2+10m+251

••-----------------------—―,

1004

m2+2m=0,

解得〃z=-2或〃?=0（舍去），

尸（＜5）；

综上所述，P(-2,4)或尸(Y5).

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质，勾股定理，角平分线的

性质，一次函数与几何综合等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键.

9.(2024上.上海青浦•九年级统考期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线

y=#+原+1过点4(1,2)和点5(2,1),与y轴交于点C.

(1)求。、》的值和点C的坐标；

(2)点P为抛物线上一点(不与点A重合)，当ZPCB=ZACB时，求点尸的坐标；

(3)在(2)的条件下，平移该抛物线，使其顶点在射线8上，设平移后的抛物线的顶

点为点、D,当△CDP与ACAP相似时，求平移后的抛物线的表达式.

【答案】（l）a=—1,6=2,C（O,1）,

⑵*3,-2）；

（3）y=-（x-9）2+10.

【分析】（1）由待定系数法即可求解；

（2）证明448=45。=/PCB,则直线CP的表达式为丁=-尤+1,即可求解；

（3）当△（?£＞「与ACIP相似时，证明/APC=NCZ）P,得至ACR4sACDP,

则PC2=ACCD,即可求解；

本题考查了二次函数综合运用，涉及到三角形相似、一次函数的图象和性质等，解题

的关键是熟练掌握知识点的应用.

【详解】（1）由题意得：

a+b+l=2a=-1

4a+26+l=l'解得:

b=2

当x=0时，y=l,则C（0,l）,

CL——1

（2）由（1）得:

b=2

抛物线解析式为y=-Y+2x+1①,

由点B、C的坐标知，3C〃x轴，

由点A、C的坐标知，ZACB=45°=ZPCB,

则直线CP的表达式为：＞=r+l②，

联立①②得：-犬+1=-尤2+2x+l,解得：x=0（舍去）或3,

，x=3时，，=-2,

则点尸（3,—2）；

（3）由点A、C的坐标得直线AC的表达式为：y=*+l,

故设点D(m,m+l)(m>0),

由点尸、D、C、A的坐标得，PC2=18,AC=四,CD=-Jim-

当△(?£>尸与AC4P相似时，

VZACP=ZDCP,NCPA手NCPD,

则ZAPC=ZCDP,

：.ACPAS^CDP,

n.CPAC

CDPC

即PC2ACCD,

即18=应*"〃，

解得：m=9,

则点0(9,10),

则抛物线的表达式为：y=-(%-9)2+10.

10.(2024上•上海松江.九年级统考期末)在平面直角坐标系xOy中，抛物线

y=32+bx+c(a>0)的图像经过原点。(0,0)、点A(l,3a),此抛物线的对称轴与x轴交

于点C,顶点为B.

yk

(1)求抛物线的对称轴；

(2)如果该抛物线与x轴负半轴的交点为。，且—ADC的正切值为2,求。的值；

(3)将这条抛物线平移，平移后，原抛物线上的点4B分别对应新抛物线上的点E、

P.联结上4,如果点尸在y轴上，PA//x^，且NEPA=NCBO,求新抛物线的表达

式.

【答案】⑴直线x=-1

⑵。=2

⑶、=*?+乎

【分析】该题主要考查了二次函数综合，涉及知识点主要有解直角三角形，二次函数

的图象和性质，全等三角形的性质和判断，函数平移等知识点，解题的关键是掌握以

上知识点；

(1)将。(0,0)、41,3〃)代入解析式再求解即可；

AN

(2)过A作⑷轴，根据tanNAOC=2=——，求解即可；

DN

(3)由(1)算出3(-1,a),C(-1,O),再根据点P在y轴上，尸A〃x轴，作

轴于K,得出BK=AP=1,NALP=NBZX,证明VAPL丝V3KL,得出PL=LK=2a,

pjnr1

又结合平移得出tanNPAL=——=2%在△3CO中，tanZCBO=——=—,由

APBCa

12口/尸泣=1皿/。5。歹!］方程解出4=变，即可求解；

2

【详角军】(1)Qy=ax2+bx+cxt0(0,0),

c=0,

又过A(l,3〃)，

a+b+c=3a,

..Z?—2a,

y=ax2+bx+c的对称轴为直线％=—~—=——=—1,

2a2a

(2)由(1)矢口b=2a,c=0,

..玉=0,%2=—2,

.R-2,0),

过A作ANJ_x轴，

DN=1-(-2)=3,

...tanNAZ)C=2=——,

DN

：.AN=2DN=6,

..3cl——6,

a=2.

(3)由(1)得，y=ax2+2ax=a(^x2+2x+l—=a(x+l)2—a,

.**,对称轴为直线％=-1,

・・•点尸在y轴上，轴,

作轴于K,

/.BK=AP=1,

设AB交y轴于L,

/.P(0,3<7),

.・.AALP=/BLK,

又ZAPL=/BKL=94。,

sNAPL^BKL,

PL=LK,

又PK=3a—(—a)=4-a,

PL=LK=2a,

・•・PL=LK=2a,

又由平移知EP〃AB,

・•・ZEPA=ZPAL,

tan/PAL==2a,

AP

OC1

又在△区CO中，tanZCBO=——=一，

BCa

Q/CBO=/EPA,

：.ZPAL=ZCBO,

tanNPAL=tan/CBO,

.2。——,

a

2a2-1,

,21

..a二一,

2

e—e

a=------------,

22

,_V2

..6Z-----,

2

.••二次函数解析式为"孝一+血一

•••新抛物线解析式为y=变无2+逑.

22

11.(2024上.上海金山.九年级统考期末)已知：在平面直角坐标系中，抛物线

y=ad+灰+。过点A(—l,0)、3(3,0)、C(0,-3).

i-

IIII______1111A

01*

(1)求抛物线的表达式和顶点户的坐标；

(2)点。在抛物线对称轴上，々40=90。，求点。的坐标；

(3)抛物线的对称轴和x轴相交于点M，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为点。,

QB=QM,Q。的延长线交原抛物线为E,QO=OE,求新抛物线的表达式.

【答案】⑴尸23-3,(1,-4)

⑵(LD

(3)y-x2-4x-l

【分析】(1)利用待定系数法解得该抛物线解析式，并将其转化为顶点式，即可确定

点P的坐标；

(2)设点。(1,相)，根据勾股定理可得A产=20,AD2=m2+4,

PD2=m2+8m+16,在口以凡叨中，由勾股定理可得AP?+AD?=阳?，然后代入求

值，即可获得答案；

(3)首先过点。作MB于点根据等腰三角形“三线合一”的性质确定点”为

MB中点，易得〃(2,0)；过点E作EGLx轴于点G,证明AOEG0A由全等三

角形的性质可得OG=OH=2,EG=QH,易知点E的横坐标为-2,进而确定点

E(—2,5),点。(2,-5),然后根据平移的性质，即可获得答案.

【详解】(1)解：将点解TO)、8(3,0)、C(0,-3)代入抛物线、=冰2+6无+c,

0=a-b+c4=1

可得<0=+3Z?+c解得,b=-2,

-3=cc=-3

/.该抛物线的表达式为y=--2x-3,

又：y=x2-2x-3=(x-l)2-4,

•••顶点尸的坐标为(1,-4);

(2)如下图，

根据题意，点。在抛物线对称轴上，ZPAD=9Q°,

设点。(1,根)，

•/A(-l,0),P(1T),

AP2=[1-(-1)]2+[0-(-4)]2=20,AD2=m2+[1-(-1)]2=m2+4,

PD2=[m—(―4)|2=m2+8m+16,

在RtA"。中，由勾股定理可得AP'AD?=PZ)2,

BP20+m2+4=m2+8租+16,

解得机=1,

•••点。的坐标为(U);

(3)如下图，

,原抛物线>=/-2》-3=0-1)2-4,

.,•其对称轴为x=l,

AM(l,0),

•••新抛物线的顶点为点Q,QB=QM,

过点。作于点a,则即点H为MB中点,

V5(3,0),"(1,0),

H(2,0),

二O//=2,

过点E作EG_Lx轴于点G,

VZOGE=ZOHQ=90°,ZGOE=ZHOQ,QO=OE,

：.“OEG沿OQH(AAS),

AOG=OH=2,EG=QH,

.••点E的横坐标为-2,

2

/.yE=(-2)-2x(-2)-3=5,

E(-2,5),

/.EG=QH=5,

Q(2,-5),

•••把原抛物线y=Y-2x-3=(x-ir-4平移，得到新抛物线，

•••新抛物线解析式为y=（X-2）2-5=--4.L1.

【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、利用二次函数解决几何问

题、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，解题关键是运

用数形结合的思想分析问题.

0®®®

1.（2023上•上海嘉定•九年级统考期末）已知平面直角坐标系抛物线

y=x2+bx+c经过点A（-3,0）和B（0,-3）两点.

（1）求抛物线的表达式;

（2）如果将这个抛物线向右平移上（左＞0）个单位，得到新抛物线经过点8,求上的值.

【答案】⑴y=/+2x-3

(2)左=2

【分析】本题考查了二次函数的解析式求解以及二次函数的平移，注意计算的准确性

即可.

（1）将点4（-3,0）和3（0,-3）代入y=Y+法+c即可求解；

（2）由（1）得y=（x+l）2-4,设平移后的抛物线表达式为y=（x+l-左）、4,将点

3（0,-3）代入即可求解.

【详解】（1）解：将点4（-3,0）和3（0,-3）代入yuf+fox+c得：

j9-3Z?+c=0

|c=-3

b=2

解得

c=—3

•••抛物线的表达式是：y=d+2x-3.

(2)解:由(1)配方得：y=(x+l)2-4

根据题意可设平移后的抛物线表达式为y=(x+l-k)2-4

•/y=(x+l-k)2一4经过点B(0,-3)；

-3=(1—4y_4

解得：K=。，k2=2

'：k>0

:•k=2.

2.(2023上•上海浦东新•九年级校考阶段练习)已知抛物线丁=办2+桁+。如图所示,

请结合图像中所给信息完成以下问题：

(1)求抛物线的表达式：

(2)若该抛物线经过一次平移后过原点。，请写出一种平移方法，并写出平移后得到的

新抛物线的表达式.

【答案】⑴y=—尤~—2x+3

(2)将抛物线向下平移3个单位，y=-d-2x

【分析】(1)由题意可设抛物线的解析式为y="(x-l)(x+3),把(0,-3)代入上式,

即可求解；

(2)把抛物线表达式化为一般式y=-/-2x+3,根据平移的性质即可求解.

【详解】(1)解：由题意可得，抛物线过点。,0),(-3,0),(0,-3)

•••设抛物线的解析式为：j=«(x-l)(x+3),

把(。,-3)代入，可得3a=-3,

解得：。=一1,

2

抛物线的解析式为：y=—(x—l)(x+3)=-X-2X+3；

(2)由(1)得y=—x2—2x+3,

二将抛物线向下平移3个单位，得y=-2无，

得到该抛物线经过一次平移后过原点。，

3.(2022・上海・统考中考真题)已知：>=：尤2+公+。经过点4(-2,-1),3(0,—3).

⑴求函数解析式；

(2)平移抛物线使得新顶点为尸(山,〃)(相>0).

①倘若人。朋=3,且在x=左的右侧，两抛物线都上升，求上的取值范围；

②P在原抛物线上，新抛物线与J7轴交于Q,NBPQ=120。时，求尸点坐标.

【答案】(i)y=；--3

⑵①文2

②尸的坐标为(2石，3)

【分析】(1)把人(-2,-1),3(0,-3)代入〉=；必+法+。，求解即可；

(2)①由y=g/-3,得顶点坐标为(0,-3),即点2是原抛物线的顶点，由平移得抛

物线向右平移了相个单位，根据ZOPB=：x3〃z=3,求得相=2,在》=上的右侧，两抛

物线都上升，根据抛物线的性质即可求出々取值范围；

111

②把尸(m,〃)代入-3,得加2-3,则尸(m,—m2-3),从而求得新

抛物线解析式为：y=(x-m)2+n=yx2-nuc+m2-3,则。(0,m2-3),从而可求得BQ=加2,

222

BP=m+(1〃/_3+3)2=m2+lm\PQ2=〃/+[(1/_3)_(/_3)了=m+^,即可

得出BP=PQ,过点P作尸C，y轴于C,则尸C=M，根据等腰三角形的性质可得BC=

；BQ=gn/,NBPC=；NBPQ=；xl20°=60°,再根据tan/BPC=tan60°=

12

BC2m

=5即可求出，"值，从而求出点P坐标.

PC-\m\

【详解】(1)解：把A(-2,-1),3(0,-3)代入丫=：/+版+。，得

—1=2—2。+。6=0

解得:

—3=cc=—3’

2

•••函数解析式为：J=1X-3;

(2)解：(1)^=—x2—3,

；•顶点坐标为(0,-3),即点8是原抛物线的顶点，

•••平移抛物线使得新顶点为尸(S〃)(m>0).

二抛物线向右平移了:九个单位，

x

S^OPB——3根=3,

••〃z=2,

・•・平移抛物线对称轴为直线x=2,开口向上，

・・,在x=左的右侧，两抛物线都上升，

又・・,原抛物线对称轴为y轴，开口向上，

②把P(m,n)代入y=g%2—3,得行g4-3,

1

/.P(m,—m~9-3)

2

根据题意，得新抛物线解析式为：^1(x-m)2+n=1x2-mx+m2-3,

A2(0,m2-3),

VB(0,-3),

BQ=m2,BP2=m2+(^m2—3+3)2=m2+m4,

PQ2=机2+[(gm2—3)—(m2—3)]2=m2+m4,

:.BP=PQ,

如图，过点尸作尸轴于C,则尸C二|m|,

♦；BP=PQ,PC.LBQ,

BC=1BQ=Jm2,ZBPC=|ZBPQ=gx120°=60°,

2

1OT

：.tanZBPC=tan60°=B£=2_=也,

PC-\m\~

解得：m=±2V3(舍去负数)，

m2—3=3,

2

故P的坐标为(26，3).

【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的平移，抛物线的性质，解直

角三角形，等腰三角形的性质，本题属抛物线综合题目，属中考常考试题目，难度一

般.

4.(2023上•上海普陀・九年级统考阶段练习)在平面直角坐标系尤2y中(如图)，已知

抛物线y=♦+x+c经过4(-2,0)和8(0,4),与x轴的另一个交点为C.

1-

llllIlli111

-\Q1%

-1-

⑴求该抛物线的表达式及顶点M的坐标；

⑵将抛物线、="2+尤+。先向右平移2个单位，再向下平移加(机＞0)个单位后得

到的新抛物线与y轴交于点P(O,-I),新抛物线的顶点为；

①求新抛物线的表达式及顶点M'的坐标;

②点N是新抛物线对称轴上的一点，当与相似时，求点N的坐标.

【答案】(1)y=-#+彳+4,小