中考数学复习突破：二次函数选填压轴7类常考热点问题（含答案及解析）

专题3-4二次函数选填压轴7类常考热点问题

/■/题型•解读/

【题型1】二次函数图象与系数的关系（给出对称2023年湖北省黄石市中考真题

轴）

2023年内蒙古呼和浩特市中考真题

2023年湖南省娄底市中考真题

【题型4】二次函数实际应用

2023年四川省达州市中考真题

2022・四川广安中考真题

2023年山东省烟台市中考真题

2023•湖北襄阳中考真题

2023年四川省遂宁市中考真题

2023•吉林长春中考真题

2022年辽宁省丹东市中考真题

2022•四川南充•中考真题

【题型2】二次函数图象与系数的关系（给出对

【题型】求参数的值或范围

称轴和交点坐标）5

2022年吉林省长春市中考真题

2023年黑龙江省牡丹江市中考真题

2023•湖北十堰中考真题

2023年四川省乐山市中考真题

2022•内蒙古呼和浩特中考真题

2023年四川省眉山市中考真题

2023年福建省中考真题

2023年辽宁省营口市中考真题

2022•湖南湘西中考真题

2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考真题

2022•江苏盐城中考真题

2023年四川省广安市中考真题

2023年四川省南充市中考真题

2023年辽宁省丹东市中考真题

2023•浙江衢州中考真题

2023武汉市华中科技大学附属中学二模

2023年四川省泸州市中考真题

2022年内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟中考真题

2022•山东济南中考真题

2022黑龙江省牡丹江市中考真题

2022•湖北荆门中考真题

【题型3】二次函数图象与系数的关系（题目没

给出图像）

【题型6】二次函数新定义问题

•四川凉山中考真题

20222023年山东省荷泽市中考真题

•湖北武汉中考真题

20232023•四川巴中中考真题

•湖北黄冈中考真题

20232023年四川省乐山市中考真题

•青海西宁・中考真题

2023【题型7】二次函数中的规律探究问题

年湖南省邵阳市中考真题

20232023•山东东营•九年级校考

2023•四川达州・统考二模2023下•河北石家庄•九年级统考阶段练习

广东梅州•九年级统考

朗印/满分•技巧/

二次函数图像与系数a,b,c的关系

如图，二次函数了=的2+龌+c的图象关于直线x=l对称，与X轴交于娥显网，%瓜硼两点

考法解决方法本题结果

a：二次函数图像开口向上时，a>0；a>Q

开口向下，则aVO,b<0

①a,b,cc<0

b：和a共同决定了函数对称轴的位

置，“左同右异”

c：c为图像和y轴交点的纵坐标

两个交点：b2-Aac<Qb1-4QC<0

一个交点：b1-4QC=0

②/-4ac

没有交点:b2—4〃。>0

(3)Q+6+C用特殊值进行判断：a+b+c<0

a~b+ca+b+c即为当x=l时的函数值；Q—b+cVO

4Q+26+C4a—2b+c为当x=—2时的函数值

只有〃，b时，用对称轴代换，消去

*.*-----—1,•*.b--2Q,

@3a~\~2b一个未知数进行判断2a

3a+2b=3a-4ci=-o>0

只有或只有时，先用对称

Q,C6,C6+cVO,.\a+c<bf*.*a>0,

⑤C+Q轴代换，消去一个未知数，然后利用:.b=-2QV0,.•.a+cVO

④中的结果判断结果

若C的系数不是1,可以先化成1再b=-2a口6+2。=2(-。+0)

@b+2c进行计算，或这把③中的某个式子中而一Q=〃+b,

的C的系数变成题里的形式2(-Q+C)=2(a+b+c)v0

@am2+bm同时加上c,am2+bm+c,a+b+cam2+bm^a+b

和Q+b的第一个式子是当x=m时的函数值，

大小关系第二个式子是当X=1时的函数值；

由图可知，x=l时函数取最小值

⑧(a+c)~b2—b2=(〃+b+c)(a+c—6)(a+c)2-Z)2=(Q+6+C)(〃+C—b)>0

⑨b1-4ac可以把代数式变成顶点的纵坐标公假如定点纵坐标小于一1,则笔产<—1,

和4a的大式，顶点坐标（一;，弩也）22

2a4a4ac—b<—4tz,b—4ac>4a

小关系

⑩若给出占a,c的数量关系可以知道，可以判断关于a,b,c任意式子的正负

的值即取2，,进而可知叫c的关系也可以求出以2b，c为参数的方程的根

a

核心•题型/

【题型1】二次函数图象与系数的关系（给出对称轴）

2023年湖南省娄底市中考真题

1,已知二次函数>="2+加+。的图象如图所示，给出下列结论：①abc<0；②4a-26+c>0；③

a-b>m（am+b）（机为任意实数）；④若点（-3,必）和点（3,%）在该图象上，则其中正

确的结论是（）

2023年四川省达州市中考真题

2.如图，抛物线y=q/+6x+c（。,仇c为常数）关于直线x=l对称.下列五个结论①"c>0；②

2a+b=0；（3）4a+26+c>0；（4）am2+bm>a+b;⑤3a+c>0.其中正确的有（）

2023年山东省烟台市中考真题

3.如图，抛物线了="2+芯+。的顶点A的坐标为1与x轴的一个交点位于。合和1之间,

则以下结论：①abc>0；②助+c>0；③若图象经过点（-3,珀,（3,%）,则%>%;④若关于工

的一元二次方程◎2+加+°-3=0无实数根，则机<3.其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

2023年四川省遂宁市中考真题

4.抛物线了=办2+乐+°（g0）的图象如图所示，对称轴为直线x=-2.下列说法：①％<0；②

c-3a>0；③4/-2除画®+6）（/为全体实数）；④若图象上存在点4（%,为）和点以孙汝），

当"2<占<%<加+3时，满足%=%,则加的取值范围为-5<机<-2.其中正确的个数有

（）

2022年辽宁省丹东市中考真题

5.如图，抛物线y=ox2+bx+c（°邦）与x轴交于点/（5,0）,与y轴交于点C,其对称轴为直线x

—2,结合图象分析如下结论：①a6c>0；②6+3a<0；③当x>0时，y随x的增大而增大；④

若一次函数y=fcc+6（原0）的图象经过点4则点E（k,b）在第四象限；⑤点M是抛物线的

顶点，若贝i]a=Yt.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【题型2】二次函数图象与系数的关系（给出对称轴和交点坐标）

2023年黑龙江省牡丹江市中考真题

6.如图，抛物线了="2+加+。经过点（-2,0）,（3,0）.下列结论：①丝>0；②c=2b；③若抛物

C

线上有点g/J,（T%），则为</<%;④方程cx2+6x+a=0的解为*=；,

2023年四川省乐山市中考真题

7.如图，抛物线>=办2+8+c经过点/（T,0）、B（m,Q）,且1<%<2,有下列结论：①6<0；②

a+b>0；③0<a<-c；④若点在抛物线上，则弘>巴.其中，正确的结

论有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

2023年四川省眉山市中考真题

8.如图，二次函数了="2+乐+0伍#0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1,0）,对称轴为直线

x=-l,下歹U四个结论：©abc<0；②4a—2b+c<0；③3〃+c=0；④当一3Vx<1时,

ax2+bx+c<0;其中正确结论的个数为（）

C.3个D.4个

2023年辽宁省营口市中考真题

9.如图.抛物线了=尔+法+4"0）与x轴交于点/（TO）和点2（1,0）,与了轴交于点C.下列说

法：①abc<0；②抛物线的对称轴为直线x=-l；③当-3〈尤<0时，ax2+bx+c>0；④当x>l

时,了随x的增大而增大；⑤amrbmMa-b（仅为任意实数）其中正确的个数是（）

C.3个D.4个

2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考真题

10.如图，二次函数+6x+c（aw0）图像的一部分与x轴的一个交点坐标为（3,0）,对称轴为

直线x=l,结合图像给出下列结论：

@abc>0；@b=2a③3a+c=0；

④关于x的一元二次方程ox?+6x+c+左2=0（。*0）有两个不相等的实数根；

⑤若点（加，必），（-%+2,%）均在该二次函数图像上，则乂=%.其中正确结论的个数是（）

3C.2D.1

2023年四川省广安市中考真题

11.如图所示，一.次函数y=依2+bx+c（a、b、c为常数，。*0）的图象与无轴交于点

/（-3,0）,以1,0）.有下列结论：①abc>0；②若点（-2,%）和（-0.5,%）均在抛物线上，则

(

D.4个

2023年辽宁省丹东市中考真题

12.抛物线了=尔+加+£；（"0）与x轴的一个交点为N（-3,0）,与y轴交于点C,点。是抛物线的

顶点，对称轴为直线尤=-1,其部分图象如图所示，则以下4个结论：①abc>0；②片（西,必）,

尸（12，%）是抛物线了="2+6x（。*0）上的两个点，若再<%,且玉+工2<-2,则必<力；③在X

轴上有一动点P,当PC+P。的值最小时，则点P的坐标为④若关于X的方程

办2+6（》_2）+°=-4（〃*0）无实数根，则6的取值范围是3<1.其中正确的结论有（）

2023武汉市华中科技大学附属中学二模

13.二次函数》=如2+加+。（存0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（-2,-9a）,下列结论①abc

>0；②16。-46+c<0；③若方程办2+bx+c=-1有两个根X/和M，且肛〈犯，则-5<肛<犯<

1;④若方程加4加+&=1有四个根，则这四个根的和为-8.其中正确结论的是—.

2022年内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟中考真题

14.如图，抛物线y=o?+6x+c（awO）的对称轴为直线x=l,抛物线与x轴的一个交点坐标为

（-1,0））,下列结论：①湖c<0；②3a+c=0；③当y>0时，x的取值范围是-1Vx<3；④点

（-2,%），（2,%）都在抛物线上，则有必<0<必.其中结论正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2022黑龙江省牡丹江市中考真题

15.如图，抛物线了=办2+区+跳。30）的对称轴是工=-2,并与x轴交于4,8两点，若

OA=5OB,则下列结论中：①a6c>0；②（a+c『-/=0；③9。+4c<0；④若/为任意实数,

则a加2+6加+2624a,正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【题型3】二次函数图象与系数的关系（题目没给出图像）

2022•四川凉山中考真题

16.已知抛物线》=。/+云+。（/0）经过点（1,0）和点（0,—3）,且对称轴在y轴的左侧，则

下列结论错误的是（）

A.Q＞0

B.a+b=3

C.抛物线经过点（一1,0）

D.关于X的一元二次方程办2+bx+c=—1有两个不相等的实数根

2023•湖北武汉中考真题

17.抛物线yX+fox+c（a,6,c是常数,c＜0）经过（U）,（加,0）,（",0）三点,且〃23.下列四个结

论：

①6＜0；

②4ac-1）。＜4a;

③当”=3时，若点（2,/）在该抛物线上，则，＞1；

④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根，贝U0（根4；.

其中正确的是（填写序号）.

2023•湖北黄冈中考真题

18.已知二次函数y=ax2+fcc+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（-1,0）,对称轴为直线x=l,

下列论中：①"6+c=0；②若点（-3,凹）,（2,%）,（4%）均在该二次函数图象上，则

必＜%＜%；③若加为任意实数,则的2+cV-4°；④方程ax?+bx+c+l=0的两实数根

为X”为,且再＜工2，则不＜-1,々＞3.正确结论的序号为（）

A.①②③B.①③④C.②③④D.①④

2023•青海西宁•中考真题

19.直线乂=ax+b和抛物线%（a,6是常数，且。片0）在同一平面直角坐标系中，直线

必=ax+6经过点（-4,0）.下列结论：

①抛物线为="②+bx的对称轴是直线x=-2

②抛物线为=a/+加与x轴一定有两个交点

2

③关于x的方程ax+6x=ax+b有两个根再=-4,x2=1

④若a>0,当xv-4或x>1时，%%

其中正确的结论是（）

A.①②③④B.①②③C.②③D.①④

2023年湖南省邵阳市中考真题

20.已知耳（国,耳）,鸟（程％）是抛物线/="2+4"+3（a是常数，。二0）上的点，现有以下四个结

论：①该抛物线的对称轴是直线x=-2；②点（0,3）在抛物线上；③若再则%>%；

④若％=%，则%+%=-2其中，正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2023年湖北省黄石市中考真题

21.已知二次函数上=加+人+心工0）的图像经过三点4（再,必）,3（%，必）］（-3,0）,且对称轴为直

线x=-l.有以下结论：①a+b+c=O；②2c+36=0；③当一2<玉<-1,0<%<1时，有

必<%；④对于任何实数上>0,关于x的方程ax2+bx+c=Mx+l）必有两个不相等的实数

根.其中结论正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2023年内蒙古呼和浩特市中考真题

22.关于尤的二次函数了=蛆2-6加x-5（优/0）的结论

①对于任意实数。，都有西=3+。对应的函数值与％=3-a对应的函数值相等.

②若图象过点/(%,%)，点8(%,%),点C(2,-13),则当国＞马＞3时，风』＜0.

2玉一马

4114

③若3WxW6,对应的歹的整数值有4个，贝卜3V加(-］或§＜加

④当加〉0且〃(x＜3时，一144＞W/+1,则〃=1.

其中正确的结论有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【题型4】二次函数实际应用

2022•四川广安中考真题

23.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降米，水面宽8

2023•湖北襄阳中考真题

24.如图，一位篮球运动员投篮时，球从A点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度y(m)

177

与篮球距离出手点的水平距离x(m)之间的函数关系式是y--j(x-j)2+p下列说法正确的是

(填序号).

①篮球行进过程中距离地面的最大高度为3.5m；②篮球出手点距离地面的高度为2.25m.

2023•吉林长春中考真题

25.2023年5月8日，C919商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步.12时31分航

班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼

仪）.如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似

看作形状相同的地物线的一部分.如图②，当两辆消防车喷水口/、2的水平距离为80米时，

两条水柱在物线的顶点〃处相遇，此时相遇点〃距地面20米，喷水口/、8距地面均为4

米.若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口/、到地面的距离均保持不变,

则此时两条水柱相遇点H'距地面________米.

图①图②

2022•四川南充•中考真题

26.如图，水池中心点。处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物

线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点。在同一水平面.安装师傅调试发现，喷头高2.5m

时，水柱落点距。点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距。点3m.那么喷头高m

【题型5】求参数的值或范围

2022年吉林省长春市中考真题

27,已知二次函数，=-/-2》+3,当a”/g时，函数值y的最小值为1,则。的值为.

2023•湖北十堰中考真题

28.已知点”（再,必）在直线＞=3x+19上，点8@2/2）9（%3，%）在抛物线了=/+4芯-：1上，若

M=%=%且再<Z<退，则占+迎+三的取值范围是（）

A.-12<X]+%+£<-9B.-8<再+/+/<-6

C.-9<Xj+x2+x3<0D.-6<Xj+x2+x3<1

2022•内蒙古呼和浩特中考真题

29.在平面直角坐标系中，点。和点。的坐标分别为（-L-D和（4,-1）,抛物线y=〃z/-2mv+2（加W0）

与线段C。只有一个公共点，则根的取值范围是.

2023年福建省中考真题

30.已知抛物线y="-2G+6（。>0）经过/（2〃+3,%）,8-1,%）两点，若A,B分别位于抛物线对

称轴的两侧，且必<%,则〃的取值范围是.

2022•湖南湘西中考真题

31,已知二次函数y=-x?+4x+5及一次函数y=-x+b,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折

到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y=-x+6与新图象

有4个交点时，b的取值范围是.

2022•江苏盐城中考真题

32.若点尸（加,〃）在二次函数y=*+2x+2的图象上，且点P到夕轴的距离小于2,则〃的取值范围

是.

2023年四川省南充市中考真题

33.抛物线>=-/+b+4-3与x轴的一个交点为4叽°），若-2VwVl,则实数人的取值范围是

()

21、

A.——<k<\B.k<-----或左之1

44

9、9

c.—5qkq—D.左（一5或左2耳

8

2023•浙江衢州中考真题

34,已知二次函数y="一4a无Q是常数，a<0）的图象上有/（私必）和3（2加,%）两点.若点A,

8都在直线>=-3。的上方，且%>%,则加的取值范围是（）

3443

A.1<m<—B.—<m<2C.—<m<—D.m>2

2332

2023年四川省泸州市中考真题

35,已知二次函数了="、2"+3（其中x是自变量），当0<x<3时对应的函数值了均为正数，贝心

的取值范围为（）

A.0<a<lB.a<-l或a>3

C.-3<a<0或0<a<3D.-lWa<0或0<。<3

2022•山东济南中考真题

36.抛物线了=-/+2S-加2+2与了轴交于点0,过点C作直线/垂直于y轴，将抛物线在〉轴右

侧的部分沿直线/翻折，其余部分保持不变，组成图形G,点河（加-1,必）+为图形

G上两点，若乂<%,则加的取值范围是（）

A."7<-1或加>0B.C.0<m<V2D.

2022•湖北荆门中考真题

x2-2x+3（x<2）

37.如图，函数了="39的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线>=冽（m

-4X+2（X-2）

（X/,3，4）（X/<2<f=

为常数）相交于三个不同的点/力），B（x2,/），C（无尤孙）.设

*"+七％,贝h的取值范围是

工3%

y

【题型6】二次函数新定义问题

2023年山东省蒲泽市中考真题

38.若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：41,3),8(-2,-6),。(0,0)等都

是三倍点"，在-3<x<l的范围内，若二次函数y=-x2-x+c的图象上至少存在一个“三倍点”,

则c的取值范围是()

11

A.—<c<lB.-4<c<-3C.——<c<5D.-4<c<5

44

2023•四川巴中中考真题

39.规定如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为'Y函数”.例如函数夕=x+3

与>=-x+3互为，丫函数”.若函数>=[/+(左_1口+左-3的图象与x轴只有一个交点，则它的

“丫函数”图象与X轴的交点坐标为.

2023年四川省乐山市中考真题

40.定义：若无，>满足x2=4y+t/2=4x+f且*VG为常数)，则称点M(x,y)为“和谐点”.

(1)若P(3,")是“和谐点”，贝.

k

(2)若双曲线了=人(-3<%<-1)存在“和谐点”，则人的取值范围为.

x

【题型7】二次函数中的规律探究问题

2023•山东东营•九年级校考

41.如图，一段抛物线：y=-x(x-3)(OWxW3),记为。，它与x轴交于点O,4；将。绕点4旋

转180。得。2,交X轴于点均；将绕点4旋转180。得G，交X轴于点4；…如此进行下去，

直至得q。.若P(28,⑼在第10段抛物线Go上，则切=.

2023•四川达州•统考二模

42.如图，已知点4,4,…，4。24在函数＞=2x2位于第二象限的图像上，点片,与…®必在函数＞=2x2

位于第一象限的图像上，点G，Cz，…，02必在了轴的正半轴上，若四边形

都是正方形，则正方形C20234024c202482024的边长为（）

20232023r-

0FD.------V2

2

广东梅州•九年级统考

2

43,二次函数了=§/的图象如图所示，点4位于坐标原点，Ai，A2,A3,出破3在＞轴的正半轴

2

上，Bi，B2,B3,殳哂在二次函数第一象限的图象上，若A4必〃/,MB2A2,

△A2B3A3，…，2022^2023^-2023都是等边二角形，则^^2022^2023^-2023的周长是（）

A.6069B.6066C.6063D.6060

2023下•河北石家庄•九年级统考阶段练习

44.二次函数y=v的图象如图.点4位于坐标原点，点4，4，4，…，4在y轴的正半轴上,

点⑸，瓦,在二次函数位于第一象限的图象上，点G，c,G，…，Q在二次

B2,B3,2

函数位于第二象限的图象上，四边形444G，四边形4324c2,四边形4834G，…，四边

形.4T纥4G都是菱形,乙*4=乙姬乩==…="t纥4=60°,则△444的边

长为_,菱形4-44。“的周长为.

专题3-4二次函数选填压轴7类常考热点问题

/■/题型•解读/

【题型1】二次函数图象与系数的关系（给出对称2023年湖北省黄石市中考真题

轴）

2023年内蒙古呼和浩特市中考真题

2023年湖南省娄底市中考真题

【题型4】二次函数实际应用

2023年四川省达州市中考真题

2022・四川广安中考真题

2023年山东省烟台市中考真题

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【题型2】二次函数图象与系数的关系（给出对

【题型】求参数的值或范围

称轴和交点坐标）5

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【题型3】二次函数图象与系数的关系（题目没

给出图像）

【题型6】二次函数新定义问题

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2023【题型7】二次函数中的规律探究问题

年湖南省邵阳市中考真题

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朗印/满分•技巧/

二次函数图像与系数a,b,c的关系

如图，二次函数了=的2+龌+c的图象关于直线x=l对称，与X轴交于娥显网，%瓜硼两点，若

考法解决方法本题结果

a：二次函数图像开口向上时，a>0；a>0

开口向下，则aVO,bVO

①a,b,c

b：和a共同决定了函数对称轴的位c<0

置，“左同右异”

c：c为图像和y轴交点的纵坐标

两个交点：Z?2-Aac<0b1-4ac<0

一个交点：b2-4QC=0

@b2-4ac

没有交点：b1-Aac>0

(3)a~\-b-\-c用特殊值进行判断：Q+6+CV0

a—b~\-ca+b+c即为当x=l时的函数值；Q—b+cVO

4a+2b+c4a—2b+c为当x=—2时的函数值

只有4,b时，用对称轴代换，消去

-------1,b~~2a,

④3a+2b一个未知数进行判断2a

3。+2b=3。-4。=-Q>0

只有a,C或只有6,C时，先用对•.,。-b+cVO,.\a+c<b,'.*«>0,

⑤c+a称轴代换，消去一个未知数，然后:・b=-2QV0,「.Q+CVO

利用④中的结果判断结果

若C的系数不是1,可以先化成1再b=-2a口6+2。=2(-0+。)

⑥6+2。进行计算，或这把③中的某个式子而—ci=a+b,

中的C的系数变成题里的形式2(-a+c)=2(a+b+c)v0

®am2+bm同时加上c,am2+bm+c,a+b+cam2-i-bm^a+b

和Q+b的第一个式子是当x=m时的函数值，

大小关系第二个式子是当X=1时的函数值；

由图可知，x=l时函数取最小值

⑧(a+c)~b2(a+c)2_/)2=(a+6+c)(a+c—b)(a+c)2-62=(〃+6+C)(Q+C—b)>0

@b2-4ac可以把代数式变成顶点的纵坐标公假如定点纵坐标小于一1,

和4a的大式，顶点坐标（一;，警以）则4a胪2V_1,4ac-b2V—4a,

2a4a

小关系b2—4ac>4。

⑩若给出西

a,c的数量关系可以知道，可以判断关于a,b,c任意式子的正负

的值

即玉工2二^，进而可知a，b,c的关系也可以求出以a,b,c为参数的方程的根

a

核心•题型/

【题型1】二次函数图象与系数的关系（给出对称轴）

2023年湖南省娄底市中考真题

1,已知二次函数>=办2+云+。的图象如图所示，给出下列结论：®abc<Q；②4a-2b+c>0；③

a-b>m（am+b'）（%为任意实数）；④若点（-3,%）和点（3,%）在该图象上，则其中正

确的结论是（）

A.①②B.①④C.②③D.②④

【答案】D

【分析】由抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，可得a<0,c>0,

b<0,故①不符合题意；当x=0与x=-2时的函数值相等，可得4a-26+c=c>0,故②符合题意;

当x=-l时函数值最大，可得。-62加(。加+6),故③不符合题意；由点(T必)和点(3,%)在该图象

上，而3-(-1)=4>(-1)-(-3)=2,且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，可得④符合题

意.

【详解】解：：抛物线的开口向下，与〉轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，

a<0,c>0,x—.......<0

2a

6<0,

abc>Of故①不符合题意；

，・•对称轴为直线x=-1,

・•・当x=0与工=-2时的函数值相等，

A4a-2b+c=c>0,故②符合题意；

当l=-1时函数值最大，

a-b+c>am2+bm+c,

/.a-b>m(am+b)；故③不符合题意；

•:点(-3,%)和点(3,%)在该图象上，

而3-(-1)=4>(-1)-(-3)=2,且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，

•••必>力.故④符合题意;

故选：D.

2023年四川省达州市中考真题

2.如图，抛物线y="2+6x+c4c为常数)关于直线x=l对称.下列五个结论①abc>0；②

2a+b=0；(S)4a+2b+c>0；@am2+bm>a+b⑤3a+c>0.其中正确的有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【分析】由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断“、6、c的符号，由此可判断①

正确；由抛物线的对称轴为x=l,得至I—=1,即可判断②；可知x=2时和x=0时的y值相等可

判断③正确；由图知x=l时二次函数有最小值，可判断④^误；由抛物线的对称轴为x=l可得6=-2〃，

因此>=a/-2ax+c,根据图像可判断⑤正确.

【详解】①,・•抛物线的开口向上，

a>0.

・・,抛物线与歹轴交点在y轴的负半轴上，

c<0.

由一2>o得，b〈o,

2a

abc>0,

故①正确；

②丁抛物线的对称轴为x=l,

.­=1,

2a

b=-2a,

2a+b=0,故②正确；

③由抛物线的对称轴为x=l,可知％=2时和x=0时的y值相等.

由图知x=0时，><0,

・,.％=2时，y<0.

即4〃+2b+c<0.

故③错误；

④由图知x=l时二次函数有最小值，

:.a+b+c<am2+bm+c,

:.a+b<am2+bm,

a+b<m（ax+b）,

故④错误；

⑤由抛物线的对称轴为x=i可得-幺=1,

2a

b=-2a,

y=ax2—2ax+c,

当工=-1时，y=a+2a+c=3a+c,

由图知x=—1时>>0,

/.3〃+c>0.

故⑤正确.

综上所述：正确的是①②⑤，有3个，

故选：B

2023年山东省烟台市中考真题

3.如图，抛物线y=ax2+6x+c的顶点A的坐标为1;，加J,与x轴的一个交点位于0合和1之间，

则以下结论：①"c>0；②26+c>0；③若图象经过点（-3,乂）,（3,%），则为>%;④若关于x

的一元二次方程G2+6X+C-3=0无实数根，则加<3.其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据图象，分别得出。、b、c的符号，即可判断①；根据对称轴得出4=6,再根据图象得

出当x=l时，y=a+b+c<Of即