2025年高考数学一轮复习：数列中的构造问题

培优点07数列中的构造问题（3种核心题型+基础保分练+综

合提升练+拓展冲刺练）

D1【考试提醒】

数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的

数列求数列的通项公式.

唱【核心题型】

题型一形如即+l=p〃〃+/（〃）型

形式构造方法

an+1=pan+q引入参数C,构造新的等比数列｛斯一C｝

1=P^n+9川十。引入参数X,y,构造新的等比数列｛源+切+歹｝

[a]

1—+q"两边同除以夕〃+1,构造新的数n列j

命题点1%+i=p〃〃+0（pWO,l,gW。）

【例题1】（2024•河南•模拟预测）已知数列｛〃/满足」1123

一=4.丁+4，且&=1，贝U%011二

an+1°%°4

（）

01110111010

pY336D,已

bJ1+310111+310

【答案】c

11（:,从而得到数列-1，是以1

【分析】根据递推公式求出外,再又得到——i=w•-

为首项，；为公比的等比数列，即可求出｛%｝的通项，

从而得解.

【详解】因为-+i又。，一“令I,可得丁丁解得％=5,

«„+i3a,3

所以^---1=~f---1,

所以数列]是以，T=1为首项,g为公比的等比数列，

g%

1（1、〃-11〃-1^1010

所以_L_l=lx9,整理得a=—故.=」■.

10111010

an"1+3”T1+3

故选：C

【变式1］（2024•天津河西•三模）若数列｛为｝满足%+1=2%-1,则称｛%｝为“对奇数列已

知正项数列低+1｝为"对奇数列"，且4=2,则与网二（）

A.2x32023B.22023C.22024D.22025

【答案】C

【分析】根据新定义可证得数列｛0｝是等比数列，从而可利用等比数列通项求解问题.

【详解】因为正项数歹1｛"+1｝为"对奇数列"，所以，M+I=2（，+I）-1,

则bn+l=2b,,,即数列低｝是公比为2的等比数列，又因为乙=2,

20232024

所以%>24=2x2=2，

故选：C

【变式2］（2022•广西柳州•三模）已知数列｛%｝的首项4=1,其前〃项和为S“，若

S„+1=2Sn+i,则%=.

【答案】16

【分析】由题设可得知M=S“+1,利用风,$“关系求数列通项公式，进而求处.

【详解】由题设，。m=5“+1，则%=S,T+1（〃22）,

所以%+i——Ei—a“,则an+l—2a”（n>2）,又％=1,则出=H+1=2=2%,

所以｛见｝是首项为1，公比为2的等比数列，则。"=2"已故%=16.

故答案为：16

【变式3］（23-24高三•山东青岛・期末）已知数列｛。,,｝的前”项和为S"，%=2,

a“+i=S"+2-

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）设2=1--------.----------,记数列上的前“项和为1,证明

log2a„-log,a„+24

【答案】⑴%=2”

（2）证明见解析

【分析】（1）依题意可得。用=2%,即可得到｛%｝是以2为首项，2为公比的等比数列，从

而求出数列｛%｝的通项公式；

,1

（2）由（1）可得♦=/利用裂项相消法求和，即可证明.

【详解】（1）由。.=5“+2,

当”22时，则a“=S,i+2,

可得an+i-an=Sn-S,T=an,则a„+l=2an；

当〃=1时，则%=H+2=%+2=4,可得出=2%；

综上所述：可得。加=2%吗=1,可知｛〃“｝是首项为2,公比为2的等比数列，

所以｛%｝的通项公式为。“=2".

,11If11｝

（2）由（1）可矢口：bn=-_—诉=（「\=受|-----rL

log22-log22+2）2\nn+2）

命题点2%+i=p%+夕”+c（pWO,l,«W0）

【例题2】（2023•河南郑州•模拟预测）在数列｛%｝中，%=1,电=9,%+2=3。“+1-2%-10,则

｛%｝的前〃项和S"的最大值为（）

A.64B.53C.42D.25

【答案】B

【分析】令an+i-an=b„,贝I］由an+1=3a„+1-2%-10可得6角-10=2仅"一10）,所以数列

低-10｝是以-2为首项,2为公比的等比数歹U,可得到。用-氏=10-2",然后用累加法得到

册=10"-2"-7,通过｛%｝的单调性即可求出S"的最大值

【详解】由%+2=3%+1-2a“-10,得%+2-"“+1=2(a„+1-a„)-10,

令=6”,所以bn+l=26“-10,则10=2电-10),

所以数列也-10｝是以4-10=1-%T0=-2为首项,2为公比的等比数列，

所以，-10=-2x2"一=一2",即6“=-2"+10,即%=10-2",

由电—4=10—,生—七=10—,Q4—%=]0—2?,—。〃一1=10—2〃।22),

将以上n-l个等式两边相加得°“一%=]0(1)_2(；:)=10”2"-8，

所以%=10〃-2"-7,〃22,

经检验％=1满足上式，故%=10〃-2"-7,

当〃43时,%包一。“=10-2">0,即｛%｝单调递增,当〃24时,。用-a“=10-2"<0,即｛%｝单调

递减，

因为%=10x3-23-7=15>0,%=10x4-2"-7=17>0,

56

a5=10x5-2-7=ll>0,a6=10x6-2-7=-11<0,

所以｛g｝的前“项和S”的最大值为1=1+9+15+17+11=53,

故选：B

【变式1](20-21高三上•天津滨海新•期中)已知数列｛4｝满足%=0,。用=。“+2〃-1,则

数列｛4｝的一个通项公式为()

234

A.an=n-\B.an=(M-1)C.an=(n-1)D.a„=(M-1)

【答案】B

【分析】由递推公式可用累加法求通项公式.

【详解】由。用=%+2"-1得4.-%=2/1-1,

a—aaa42

二%=(„„-i)+(„-i-n-2)—(&-%)+%=(2n-3)+(2n—5)-t----1-1+0=(«—I),

%=适用=("-1)2.

故选：B.

【点睛】本题考查由递推公式求通项公式，解题方法是累加法，如果递推式出现数列前后项

的差时可考虑用累加法求通项公式

【变式2](2024•宁夏石嘴山•三模)已知数列｛%｝的前，项和为若%=1,%+。“+]=2"+1,

贝!]Sl9=.

【答案】190

【分析】由分组求和法以及等差数列求和公式即可运算求解.

【详解】由题意

/、/、/、10.(1+37)

S]9=%+(2+/)+()+…+(%8+。19)=1+5+9+…+37=-------------=190.

故答案为：190

【变式3](2024•湖南邵阳•一模)已知数列｛g｝的首项为2,%+a,M=2"+l(〃eN*),贝|

%0-•

【答案】9

【分析】当”=1时，求出。2=1，由a"+a"+i=2〃+l(〃eN*)可得Ha什2=2〃+3(〃eN*),

两式相减可得%+2-%=2,所以｛%｝的偶数项是以g=1为首相，公差为2的等差数列，即

可得出答案.

【详解】因为4=2,+。“+1=2〃+l(〃eN*),

当〃=1时，4+%=3,解得：a2=\,

a“+i+%+2=2〃+3(〃eN*),两式相减可得：an+2-an=2,

所以｛““｝的偶数项是以&=1为首相，公差为2的等差数列，

所以％°=%+-1JX2=1+8=9.

故答案为：9.

命题点3an+1=pan+q"(p^0,i,夕W0,l)

+l

【例题3】(2022•河南•模拟预测)在数列｛%｝中，若%=2,an+l=3an+2",则%=()

51

A.n-TB.—

C.2-3"-2B+1D.4・3"T-2"M

【答案】C

【分析】根据题干条件构造等比数列，进行求解.

h42型善+21

【详解】令6,=*+2,贝——=」-------=1,

222+22+22

2〃T

又优=?+2=3,所以｛，｝是以3为首项，为公比的等比数列，

所以或=/+2=得4=2-3"-2向.

故选：C

【变式1】（2024,湖南永州•三模）已知非零数列｛%｝满足2"%+「2"+24=0,则咏=

%021

（）

A.8B.16C.32D.64

【答案】D

【分析】根据题意，由条件可得。用=4%,再由等比数列的定义即可得到结果.

【详解】由2"0-2"+七“=0可得—=4%,则咏=4x4x4-=64.

°2021°2021

故选：D

【变式2】2024・四川南充•二模）已知数列｛4｝,满足q=1,且anan+i=2"，贝|%.

【答案】24

【分析】由递推关系求出的,T=1X2"T即可求解.

【详解】％=1,且％一=2",

当"22,an_xan=2-',所以^^=也=2；

an-i

故｛«„｝的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列,

即。21=1x2"、

27

故%=2?=8,/=—=16,贝!）。7+。8=24.

%

故答案为：24

【变式3］（23-24高三上•湖南娄底•期末）已知数列｛%｝满足%=2,%・%+i=2〃,则须的值

为.

【答案】32

【分析】由递推式用=2"推导出｛的J构成一个等比数列，利用等比数列的通项公式即

可求得（要注意下标为连续的偶数，计算时项数应是下标的一半）.

【详解】因为%y+i=2",所以％『%+2=2用，两式相除得吐=2,故数列｛%#是公比

为2的等比数列，

由出=2,所以％°=电,25T=2,=32.

故答案为：32.

题型二相邻项的差为特殊数列（形如斯+产”〃+夕即—1）

可以化为Q〃+l—为a='2（。”—其中%2是方程py—q=0的两个根，若1是

方程的根，则直接构造数列｛®一恁_1｝,若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消

元的方法求数列｛四｝

【例题4】（22-23高三上•湖北•阶段练习）己知S”是数列｛%｝的前”项和，且4=%=1，

%=2%一+3%_2（«>3>,则下列结论正确的是（）

A.数列｛%-。用｝为等比数列B.数列｛。川+2a,｝为等比数列

C.S=^（320-l）D.3"一+（-1产

40a---------——--

【答案】D

【分析】A选项，计算出q一出=0,故｛。“-。向｝不是等比数列，A错误；

773

B选项，计算出｛。向+20"｝的前三项，得到三，B错误；

C选项，由题干条件得到。"+*=3（%+联），故｛。用+4｝为等比数列，得到

238

%+1+%=2x3"T,故4+%=2,a4+a3=2x3,......,a40+a39=2x3,相加即可求出

340_i

540=^—,C错误；

D选项，在。用+〃”=2x3"T的基础上，分奇偶项，分别得到通项公式，最后求出

3鹏+（-1广

C1—-----------•

2

【详解】由题意得：〃3=2出+3%=5,%=2%+3&=1。+3=13,

由于％-%=0,故数列｛%-%+J不是等比数列，A错误；

则2+2al=1+2=3,a3+2a2=5+2=7,a4+2a3=13+10=23,

773

由于：工亍，故数列｛。)+2%｝不为等比数列，B错误；

"23时，an=2a„_1+3a„_2,gpa„+an_x=3(a,,^+a„_2),

又%+出=1+1=2,

故｛。向+4｝为等比数列，首项为2,公比为3,

故%+i+%=2X3〃T，

238

故〃2+6=2,a4+a3=2x3,.....,a40+a39=2x3,

2438

以上20个式子相加得：540=2X(1+3+3+---+3)=2X^^-=^-^-,C错误；

因为。用+4=2x37,所以a“+2+%+i=2x3",两式相减得：

%+2-%=2x3"-2x3"i=4x3"、

当〃=2左时，。2左一。2左-2=4x3?"3,出心2一。2左-4=4x321,……,%一。2=4X3,

q左一]12A■一]o

以上式子相加得：--出=4><(3+33+...+327)=4*'19=2'

鼻2"1_a[2左-1_1[2左—1_1

故出左二三丁2+出二七^，而〃2=1也符和该式，故。”=匕二，

令22a=-1=3一+(一厂

〃22

当〃=2左一1时，〃2"1一。2左一3=4x3?"4,"203一%—5=4X3?"6,……,生一=4x3°,

244246

以上式子相加得：a2k_｛-a,=4x(3-+3-+--+3°)=4x空/=与匚，

故而生=1也符号该式，故出『=土为土L

令2k-l=w得:a=尸+(-1)"’,

"2

综上：a=3"，(-1)"',口正确.

2

故选：D

【点睛】当遇到&+2一/=/(〃)时，数列往往要分奇数项和偶数项，分别求出通项公式，最

后再检验能不能合并为一个，这类题目的处理思路可分别令〃=2左-1和〃=2七用累加法进

行求解

【变式1](2024•山西晋中•模拟预测)若数列｛%｝满足q=1,%=4,且对任意的

*/、1111

(〃22)都有a〃+]_2%+a“_i=2,则----+----+----+…+-------=()

—1a、—16Z4—1〃2024一1

3If1111012

42120232024J2024

3If1111012

42120242025J2025

【答案】C

【分析】令由题意可证得数列｛4｝是等差数列，从而求得a,再利用累加法

求得见,进而利用裂项相消法求即可得解.

【详解】因为对于"€4("22)都有4+1-24+%_I=2,

则(。角-4)-一%)=2,令b“=an+l-an,

所以4-唠1=2(〃22),又4=出-%=3,

所以数列｛"｝是以3为首项，2为公差的等差数列，

所以，=3+("-1)-2=2"+1,gpan+l-an=2n+l,

贝U—%=3,tz3-a2=5,a4-a3=7,…，-an_x=2n-\,

累力口得%—q=3+5+7Hi-2n—1,7/>2,

77,(1+2n—1)0

所以©=1+3+5+7H----b2〃-l=-----------------=n2,n>2,

〃2

1111<11Y…

贝U-------=-5=7------77----r=---------------(〃N2),

Q〃-1n2-1+H+1J

1

所以+•••+---------

出024.1

11111

----1----—I—+…+

32435奈/]

=1141-1

222024

故选：c

【变式2](2024高三•全国・专题练习)已知数列

｛见｝，。1=1，/=2,。,+「5a,+4a,_]=0(«eN,,«>2),则｛%｝的通项公式为.

【分析】利用构造法推得｛%+「%｝是等比数列，再利用累加法即可得解.

【详解】因为当“22时，。升1-5%+4%_]=0,所以。

4—-1,Cl?=2,贝lja2—%=1,

所以｛。向-｝是以1为首项，4为公比的等比数歹！J,

所以

从而%=(%-%1)+(%-1-%-2)+”,+(“2-4)+可

1—4〃T4/7-1+2

=4〃一2+4”】+…+d+4°+1=^^-+1=^^^,

1-43

当〃=1时，4=1满足上式，

4〃，2

所以%=1—.

_4,,-1+2

故答案为：3

【变式3](23-24高三上,四川,阶段练习)在数列｛%｝中，%=1,%=2,%=3%-2%

(«22,力eN,).设6“=%+]_%.

⑴求证：数列｛“｝是等比数列；

⑵设记数列｛。“｝的前〃项和北，求证：Tn<\.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)把%口=3%-2al变形为%+「%=24-%+1),即6“=2勿_,根据等比数列的

定义证明即可；

2"

(2)由累加法求得。“=2'7,代入得C“二,利用裂项相消法求和，再利用

(1+2)(2+1)

2

的>0证明即可.

【详解】⑴因为%+i=3a“-2%("Z2,〃eN*),所以％碌一%=2(%-%),

又"=%+「%，所以==2%,又。=%-%=1,

所以数列｛〃｝是首项为1,公比为2的等比数歹！J.

（2）由（1）可得=2自，当时，

1-2〃T

/?-1

an=（%一Q〃-1）+（。〃-1一%-2）+…+（出一％）+/=2〃一2+2〃"+•••+2+1+1=—j——+1=2,

1—2

当”=1时也成立,所以=—

所以C二。向2"一2.1______L）

"（1+”＞（2"+1）（l+2n-1）（2n+l）（2"一+12"+lJ，

…刁Jl111111Jl1-2

"（23352,,-1+12"+lJ（22"+1）2"+1

2

又2"+1＞°,所以（＜1.

题型三倒数为特殊数列（形如a“+i=兰二型）

\ran-rsI

1sir1

两边同时取倒数转化为一=一一十一的形式，化归为与+i=pb〃+q型，求出一的表达式,

斯+ipanpan

再求an.

【例题5】（2022・浙江•模拟预测）数列｛%｝满足。华=马丁（"€1^）,%=1,则下列结论

错误的是（）

2111；

A.一=一十—B.2%是等比数列

C.（2n-l）6Zw=1D.3牝/7=〃49

【答案】D

【分析】推导出数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得’的表达式，可

判断C选项；利用等差中项的性质可判断A选项；利用等比数列的定义可判断B选项；计

算出B%%、。49的值，可判断D选项.

ana,„

【详解】由％+1E'且%=i'则寸用T>°'%=E>°'

以此类推可知，对任意的〃eN*,a„>0,

11+2c11_11c1I

所以,-------t^l=——+2,所以-------=2,且一二1,

%+Ianan%+1an

所以,数列是等差数列,且该数列的首项为1,公差为2,

所以,—=1+2（H-1）=2TZ-1,则（2〃一1”〃=1,其中篦wN*,C对;

an

1

11

.=2」用=22=4,所以，数列2册是等比数列，B对;

2%

211

由等差中项的性质可得一—+—，A对;

由上可知%=c1;，贝IJ3〃5%7=3X11111

------x--------二—,“49==，

2w-l2x5-12x17-199492x49-197

所以，3〃5%7。。49，D错.

故选：D

【变式1］（23-24高三上•山东青岛•期末）设数列｛%｝的前〃项和为已知

12a

a\=」，若㈤，则正整数上的值为（）

%+1

A.2024B.2023C.2022D.2021

【答案】B

1,11„-1---J求

【分析】由题设有——1=T（—-1）,等比数列定义求通项公式，进而有4

°”+12an2^+1

Sn,再由g<5匕<，及放缩法确定$2024范围求参数值•

1111I1/1I、1一

［详角星］—=------1=7（----1）,又—1=1,

%+i2%2an+i2anq

所以｛,-1｝是首项为1,公比为;的等比数列，

«„2

1,11,1,1

所以£一二产一£=1+声—""=1-2"-+1'

故”-七+£1111

1

由,一1<且〃23,

2〃2^+1

11

由--i---<---T，贝！

2^+12〃T

贝1〃-2+击<5<〃一

<2023,

故52024G（2022,2023）,则正整数k的值为2023.

故选：B

33QV

【变式2］（2021•全国•模拟预测）已知数列｛%｝满足4=；,4用=二，若c“=一,则

2。“+3an

G+C2+…+%=.

【答案］（2〃+l>3"T

4

【分析】根据条件得到--1-----1=£1,则数列f一1是1首项一1=公2，公差为:1的等差数列，得

a

%n3［an\«i33

至1!',则可得2,写出q+c?+--+%,利用错位相减法可求解.

an

33。

【详解】解：因为a，，+i=f，

2%+3

1a+311

所以一二+一,

。"+13ati3an

111

即-------=”

4+1an3

所以数列是首项公差为1的等差数列，

UJ%33

121/八77+1

所以一=£+［（〃T）二二一，

氏333

3〃

则4=—=(〃+1)31，

则G+C2+…+c“=2x3°+3x3i+4x32+-.+(〃+l)x3"T,

设7=2x30+3x31+4x3?+…+(“+1)x3"-@,

则37=2x31+3x32+4x33+…+("+1)x3"②，

①一②可得一27=2x3°+3i+32+--+3"T-("+l)><3"

3(1-3〃T)1

=2+-^--------^-5+l)x3〃=-一“x3",

1-32

则T=(2〃+l)3-l.

4

(2T7+1)-3W-1

即0Nq+C2+…+0〃=1——---------

4

故答案为：⑵7+l>3'T

4

【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消

法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法.要根据已知条件灵活选择方法求解

，、48〃

【变式3］（2024•全国•模拟预测）已知数列｛。“｝的首项％=不，且满足。用=了力,

,21

bn=-----T.

a„2

（1）求证：数列｛"｝是等比数列；

（2）记c“=丁+",求数列｛c,｝的前〃项和S”.

【答案】①证明见详解

⑵"=（〃一1）.2"+1+-^

【分析】（1）根据等比数列的定义证明；

（2）求出｛c“｝的通项公式，利用分组求和和错位相减法求和得解.

721

【详解】（1）因为凡包=-7，2=--T,

4+4an2

8%

4-

4-%+i+4^T^L=^b"'〃eN",又4=/-g=l'

所以黑产

8。“4%2a1

2。”+12xx

4+4

所以数列也｝是以1为首项,以!为公比的等比数列.

n-1

（2）由（1）得“=cn=—+n=n-+n,

bn

=(1x2°+2x21+3x22+.■•+«-2n-1)+(l+2+...+n),

令4=lx20+2x2i+3x22+--+〃-2"T,①

则24=1X21+2X22+3X23+...+(〃-l)・2"T+〃2,②

i_2n

21

①-②得，-An=l+2+2+-2"--n-2"=---------n-2"=2"-1-n-2",

1—2

:.An=(n-l)-2"+l,

/、“n(n+l)

【课后强化】

【基础保分练】

一、单选题

1.（2022高三上■河南■专题练习）已知各项均为正数的数列｛%｝满足an+i-2n=%+2n（neN*）,

且q>0.若当且仅当〃=3时，区取得最小值，且$皿日2=0,则符合条件的实数％组成的

n2

集合中的元素个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】由累加法首先得匕=2〃+幺-2,进一步结合对勾函数性质得12<q<24,结合

nn

rr

sin（5%）=。即可求解.

【详解】由题意,得

故当"22时，ctn—an_｛=4n—4,由%—q=4x2—4,%—a?=4x3—4,an—an_v=4n—4,

累力口可得a“-q=2/一2〃，故a“=2/-2〃+q,当〃=1时，该式也成立，

故%=2”+幺-2.

nn

因为当且仅当"=3时，5取得最小值，又%>0,

n

&q%

6+-2<4+

&_<23-

即2

所以由"对勾函数"的单调性可得%4

-6+-2<8+£14

1343

解得12<a「<24.

又sing%）=0,所以符合条件的实数6组成的集合为｛14,16,18,20,22｝,

该集合中的元素个数为5.

故选：C.

2.（2022•全国•模拟预测）已知数列｛%｝满足%=1,。用=上、，记2='+1，若存在

m,„eN\使得10g,4+10g"“=6,则当"的最小值为（）

mn

【答案】c

【分析】解：由％=一；两边取倒数得到，+l=2+2=2p~+l],利用等比数列的定

%+2%an\<an）

义，得到4=2〃.再利用对数运算和指数运算得到加+〃=6,然后利用基本不等式求解.

aIQ”+212

【详解】解：由。用=一n;两边取倒数可得-=—=1+一,

为+2an+1anan

贝+1=2+2=2（，+1],

-4^an）

所以数列｛"｝是首项为'+1=2,公比为2的等比数列，

a\

所以6“=2".

又唾2Xlog2（4也）=6,

所以"也=2"+"=2‘,即加+”=6,

▼…8加+69m+n911加〃[八

所以-----=------=—+—=_（（加+〃）-+—=—x——+—+10I

mnmnnm6\nmJ6ynm）

又％+2、2也工=6,当且仅当%=2,即加=：,时，等号成立.

nm\nm几m22

因为如〃£N*,所以等号取不到，

r/、r,।8加+6149-.8m+611

则当加=1,〃=5时，-----=-；当机=2,〃=44时，------=一,

mn5mn4

所以当机=2,〃=4时，闻U取得最小值?，

mn4

故选：C.

3.（2023•陕西商洛•模拟预测）已知数列｛%｝的前“项和为S“，a,=-l,an+l+an=?.n+l,

若S“M+S”=2399,则〃=（）

A.48B.49C.50D.51

【答案】A

【分析】根据题意，得到｛g-"｝是等比数列，求得氏=〃+2x（T）",结合

Sn+l+S„=2Sn+an+l,分〃为偶数和〃为奇数，列出方程，即可求解.

【详解】因为《+i+a”=2〃+1,所以a咖一（力+1）=-（--"）,且％-l=-2,

所以数列｛&-"｝是以-2为首项，-1为公比的等比数列,

所以Q"-〃=一2.(-1)〃1=2x(一1)"，即4=几+2x(-1)”，

当〃为偶数时，J=亚则，当〃为奇数时，月=幽却_2,

〃22

又由S〃+i+S〃=2S〃+%+i，

+1

当«为偶数时，由2Sa+an+l=2x”；+1)+(〃+1)+2x(-1)"=2399,

可得/+2"-2400=0,解得〃=48或??=-50(舍去)；

+1

当“为奇数时，由2s“+a„+1=2x-4+(n+l)+2x(-1)"=2399,

可得"2+2"-2400=0,解得”=48(舍去)或"=-50(舍去).

综上可知，〃=48.

故选：A.

4.(23-24高三上•河」匕•阶段练习)在数列｛/｝中，q=l,an+i=al-3an+t,且。，<2,则

实数/的最大值为()

A.4B.5C.4\/2D.6

【答案】A

【分析】由题意首先用反证法得/>4时，册>2,与g42矛盾；进一步”4满足题意，由

此即可得解.

【详解】由题意得an+i-an=a；-4an+1=(a*-2『+1-4,

若f>4,则%+i-a〃Nf-4.当“22时，

an~a\=(a„+_%-2)+…+(“2_%)?("_1)('_4),

所以《Nl+("-l)«-4),当“Al+^7时，l+("-l)«-4)>2,所以%>2,与gW2矛盾;

若/=4,贝必"+1=a；-3%+4,得%+j-2=(a,-1)(4-2),又％=1,所以的=2,a3=2,

所以当时，«„=2,所以实数，的最大值为4.

故选：A.

【点睛】关键点睛：关键是当f>4时，可以结合累加法证明%>2,与%42矛盾；由此即

可顺利得解.

二、多选题

5.（2023・全国•模拟预测）已知数列｛0“｝的前〃项和为$“，满足0=1,4+i=2fl“+”,则下列

判断正确的是（）

A.83=11B.“4=19C.§8=721D.佝=758

【答案】BCD

【分析】先利用配凑法求出数列｛%｝的通项公式，即可判断选项A、B、D；再利用求和方法

即可判断选项C.

【详解】由%+i=2%+〃，可得：。"+1+（〃+1）+1=2（%+〃+1）

所以数列｛%+"+1｝是首项为q+1+1=3,公比为2的等比数列，

则。“+”+1=3x2"。

故。“=3x2"'—〃—1.

所以出=3x2—2—1=3

%=3x2?-3-1=8

%=3x23—4—1=19

49=3x28-9-1=758.

则?=4+&+V=1+3+8=12,

所以选项A错误，选项B、D正确.

1_788x（2+9）

因为$8-+出+…+/=3x（2°+2i+.."）-（2+3+...+9）=3x^^——^^=721

所以C正确.

故选：BCD.

6.（2023•辽宁朝阳•一模）已知数列｛%｝满足%=1,且%+i=*、，〃eN*,则下列说法正

%+1

确的是（）

A.数列｛%｝为递减数列B.0<^<1

fl11

C.Io£7■，=D.一<%<—

10（87）115010

【答案】ABD

【分析】根据数列的递推公式和首项即可判断选项A和B；利用数列的单调性和累加法求出

__/1、29〃+7

2«+2<(—)2<——,进而判断选项C和D.

«„+i4

【详解】因为%+i=等、，"eN*和％=1可知，数列｛%｝的各项均为正值，

由。可得&包=47T<二=1,所以4包<%,则数列｛%｝为递减数列，故

选项A正确；

由选项A的分析可知：数列｛%｝为递减数列，又因为％=1,所以故选项B正确;

由氏+1=等7，"€河两边同时取倒数可得」一=1+。"，

a„+1%%

则(^-了=(—+a„)2=(―)2+2+,所以(^―)2-(^-了=2+。；，

%+1%an6+1an

因为数列｛%｝为递减数列，

,a\1

2=

由q=1可得出=a+12，

c1_,1o1T_1

当〃=2时，2<2+域=2+—，gp2<(—x)2-(z—x)2=2+-,

4。3