三角形全等的重要模型-2021-2022学年北师大版七年级数学下册专项突破（原卷版）

专题03三角形全等的重要模型

模型1、平移全等模型，如下图:

条件不能是（）

A.ABIIDEB.ACHDFC.ACIDED.AC=DF

2.（2021•云南昆明市•八年级期末）如图：已知=5。=£/且5。〃£尸，求证：AABC沿ADEF.

3.（2021•广西百色市•八年级期末）如图，已知点。是48的中点，CD//BE,且CD=BE.

（1）求证：AACD^ACBE.（2）若44=87°,ZD=32°,求NB的度数.

4.（2021•四川泸州市•九年级月考）如图，AB//CD,AB=CD点E、F在BC上,且BF=CE.

（1）求证：AABE义4DCF（2）求证:AE//DF.

5.（2021•襄城区期末）如图，点2、E、C、下四点在一条直线上，N4=ND,AB//DE,老师说：再添加

一个条件就可以使△/BCg△。昉.下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加/5=D£；乙说：添加/C

//DF-,丙说：添加3E=CF.（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是；

（2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明.

6.（2021•富顺县校级月考）如图1,A,B,C,。在同一直线上，AB=CD,DE//AF,HDE=AF,求证:

△4FC竺4DEB.如果将AD沿着边的方向平行移动，如图2,3时，其余条件不变，结论是否成立？

如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.

⑴Q)(3)

模型2.对称（翻折）全等模型，如下图:

1.（2021•安徽九年级专题练习）如图，四边形48CD的对角线/C,3。相交于点。，AABO2AADO,

下列结论：①②CB=CD；③A4BC咨乙ADC；@DA=DC,其中正确结论的序号是

2.（2020•浙江杭州市•八年级期末）如图,已知ZACB=NDBC,若要使得ZUBCMADCB,则添加的一

个条件不能是（）

A.ZA=ZDB.NABC=NDCBC.AB=DCD.AC=DB

3.（2020•武汉市六中位育中学八年级）如图，Z1=Z2,3C=EC,请补充一个条件：,能使用“4S“

方法判定△NBC名△DEC.

EB

4.（2021•西安市•陕西师大附中九年级二模）如图，在A/BC中，点。，E分别是48、NC边上的点,

BD=CE,NABE=NACD,BE与CD相交于点求证：AB=AC.

5.（2021•河南南阳市•八年级期末）如图，已知/C=/F=90。，AC=DF,AE=DB,BC与EF交于点O,

（1）求证：RtAABC^RtADEF；（2）若/A=51。，求NBOF的度数.

6.（2021•江苏徐州市•八年级期末）已知：如图，点C是线段43的中点，CD=CE,ZACD=ZBCE,求证:

(1)"DC沿ABEC；(2)DA=EB.

D

AB

模型3.旋转全等模型，如下图：

C

A'B'B

1.（2021•河北沧州市•八年级期末）如图，AABC和AAED共顶点A,AD=AC,Z1=Z2,ZB=ZE.BC

交AD于M,DE交AC于N,甲说：“一定有AABC之Z\AED.”乙说：'△ABM^AAEN."那么（）

可

A.甲、乙都对B.甲、乙都不对C.甲对、乙不对D.甲不对、乙对

2.（2021•渝水区校级期中）如图，AB=AC,AD=AE,NBAC=/D4E求证：ZABD=ZACE.

3.（2020•武汉市六中位育中学八年级）如图，已知=,BC=DE,且/C/Z）=10。，Z3=ZD=25°,

ZEAB=120°,则NEG尸的度数为（）

A.120°B.135°C.115°D.125°

4.（2021•江苏镇江市•八年级期末）如图，AC±BC,DC±EC,AC=BC,DC=EC,

求证：（1）AACE=ABCD；（2）AE1BD.

5.(2021•四川广元市•九年级期末)如图，己知和A/E/中，NB=NE,AB=AE,BC=EF,

ZEAB=25°,ZF=57°,线段分别交//，EF于点、M，N.(1)请说明=NE4C的理

由；(2)可以经过图形的变换得到A/所，请你描述这个变换；(3)求的度数.

6.（2021春•浦东新区期末）如图，在△48C和△/£）£■中，AB=AC,AD=AE,NBAC=NDAE=90°.

(1)当点。在NC上时，如图①，线段3D,CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；

(2)将图①中的△4DE绕点/顺时针旋转a(00<a<90°),如图②，线段AD,CE有怎样的数量关系

和位置关系？请说明理由.

模型4、半角全等模型

【解题技巧】过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半

角模型。

常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一

边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线

段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转一证全等一得到相关结论.

1.（2020•武汉市六中位育中学八年级）（1）如图，在四边形48。。中，AB=AD,ZS+ZJD=180°,E、

口分别是边BC、上的点，且NE4尸=求证：EF=BE+FD；⑵如图，在四边形/BCD

中，AB=AD,ZB+ZADC=180°,E、E分别是边BC、3延长线上的点，S.ZEAF=^ZBAD.（1）

中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.

BEC

BE

2.（2020•河南新乡市•八年级期中）已知四边形/BCD中，ABYAD,BC±CD,AB=BC,ZABC=120°,

NMBN=60°,NMBN绕B点旋转，它的两边分别交N。，DC（或它们的延长线）于E,F.

图1

（1）当NVBN绕3点旋转到4B=C尸时（如图1）,求证：4ABE%ACBF.（2）当绕点5旋转到

NErCF时，如图2,猜想线段/E,CF,所有怎样的数量关系，并证明你的猜想.（3）当NM3N绕点2旋

转到图3这种情况下，猜想线段NE,CF,M有怎样的数量关系，并证明你的猜想.

3.（2020•江阴市夏港中学八年级月考）（1）问题背景：

如图1,在四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°,且/EAF=60。，探究图中线

段BE,EF,FD之间的数量关系.小明同学的方法是将AABE绕点A逆时针旋转120。到AADG的位置，然

后再证明AAFEgZkAFG,从而得出结论：.

（2）探索延伸：如图2,在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,F分别是边BC,CD上的

点，且N£4/=-ZBAD.上述结论是否仍然成立？请说明理由.

2

（3）方法应用：如图3,E、F分别是正方形ABCD边BC、CD上的动点，连接AE、AF,并且始终保持

ZEAF=45°,连接EF并延长与AD的延长线交于点G,说明AG=EG.（正方形四边相等，四个角均为90。）

BEC

4.(2022•四川绵阳市•八年级期末)已知在四边形ABCD中，ZABC+ZADC=180°,ZBAD+ZBCD=

180°,AB=BC(1)如图1,连接BD,若NBAD=90。，AD=7,求DC的长度.

(2)如图2,点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ=AP+CQ,求证：ZPBQ=ZABP+ZQBC

(3)若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ=AP+CQ,请写出/

PBQ与/ADC的数量关系，并给出证明过程.

5.(2021•全国九年级专题练习)问题背景：如图，A/8C是等边三角形，△ADC是顶角为120。的等腰三角

形，以。为顶点作一个60。角，角的两边分别交48,NC边于"、N两点，连接探究线段即MN,

CN之间的数量关系.

嘉琪同学探究此问题的方法是：延长NC至点E,CE=BM,连接。E,先证明再证明

△MDN^XEDN,可得出线段的幺MN,CN之间的数量关系为—.请你根据嘉琪同学的做法，写出证明

过程.

探索延伸：若点N分别是线段N3,C4延长线上的点，其他条件不变，再探索线段的%MN,NC之间

的关系，写出你的结论，并说明理由.

图1图2

6.（2021•山东东营市•七年级期末）（1）问题背景：

如图1,在四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°,E,F分别是BC,CD上的

点，且/EAF=60。，探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.

小明同学探究此问题的方法是延长FD到点G,使DG=BE,连结AG,先证明A48E三AADG,再证明

A4E产也AAGF,可得出结论，他的结论应是.

（2）探索延伸：如图2,在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,F分别是BC,CD上的点，Z

EAF=-ZBAD,上述结论是否依然成立？并说明理由.

2

模型5、三垂直全等模型

如图:

1.（2021•广东中山市•八年级期末）如图，在△/BC和中，若/ACB=/CED=9Q°,AB=CD,CE

AC,则下列结论中正确的是（）

A.£为8c中点B.2BE=CDC.CB=CDD."BC妾ACDE

2.（2020•涿州市实验中学八年级期中）在A/BC中，4DLBC于点D,点E为AD上一点,连接CE,CE

=AB,ED=BD.（1）求证：AABD沿ACED;（2）若44c£=22°,则的度数为.

3.（2020•广东省龙岭初级中学初一期中）如图，已知NDCE=90°,ZDAC=90°,BE_L4C于B,且DC=EC.

CDND和相等吗？若相等，请说明理由；（2）△ADC之△3CE吗？若全等，请说明理由；

（3）能否找到与N3+N。相等的线段，并说明理由。

4.（2020•河北省初三三模）如图，AA8C和NDEF都是直角三角形，NACB=NDFE=90°,AB=DE

顶点/在上，边。E经过点。，点/,E在5c同侧，DELAB.

(1)求证：AABC=ADEF：(2)若/C=H,EF=6,CF=4,求的长.

DB

5.（2020•江西赣州市•八年级期末）已知：ABLBD,EDLBD,AC=CE,BC=DE.

（1）试猜想线段ZC与CE的位置关系，并证明你的结论.

（2）若将S沿方向平移至图2情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由•

（3）若将S沿方向平移至图3情形，其余条件不变，结论ZG还成立吗？请说明理由•

6.（2021•庐江县期末）如图1,于点5,CDL2C于点C,点E在线段2C上，且

（I）求证：AEAB=ZCED-,（2）如图2,AF、。9分别平分/A4E和/CDE,则/尸的度数是（直

接写出答案即可）；（3）如图3,EH平6NCED,的反向延长线交的平分线//于点G.求证：

EG_I_4F.（提不：三角形内角和等于180°）

CDCDCHD

图1图2图3

模型6、一线三等角全等模型

1）.一线三直角全等模型，如图:

1.（2021•广西梧州市•八年级期末）如图，在等腰直角三角形45。中，48=5C,NA8C=90°,点2在

直线/上，过/作4D_L/于D,过C作CE于£.下列给出四个结论：①BD=CE；②NBAD与ZBCE

互余；③4D+CE=DE.其中正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

2.（2021•江苏扬州市•八年级期末）如图，ZS=ZC=90°,NBAE=NCED,且48=C£.

（1）试说明：A4DE是等腰直角三角形；（2）若NCD£=2乙8NE,求NCD£的度数.

BEC

3.（2021•湖北鄂州市•八年级期末）将Rt448C的直角顶点。置于直线/上，AC=BC,分别过点/、

B作直线/的垂线，垂足分别为点。、E,连接NE.茗BE=3,DE=5.求△/CE的面积.

4.（2021•山东临沂市•八年级期末）如图，ZACB=90°,AC=BC,ADLCE,BELCE,垂足分别

为D,E,AD=2.5cm,求B£=lcm,求的长.

5.（2021•河南商丘市•九年级期末）如图（1）,已知A/BC中，/B4c=90。,AB=AC；/£是过/的

一条直线，且2,。在/£的异侧，BDLAE于D,CE上AE于E.（1）求证：BD=DE+CE；（2）

若直线/E绕/点旋转到图（2）位置时（BD〈CE）,其余条件不变，问BD与DE,CE的数量关系如

何？请给予证明.（3）若直线AE绕4点旋转到图（3）位置时（8。＞C£）,其余条件不变，问BD与DE,

CE的数量关系如何？请直接写出结果，不需证明；（4）根据以上的讨论，请用简洁的语言表达直线NE在

不同位置时与DE,CE的位置关系.

图1图2图3

6.(2020•浙江温州市•八年级月考)在AABC中AAOB=90°,AO=BO,直线MN经过点O,且AC±MN

于C,BDLMN于D.(1)当直线MN绕点O旋转到图①的位置时，求证：CD=AC+BD；(2)当直线MN绕

点O旋转到图②的位置时，求证：CD=ACBD；(3)当直线MN绕点O旋转到图③的位置时，试问：CD、

AC、BD有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.

2).一线三等角与一组对应边相等全等模型，如图:

1.（2021•安徽马鞍山市•八年级期末）如图，已知在△45C中，AC=BC=4D,ZCDE=ZB,

求证：AADE之ABCD.

2.（2021•黑龙江大庆市•七年级期末）如图，在A/BC中，AB=AC,。、A、E三点都在直线加上,

并且有,求证：DE=BD+CE.

3.（2021•河南濮阳市•八年级期末）已知：D,A,E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作A/BC,

使=连接BD,CE.（1）如图①，若NB/C=90。，BDLm,CE,求证△48。kA/CE；

（2）如图②，若/BDA=/AEC=/BAC,请判断BD,CE,DE三条线段之间的数量关系，并说明理由.

4.（2020•无锡市胡康中学八年级月考）（1）如图1,直线加经过等腰直角A/BC的直角顶点4过点3、C

补充（用a表示），线段3D、CE与DE之间满足8D+C£=D£,补充条件后并证明；

（3）在（2）的条件中，将直线m绕着点N逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件

=/AEC=（用a表示）.通过观察或测量，猜想线段即、CE与DE之间满足的数量关系，并

予以证明.

5.（2021•香坊区期末）如图，在△48C中，点。是边3C上一点，CO=/8,点£在边/C上，^.AD=DE,

ZBAD=ZCDE.(1)如图1,求证：BD=CE；(2)如图2,若DE平分//DC,在不添加辅助线的情况下,

请直接写出图中所有与//£>£相等的角除外).

(1)如图①，已知：A/BC中，ABAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,8。，加于D,CElm

于E,请探索DE、BD、CE三条线段之间的数量关系，直接写出结论；

(2)拓展：如图2,将(1)中的条件改为：A/BC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线m上，并且

ABDA=ZAEC=ABAC=a,7为任意锐角或钝角，请问(1)中结论是否还成立？如成立，请证明；

若不成立，请说明理由；

(3)应用：如图③，在A/BC中，N3/C是钝角，AB^AC,ZBAD>ZCAE,ABDA=ZAEC=ABAC,

直线m与BC的延长线交于点F,若BC=2CF,A/BC的面积是16,求△45。与△CW的面积之和.

模型6、手拉手全等模型

1）.等腰（直角）三角形中的手拉手全等模型

①如图，AABC与4ADE均为等腰三角形，且NBAC=/DAE,连接BD、CE,则AABD之Z\ACE.

②两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有一：

①△BCDgZXACE；®BD±AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分/BFE；

1.（2020•河南许昌市•九年级期中）问题发现：（1）如图1,已知。为线段N3上一点，分别以线段/C,BC

为直角边作等腰直角三角形，ZACD=90°,CA=CD,CB=CE,连接AE,BD,线段AE,BD之

间的数量关系为；位置关系为.

拓展探究：（2）如图2,把RtzX/CD绕点C逆时针旋转，线段NE,BD交于点、F,则4E与5。之间的

关系是否仍然成立？请说明理由.

2.（2020•黑龙江绥化市•八年级期末）两块等腰直角三角尺408与（不全等）如图（1）放置，则有

结论：①4C=BD②ACLBD；若把三角尺绕着点。逆时针旋转一定的角度后，如图（2）所示,

判断结论：①/C=80②5。是否都还成立？若成立请给出证明，若不成立请说明理由.

图⑴

3.（2021•湖南常德市•八年级期末）在ANBC中，AB=AC,点。是直线3c上一点（不与2、。重合），以

4D为一边在4D的右侧作使4D=/E,NDAE=NBAC,连接CE.

（1）如图1,当点。在线段上，如果/B/C=90。，则/BCE为多少？说明理由；

（2）设NA4C=a,NBCE=B.①如图2,当点。在线段2C上移动，则a,£之间有怎样的数量关系？请说

明理由；②当点。在直线上移动，则a,4之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不需证明.

4.（2021•甘肃庆阳市•八年级期末）在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两

个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成.在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形.通过资料查

询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”兴趣小组进行了如下操究：

C1）如图1、两个等腰三角形AABC和AADE中，AB=AC,AE=AD,ZBAC=ZDAE,连接BD、CE、如

果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大

手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和AADB全等的三角形是,此线BD和CE

的数量关系是

（2）如图2、两个等腰直角三角形AABC和AADE中，AB=AC,AE=AD,ZBAC=ZDAE=90°,连接BD,

CE,两线交于点P,请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由：

（3）如图3,已知AABC、请完成作图：以AB、AC为边分别向AABC外作等边AABD和等边AACE（等

边三角形三条边相等，三个角都等于60。），连接BE,CD,两线交于点P,并直接写出线段BE和CD的数

量关系及/PBC+/PCB的度数、

5.（2021•内蒙古赤峰市•九年级期末）如图，将两块含45。角的大小不同的直角三角板ACOD和AAOB如图

①摆放，连结AC,BD.（1）如图①，猜想线段AC与BD存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并

证明；（2）将图①中的ACOD绕点O顺时针旋转一定的角度（如图②），连结AC,BD,其他条件不变，线

段AC与BD存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由.（3）将图①中的ACOD绕点O逆时针旋转一

定的角度（如图③），连结AC,BD,其他条件不变，线段AC与BD存在怎样的关系？请直接写出结论.

C

2）.等边三角形中的手拉手全等模型如图，AABC与4CDE均为等边三角形，连接AE、BD,则△BCDgA

ACE.

图1图2

1.（2021•河南新乡市•新乡学院附属中学八年级月考）如图，点C是线段AE上一动点（不与A,E重合），

在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与

CD交于点Q,连接PQ,有以下5个结论：①AD=BE；②PQ〃AE；③AP=DQ；④DE=DP；⑤NAOB=60°.其

中一定成立的结论有（）个

A.1B.2C.3D.4

2.（2020•湖南邵阳市•八年级期中）如图1,若点P是线段Z5上的动点（尸不与2重合），分别以工尸、

PB为边向线段N5的同一侧作等边AAPC和等边APAD.

c

c

（1）图1中，连接Z。、BC,相交于点。，设NZQC=a,那么a=。；（2）如图2,若点P固

定，将绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时戊的大小是否发生变化？请说明理由.

3.（2020•江西上饶市•南屏中学八年级月考）如图,AB=CB,BD=BE,ZABC=ZDBE=a.

图①

图②

（1）当a=60。，如图①则，NDPE的度数.

（2）若ABDE绕点B旋转一定角度，如图②所示，求/DPE（用a表示）

4.(2021•费县第二中学)如图，AOAB和AOCD中，OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=90°,AC、

BD交于点M.(1)如图1,求证：AC=BD,判断AC与BD的位置关系并说明理由；

(2)如图2,NAOB=NCOD=60。时，/AMD的度数为.

5.(2020•新疆八年级期中)如图，点C为线段AB上一点，AACM,ACBN是等边三角形，直线AN,MC

交于点E,直线BM、CN交于F点.(1)求证：AN=BM；(2)求证：aCEF为等边三角形；(3)将AACM

绕点C按逆时针方向旋转90。，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第(1)(2)两小题

的结论是否仍然成立，不要求证明.

6.（2020•西华县教研室八年级期中）如图，B,C,E三点在一条直线上，AA8C和均为等边三

角形，BD与4C交于点、M,AE与CD交于点、N.

（1）求证：AE=BD；（2）若把AZ5CE绕点C任意旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.

3）.一般三角形中的手拉手全等模型

如图，在任意^ABC中，分别以AB、AC为边作等边AADB、AACE,连接DC、BE,则△ADC^zXACE.

4）.正方形中的手拉手全等模型

如图，在任意△ABC中，分别以AB、AC为边作正方形ABDE、ACFG,连接EC、BG,则△AECgAABG.

1.（2020•辽宁丹东市•七年级期末）已知：如图1,在A/45C和A4DE中，ZC=ZE,ZCAE=ZDAB,

5C=Q£.(1)证明(2)如图2,连接CE和2。，DE,/£»与5C分别交于点M和

N,ZDMB=56°