人教版高二数学选择性必修第一册同步单元测试卷（新高考）等比数列（A）

《2022-2023学年高二数学人教A版2019选择性必修第二册同步单元测试AB卷（新高考）》

专题4.5等比数列（A）

第I卷选择题部分（共60分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.（2019•陕西・安康市教学研究室二模（文））若一个等比数列的公比为3,且首项为2,则该数列的第4项

为（）

A.18B.36C.54D.162

2.（2022•吉林・长春外国语学校高三期中）等比数列4,x,9,…，则实数x的值为（）

1313

A.-6B.—C.±6D.±—

22

3.（北京市通州区2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题）某商品自上市后前两年价格每年递增10%,

第三年价格下降了20%,则第三年降价后与上市时价格相比，变化情况是（）

A.下降了2.8%B,增加了2.8%

C.下降了3.2%D.增加了3.2%

4.（2022・湖南.长郡中学高二期中）在数列｛4｝中，0+1=-2%且01=1,则氏=（）

A.2"-2B.（~2）"-2C.2"一D.（-2尸

5.（2022•甘肃省临跳中学高二阶段练习）已知2,a-3,|-。成等比数列，则a的值为（）

A.2B.4C.2或4D.无法确定

6.（2022•四川省成都市新都一中高三阶段练习（理））数列｛%｝满足%+「2%=0,4勺=4,则R的值为

（）

A.2B.-2C.±2D.4

7.（2022.黑龙江・哈尔滨三中高三阶段练习）已知等比数列｛%｝的公比q>1,前”项和为,4=1,%+/=6,

则1=（）

A.29B.30C.31D.32

8.（2022•全国•高三专题练习）已知正项等比数列｛q｝前九项和为S”，且4+。3=6,S4+=S3+3,则等比

数列的公比为（）

A.士B.2C.-D.3

23

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.

9.（2022・全国•高二课时练习）下列数列是等比数列的是（）.

A.1,1,1,1,1B.0,0,0,0,...

C.二，一，一j...D.—1,—1,1,—1,...

248

10.（2022・湖北•武汉市钢城第四中学高二期中）已知数列｛4｝是等差数列，数歹！I｛2｝是等比数列

则下列说法正确的是（）

A.若p,q为实数，则｛。4+式订是等比数列

B.若数列｛4｝的前几项和为S“，则S5,Sl0-S5,几-九成等差数列

C.若数歹式优｝的公比4>1,则数歹£2｝是递增数列

D.若数列｛%｝的公差d<0,则数列｛4｝是递减数列

11.（2022•甘肃・白银市第九中学高二阶段练习）已知等比数列｛%J,%=1,q=2,贝|（）.

，1、

A.数歹！J｛一｝是等比数列

an

B.数列｛上｝是递增数列

an

C.数列｛log2。/是等差数列

D.数列｛log?凡｝是递增数列

12.（2022•全国•高三专题练习）已知｛叫为等差数列，满足2a2-%=1，也｝为等比数列，满足4=-8,4=64,

则下列说法正确的是（）

A.数列｛4｝的首项比公差多1B.数列｛见｝的首项比公差少1

C.数列也｝的首项为2D.数列出｝的公比为-2

第II卷非选择题部分（共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（2022・全国•高三专题练习）在等比数列｛%｝中，％=4吗。=16,则电和％。的等比中项为.

14.（2022•全国•高三专题练习）设等比数列｛%｝满足/+出=4,%-6=8.则通项公式a„=.

15.（2020•广东•高三学业考试）设等比数列｛4｝的前"项各为5"，已知4=1,邑=3,则S3=.

16.（2021•河南・安阳37中高一期末）设等比数列｛4｝满足q+的=3,a2+a3=6,则牝=.

四'解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（2022•全国•高三专题练习）在等比数列｛q｝中，已知«4=4.求：

（1）数列｛4｝的通项公式；

⑵数列忖｝的前5项和

18.（2022・上海•华师大二附中高二期中）已知等差数列｛%｝的前”项和为S“，公差dwO,且冬+&=50，

%,%，%成等比数列.

（1）求公差d的值；

⑵求S“.

19.（2022・甘肃・天水市第一中学高二阶段练习）设等比数列｛%｝的前w项和为S,.

⑴若公比4=2,%=96,S„=189,求"；

⑵若S3：邑=3:2,求公比q.

20.（2022・全国•高三专题练习）在数列｛。“｝中，ai—1,an=2anj+n-2

（1）证明：数列｛q+〃｝为等比数列，并求数列｛4｝的通项公式；

⑵求数列｛aw｝的前〃项和Sn.

21.（2022・四川・遂宁中学高三阶段练习（理））已知等差数列｛%｝满足q=2,前4项和邑=7.

（1）求｛q｝的通项公式；

（2）设等比数列也｝满足打=%，4=%，数列圾｝的通项公式.

22.（2022.江西南昌•高三阶段练习（文））在等比数歹！]｛七｝中，al+a2=5a2=^.

（1）求｛凡｝的通项公式；

3

（2）求数歹jJ｛]a〃+2〃一l｝的前〃项和Sn.

《2022-2023学年高二数学人教A版2019选择性必修第二册同步单元测试AB卷（新高考）》

专题4.5等比数列（A）

第I卷选择题部分（共60分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.（2019•陕西•安康市教学研究室二模（文））若一个等比数列的公比为3,且首项为2,则

该数列的第4项为（）

A.18B.36C.54D.162

【答案】C

【分析】由已知利用等比数列的通项公式即可求解

【详解】若等比数列｛%｝的首项为的,公比为心则它的通项

由已知可得：4=2,4=3,

则该数列的第4项%=q=2x3,=54.

故选：C.

2.（2022•吉林・长春外国语学校高三期中）等比数列4,x,9,....则实数x的值为（）

A.—6B.—C.+6D.土—

22

【答案】C

【分析】根据等比数列的定义列方程求x即可.

【详解】因为数列4,x,9,…为等比数列，所以数列4,x,9为等比数列，所以/=4?9,

所以x=±6,C正确，故选：C.

3.（北京市通州区2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题）某商品自上市后前两年价

格每年递增10%,第三年价格下降了20%,则第三年降价后与上市时价格相比，变化情况

是（）

A.下降了2.8%B.增加了2.8%

C,下降了3.2%D,增加了3.2%

【答案】C

【分析】前两年的价格按照等比数列计算，第三年的价格按照百分数单位一计算.

【详解】设上市时的价格为x,则由题意：第二年的价格为（l+10%『x,第三年的价格为

（1+10%）2xx（1-20%）=0.968%,

1-0.968=0.032=3.2%,所以是下降了3.2%；

故选：c.

4.（2022・湖南•长郡中学高二期中）在数列｛4｝中，a,+i=-2a“且4=1,则凡=（）

A.212B.（一2广2C.D.（-2）"-1

【答案】D

【分析】根据给定的条件，利用等比数列通项公式求解作答.

【详解】数列｛%｝中，。角=一2%且4=1,因止匕数歹£4｝是首项为1,公比为-2的等比数歹

所以％=（-2尸.

故选：D

5.（2022•甘肃省临跳中学高二阶段练习）已知2,。-3,|-。成等比数列，则。的值为（）

A.2B.4C.2或4D.无法确定

【答案】A

【分析】根据等比数列的性质进行求解即可.

【详解】依题意，（a-3）2=2]g-a],故/_6a+9=5-2a,解得。=2.

故选：A

6.（2022•四川省成都市新都一中高三阶段练习（理））数列｛q｝满足2%=0,4知=4,

则“6的值为（）

A.2B.-2C.±2D.4

【答案】C

【分析】由题设可知｛%｝为等比数列，再由等比数列的性质即可求解

【详角其】4。"=4,则q片。

又因为a“+i-2a“=。，所以a,M=2a”

所以｛%｝为等比数列

axan=a；=4n&=±2

当％〉0时，以=2；当6<0时，4=—2

故选：C

7.（2022.黑龙江•哈尔滨三中高三阶段练习）己知等比数列｛%｝的公比q>1,前w项和为5“，

q=l,a2+a3=6,贝465=（）

A.29B.30C.31D.32

【答案】C

【分析】根据给定条件，列式求出公比即可计算作答.

【详解】等比数列｛%｝的公比4>1,由4=1,%+%=6,得“+/-6=0,解得4=2,

所以S5=-------=31.

51-2

故选：C

8.（2022・全国•高三专题练习）已知正项等比数列｛见｝前"项和为％且q+%=6,

见+生=$3+3,则等比数列的公比为（）

B.2C-ID.3

【答案】A

【分析】先根据〃〃与S“的关系得至US4-S3+%=4+%=3,设出公比，列出方程组，求出公

比.

【详解】因为邑+%=Ss+3,

所以—S3+%=。4+“2=3

%q+q/=3

设公比为q（9>0）,可得:

%+a4—6

两式相除得：q=；

故选：A

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个

选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得

0分.

9.（2022•全国•高二课时练习）下列数列是等比数列的是（）.

A.1,1,1,1,1B.0,0,0,0,...

C.~1—，—r...D.—1，—1,1,—1,...

248

【答案】AC

【详解】解：A选项，由等比数列的定义可知，该数列首项为1,公比为1的等比数列，故

A正确；

B选项，由等比数列的定义可知，等比数列的每一项都不能为0,一定不是等比数列，故B

错误；

C选项，由等比数列的定义可知，首项为公比为g的等比数列，故C正确；

D选项，由等比数列的定义可知，==故不是等比数列，故D错误.

q%

故选：AC.

10.（2022・湖北•武汉市钢城第四中学高二期中）已知数列｛4,｝是等差数列，数歹支包｝是等比

数列（〃eN*）,则下列说法正确的是（）

A.若p,q为实数，贝乂。。“+血｝是等比数列

B.若数列｛%｝的前”项和为S“，则S5,Sl0-S5,几-1成等差数列

C.若数列圾｝的公比4>1,则数列圾｝是递增数列

D.若数列｛5｝的公差d<0,则数列｛%｝是递减数列

【答案】BD

【分析】由等差、等比数列及其前〃项和性质直接判断可得.

【详解】取P=1,4=0，%="，显然A不正确；由等差数列片段和性质知B正确;取么=-2",

易知q=2>l,但也〃｝为递减数列，故C不正确；若d<0,则由等差数列定义知

an+l~an=d<0,故数列｛4｝是递减数列，D正确.

故选：BD.

11.（2022・甘肃・白银市第九中学高二阶段练习）已知等比数列｛%｝,%=1,4=2，则（）.

,1,

A.数歹i」｛一｝是等比数列

/

,1,

B.数列｛一｝是递增数列

an

C.数列｛log?凡｝是等差数列

D.数列｛log?%｝是递增数列

【答案】ACD

,1、

【分析】求出数列｛一｝与｛log?4｝的通项公式，再判断是否是等比或等差数列；等差数列的

an

单调性决定于公差的正负，等比数列的单调性决定于首项的正负和公比与1的大小.

.11,1、

【详解】由%=1,4=2得0,=2"\—=布，所以数歹M—｝是等比数列且为递减数列，

故A正确B不正确；

log2«„=7i-l,数列口鸣%｝是递增的等差数列，故C,D正确.

故选：ACD.

12.（2022・全国•高三专题练习）已知｛%｝为等差数列，满足2出-%=1,｛2｝为等比数歹U,

满足4=-8,%=64,则下列说法正确的是（）

A.数列｛%｝的首项比公差多1B.数列｛〃“｝的首项比公差少1

C.数列也｝的首项为2D.数列也｝的公比为-2

【答案】AD

【分析】根据等差数列与等比数列的通项公式求各基本量，进而判断各选项.

【详解】设｛%｝的公差为d，由2-1，

得2（q+d）—（q+3d）=1,化简得q-4=1,

所以A正确，B错误.

设也｝的公比为4,由%=4-8,得好_2,化简得4=-2,

“3

所以C错误，D正确，

故选：AD.

第II卷非选择题部分（共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（2022・全国•高三专题练习）在等比数列｛%｝中，2=4,4。=16,则出和《。的等比中项

为.

【答案】±8

【分析】根据等比中项的知识求得正确答案.

【详解】设出与%。的等比中项为G,

因为%=4,=16,所以G?=4x16=64,所以G=±8.

故答案为：±8

14.（2022.全国•高三专题练习）设等比数列｛%｝满足6+%=4,%-q=8.则通项公式

【答案】3"T

【分析】把数列的项，分别用表示出来，列出方程，即可得到结果.

【详解】设｛%｝的公比为4,则4=囚尸.

由已知得=t，解得4=1,4=3,所以的通项公式为a“=3"）

\axq-ax=Q

故答案为：3"T

15.（2020・广东•高三学业考试）设等比数列｛为｝的前八项各为S“，已知弓=1,邑=3,则邑=

【答案】7

【分析】根据条件求出等比数列的公比，再求出火,根据前〃项和的定义计算即可.

【详解】由题意，邑=4+%=3,g=2,公比4=?=2,

/.a3=a2q=4,邑=%+%+/=1+2+4=7；

故答案为：7.

16.（2021.河南•安阳37中高一期末）设等比数列｛%｝满足4+g=3,a2+a3=6,贝i]&=

【答案】32

【分析】由等比数列的通项公式列方程组即可求解.

【详解】设等比数列｛。加的公比为q,

•.・〃/+〃2=3,〃2+。3=6,

fa+=3

：•八、/解得q=1，4=2.

55

贝I]a6=aiq—2=32.

故答案为：32.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.（2022•全国•高三专题练习）在等比数列｛%｝中，已知％=；,g=4.求：

⑴数列｛%｝的通项公式；

（2）数列｛4｝的前5项和S5.

【答案】⑴4=2"-2

⑵号

4

【分析】（1）根据已知条件求解出％应，则｛%｝的通项公式可求；

（2）根据等比数列前”项和公式求解出$5即可.

【详解】（1）设数列｛4｝的公比为4，

因为4=；,%=4,所以%/=4,所以4=2,

所以。“=2”2；

（2）因为｛%｝为等比数列且4=2,

所以｛叫为等比数列，首项为必=；且公比为d=4,

所以[（I）341.

$5=下1=丁

18.（2022.上海•华师大二附中高二期中）已知等差数列｛%｝的前”项和为S“，公差dwO,

且53+65=5。，4,4，小成等比数列.

⑴求公差d的值；

(2)求S“.

【答案】（1）2

(2)n2+2n

【分析】（1）根据等比数列定义可得。：=4出，利用6,d表示出已知的等量关系，解方程

组即可求得结果;

（2）利用等差数列求和公式可直接得到结果.

⑴

\,日，，。］3等比数列，*,•&='

c3x27_5x47__

号+邑=503。［H-------d+jet,H--------d=50q=3

2

由得：22,解得:

3(q+3J)2=q(q+12d)d=2

公差d=2.

⑵

n(n-l)

由（1）得：s,=na+d=3〃+〃1)="+2〃.

xT~

19.（2022・甘肃・天水市第一中学高二阶段练习）设等比数列｛4,｝的前”项和为S”.

⑴若公比4=2,”“=96,5„=189,求〃;

(2)若S3：S2=3:2,求公比q.

【答案】（1）6

(2)1或-;

【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得".

（2）根据已知条件列方程，化简求得4.

(1)

〃〃二〃厂2〃“二96

依题意a.1-2"

S.=一=4(2"-1)=189

1-2

由于qwO,所以两式相除得寿-=型,189・2»1=96（2〃-1）,

2n-\189、）

189・2〃T=192-2"T—96,3・2"T=96,2〃T=32=25,〃—1=5,〃=6.

(2)

2

依题意a,+学a,+/a,=35,即%+%q+a/_l+q+q_3

%+axq1+42

2/-q-1=0,解得<?=1或4=-；.

20.(2022・全国•高三专题练习)在数列｛%｝中，ai=\,an=2an,i+n-2(«>2).

⑴证明：数歹叫为+4为等比数列，并求数列｛%｝的通项公式;

（2）求数列｛〃〃｝的前〃项和Sn.

【答案】（1）证明见解析，an=T-n

+1

（2）Sn=2"-1+；+%eN*）

【分析】（1）根据定义法证明｛为+可是等比数列，然后求出数列｛%+“｝的通项公式即可得

到｛凡｝的通项公式

（2）根据｛4｝数列通项的特点先分组，再采用公式法求和即可

an+n_+n-2)+n2。〃]+2〃-2

【详解】（1）明：因为=2,

a„.i+(»-!)an_t+n-l〃〃一1+九一1

数列｛an+n]是首项为田+1=2,公比为2的等比数列，

那么a"+”=2-2"T=2",即an=2"-n.

(2)由(1)知。"=2"—〃，S”=(21+2,+2,+…2")—(1+2+3+…+〃)

_2x(l-2n)nx(n+V)2«+in+»+4

(jieN")

~1^222

21.（2022・四川・遂宁中学高三阶段练习（理））己知等差数列｛4｝满足%=2,前4项和$4=7.

⑴求｛%,｝的通项公式；

⑵设等比数列圾｝满足仇=/，%=%，数列也｝的通项公式.

【答案】⑴4"+g

（2也=27或，=—（—2广

【分析】（1）设等差数列｛%