2024-2025学年许昌市高一数学上学期10月考试卷及答案解析

2024-2025学年高一上学期10月检测

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位

置上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.）

v.,/（2x+l）

1.已知函数歹=/（"）的定义域为则函数'x+1的定义域为（）

33

A[--,1]B.C.[-3,7]D.[-3,-1）0（-1,7]

,22

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数/（x）的定义域求出2x+l的范围，结合分母不为。求出函数的定义域即可.

3

【详解】由题意得：-2W2X+1W3,解得：——<X<1,

2

由x+lwO,解得：x^-1,

故函数的定义域是-15，

故选：B.

2.设命题夕：V加wZ,加之〉2加一3,则一为（）

G22m-

A.VmZ,m<3B.3m0G<2m0-3

C.3m0任Z,加;〉2m0-3D.X/加eZ,加2«2加一3

【答案】B

【解析】

【分析】由全称命题的否定：任意改存在并否定原结论，即可得答案.

【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为W2加o-3.

故选：B

3.下列各组函数是同一个函数的是()

A.〃x)=x2与g(x)=(«『B.f(x)=J(x-l)2与g(x)=x-l

c./(x)=l与g(x)=x°D./(》)==^与8(X)=》

x+1

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，利用同一函数的定义与判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求

解.

【详解】对于A,函数/(X)=V的定义域为R,g(x)=(五『的定义域为［0,+8),两个函数的定义域

不同，所以不是同一个函数，所以A不符合题意；

对于B,函数/(幻=加_1)2=H，g(x)=x-1,所以两个函数的对应关系不同，所以不是同一个

函数，所以B不符合题意；

对于C,函数/(x)=l的定义域为R,g(x)=x°的定义域为(―co,0)U(0,+s),两个函数的定义域不

同，所以不是同一个函数，所以C不符合题意；

3

对于D,由函数/(》)==3=》与8(乃=%的定义域与对应关系都相同，所以是同一个函数，所以D

x+1

符合题意.

故选：D

4.当一个非空数集G满足“如果a/eG,则a+6,a-b,ab&G,且6/0时，3eG”时，我们称

b

G就是一个数域，以下四个数域的命题：

①0是任何数域的元素：

②若数域G有非零元素，则2024eG；

③集合P={x|x=3k,keZ}是一个数域

④有理数集是一个数域

其中真命题的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】由数域定义分析各说法可得答案.

【详解】①因数域G是非空数集，取其中任意元素X,则由数域定义x-x=OeG,故①正确；

②因数域G有非零元素，设为V,则由数域定义？=leG,因leG,贝H+l=2eG,l+2=3eG,

y

类推可得任意正整数都在数域中，故②正确；

③尸={x|x=3左，左eZ}表示全体被3整除的整数，则3e尸,66尸，但^=5色尸，故③错误；

④设。力eQ,则。+6,a-b,abeQ,当6w0时，-eQ,则有理数集是一个数域，故④正确.

b

故选：C

5.定义运算：x*y=x(x+y)(x/eR).若关于x的不等式(x—a)*(l—2x)<l恒成立，则实数a的取值

范围为()

[13

A.{《-l<a<l}B.<Q-

’311।

C.<a--<a<2>D.{q[0<Q<2}

【答案】B

【解析】

【分析】由定义运算将所求不等式化简，再结合一元二次含参不等式恒成立问题求解即可；

【详解】由题意(％-Q)*。-2%)<1可变形为

(1—a)(x—Q+1—2X)—1<0,

即—x?—ux+x+ax+a2-Q—1<0，

化简可得——%—/+〃+1>0恒成立，

所以△=1_—4xlx(―a?+a+1)<0T日成立.

化简可得(2a—3)(2Q+1)<0,

13

解得一一<a<一，

22

[13、

所以实数。的取值范围为{a――<P

22

故选：B.

6.若正实数x,>满足中+5x+5y=ll,则x+N的最小值为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】

【分析】正实数x,y满足中+5x+5y=ll,利用基本不等式的性质可得［言?|+5X+5J>11,设

x+y^t,t>0,即可求出x+N的最小值.

【详解】\•正实数x,y满足中+5x+5y=ll,苫上>xy）

三上+5x+5y>ll,当且仅当x=V取等,

设x+y=//>0,+5Z>11,

4

二产+20f—4420,即«-2)«+22”0,f+22>0,"2,

故x+y的最小值为2.

故选：A.

7.存在三个实数外,或，。3,使其分别满足下述两个等式:

(1)2a3=一2(2)。］+%+。3=0

其中M表示三个实数生，4，。3中的最小值，则

A.M的最大值是—B.M的最大值是-2

C.M的最小值是—近D.M的最小值是—2

【答案】B

【解析】

【分析】由已知得，中必有2个正数,1个负数，设%<0，。1>0,。2>°，则M=%，根据基

本不等式及不等式的性质即可求解.

【详解】由已知得，%,。2，%中必有2个正数,1个负数,

设。3<0,。］〉0,。2>°，则M=。3，

因为％+%+%=0，所以一。3=%+%，

_____2

所以-%=%+?之2）/的，即9%V，

33

所以为出42号，由％a2a3=-2得，&V一2,即嫁<一8,

所以生三一2,

故选：B.

8.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为（-CO,2）D（3,+S）,则（）

A.a<0B,不等式fox+c>0的解集是｛x|x<—6｝

C.a+b+c>QD,不等式bx+a<0的解集为｛x|x<-；或x〉；

【答案】C

【解析】

【分析】根据不等式的解集可判断A；利用韦达定理可得b=-5a,c=6。，代入BCD依次判断即可.

【详解】对A,由不等式分2+乐+。>0的解集为（一”,2）。（3,+。）可知a>0,A错误；

--=5

对B,又2和3是方程a%2+6x+c=0的两根，由韦达定理可得1°,

g=6

即6=—5。,。=6。,所以ZZX+C>0O—5QX+6Q>0O—5X+6>0,

解得x<—,B错误；

对C,a+b+c=〃一5。+6。=2〃>0,C正确；

对D,+〃<0。一5QX+〃<0。一5x+l<0,解得x>《，D错误.

故选：C.

二.多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.）

9.下列说法中正确的有（）

A.命题?：3x0eR,Xg+2x0+2<0"则命题。的否定是\/xeR,x-+2x+2>0

11

B.“一〉一”是“x<y”的必要不充分条件

xy

C.命题“VxeZ,x?〉0"是真命题

D.-m<0”是“关于光的方程x2-2x+m=0有一正一负根”的充要条件

【答案】AD

【解析】

【分析】利用特称量词命题的否定求解选项A；利用不等式的性质确定选项B；利用全称量词命题的真假判

断选项C;利用一元二次方程根与系数的关系确定选项D.

【详解】对于A,命题?的否定是VxeR,x2+2x+2>0，故A正确；

对于B,由』>'可知由两种情况，①中〉0且V>x；@y<O<x,

xJ一一

1111

故一〉一不能推出x<y,由也不能推出一〉一，

xyxy

11

所以一〉一是x<V的既不充分也不必要条件，故B错误；

对于C,当x=0时，丁=0,故。错误；

4-4m>0

对于D,关于龙的方程X?-2x+机=0有一正一负根，则<c，解得加<0.

所以<0"是"关于龙的方程x2-2x+m=0有一正一负根"的充要条件，故D正确.

故选：AD.

10.已知[可表示不超过光的最大整数，例如：[2.1]=2,[-3.5]=-4,[0]=0,

A={y\y=[x]jX-1-1<x-3.2）,5={j|-10<y<m],下列说法正确的是（）

A.集合Z={-1,0,1,2,3}

B.集合A的非空真子集的个数是30个

C.若“ye4”是“ye8”的充分不必要条件，则机23

D.若4D5=0,则加<一2

【答案】CD

【解析】

【分析】A选项，根据定义判断；B选项，根据集合A中的元素个数计算；C选项，根据“yeZ”是

“ye8”的充分不必要条件得到A是8的真子集，然后求加的范围即可；D选项，分8=0和8W0两

种情况分析即可.

【详解】T.l<x<—1时，歹=[司=-2,-14》<0时，y=[x]=-l,

OWx<l时，j=[x]=O,lWx<2时，y=[x]=l,

24x<3时，y=[x]=2,3<x<3.2时，j=[x]=3,

.-.^={-2,-1,0,1,2,3},集合A的非空真子集有26—2=62个，所以A,B错误.

又若“ye4”是“ye8”的充分不必要条件，则A是8的真子集，所以机23,C正确.

若幺口8=0,则8=0时，m<-10；

m>-10

时，<=^>-10<m<-2,

m<2

综上加<一2,「.D正确.

故选：CD.

11.已知关于尤的不等式a(x-l)(x-2)+l〉0(a。0)的解集是(西,》2)(西</),则()

A.a<0B.Xj+x2=3C.x2-%1>1D.l<xl<x2<1

【答案】ABC

【解析】

【分析】依题意a<0,且为、是关于光的方程ax?—3ax+2a+l=0的两根，即可判断A、B,利用

韦达定理判断C,再结合函数与无轴的交点情况判断D.

【详解1因为关于尤的不等式a(x-1)0-2)+1>0(a70)的解集是(苞,超)(石<%),

所以。<0,且不、是关于龙的方程a(x—l)(x—2)+l=0即ax2—3ax+2a+i=。的两根，

所以玉+々=3,故A、B正确，

r2a+lc1

3^.西工2==2H,

aa

所以-X]=J(X]+“2)——4%]%2=J'?一412HJ=J1>1,故C正确；

又y=a(x-l)(x-2)(a<0)与善轴有两个交点(1,0),(2,0),

而y=a(x-l)(x-2)+l是将函数y=a(x-l)(x-2)向上平移一个单位得到，

所以y=a(x-l)(x-2)+l与x轴的交点横坐标X1<1,x2>2,

所以石<1<2</，故D错误；

故选：ABC

三.填空题(共3小题，每题5分，共15分.)

12.若命题“m/eR,(掰-1濡+(切-1)%+1VO”是假命题，则实数加的取值范围是.

【答案】[1,5)

【解析】

【分析】根据题意，即“VxeR,(机—1)/+(根—是真命题，结合二次函数的图象与性质对

〃z-1的符号分类讨论即可.

【详解】根据题意可得“VxeR,(m—1)/+(m是真命题，

当m—1=0,即加=1时，命题成立；

m-1>0

当加一IwO时，得(27、，解得1<加<5,

A=(m-1)-4(m-l)<0

综上，符合题意的实数加的取值范围是14加<5.

故答案为：[1,5).

13.若集合/斗辰2—2"+"1=0}=0,则实数a的取值范围是.

【答案】{a|a<0}

【解析】

【分析】

根据集合A=(x|ax2-2ax+a—1=0}=。，分。=0和。工0两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，

即可求解.

【详解】由题意，集合N={x,x2—2ax+a—l=o}="，

若0=0时，集合/={x|—l=o}=0,满足题意；

若aN0时，要使得集合/=卜,》2-2ax+a-l=（）}=。，

则满足A=（一2。）2-4a（。-1）=4。<0,解得a<0,

综上可得，实数a的取值范围是

故答案为：{a|a<0}.

【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合中元素的判定，其中解答中正确理解集合的表示方

法，结合一元二次方程的性质求解是解答的关键，属于基础题.

14.若关于光的不等式0<。/+为+。42（4>0）的解集为{久|—13久43},贝13a+6+2c的取值范围是

【答案】1,4j

【解析】

【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出。的

取值范围，最后3a+b+2c都表示成。的形式即可.

【详解】因为不等式04ax2+Z）x+c<2（a>0）的解集为{x|—1WxW3},

所以二次函数+bx+c的对称轴为直线x=l,

/(-1)=2a-b+c-2

且需满足｛),即<b=-2a

/(3=29a+3b+c=2,解得《

c——3a+2

J⑴20a+b+cNO

月f以a+b+c=Q—2cl—3。+220=>aS—,月f以a£

2

以3。+Z?+2c—3a—2。一6。+4=4—5。G

故答案为：—,4

【点睛】关键点睛：一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点的值，继而用

同一个变量来表示求解.

四.解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.已知命题：“X/x£R,使得X?—2加工+3加+10>0”为真命题.

(1)求实数切的取值的集合A；

(2)若非空集合8=卜1m+l〈xW2机—1｝且ZU8=Z,求实数切的取值范围.

【答案】⑴^=｛m|-2<m<5｝；

(2)2<m<3.

【解析】

【分析】(1)根据题意可得△<(),从而可求出实数加的取值范围；

(2)由ZU8=Z,得8口4,然后列不等式组求解即可.

【小问1详解】

因为命题："eR,使得V—2M+3机+10〉0"为真命题，

所以△=(—2机了―4(3机+10)<0,

即加2—3机一10<0，解得—2<m<5,

所以集合幺=｛福一2(根<5｝；

【小问2详解】

因为ZU8=Z,所以

因为Z=｛机|一2<相<5｝,非空集合8=｛x|m+1<x<2m-11,

2m-1>m+1

所以｛2加—1<5,解得24加<3,

m+1>-2

实数加的取值范围为24加<3.

16.己知定义在R上的函数〃⑴满足：①"1)=2；②Vx,yeR,均有

/z(x)—〃(x—y)=y(2x—力，函数g(x)=ox+ZJ,若曲线g(x)与〃(x)恰有一个交点且交点横坐标为

(1)求实数6的值及/(x)；

(2)判断函数/(x)在区间(0,+。)上的单调性，不用说明理由;

(3)已知0<玉<々，且/(石)=/(》2)，证明：x,+x2>2.

2x

【答案】⑴a=2,b=0,/(x)=^-

X+1

(2)/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+⑹上单调递减

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据题意，令》=_)；=1和^=工，得到“力=/+1,再由二次函数的性质，求得

a=2,6=0,得到g(x)=2x,进而得到/(x)的解析式；

(2)根据题意，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解；

(3)由/(石)=/(%)，化简得到石々=1，结合基本不等式，即可得证.

【小问1详解】

解：由均有〃(“一〃(X一#=>(2工一〉)且〃(1)=2,

令x=y=l,可得〃(0)=1,

令V=x,可得〃(力=炉+1.

因为曲线g(x)与h(久)恰有一个交点且交点横坐标为1,所以g(l)=a+6=2,

又因为曲线g(x)与伏久)恰有一个交点，所以必-办+1-6=0有两个相等的实数根，

贝必="-4(1-6)=0,

因为a+6=2,可得/-4a+4=0,解得a=2,6=0,

2x

所以g(x)=2x,贝=F~

【小问2详解】

函数/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.

设石，》26(0,+”)且不<々，

则/（9A/（西）=^^-

IJLIL（考+1乂4+1）

2xrx2（/一12）+2（12—11）2（%1%2-1）（^1%2）

其中(x；+1)(%；+1)〉0,再一工2<0

当国户2e(o,l)时，X[X2-l<0,则/(X2)-/(xJ>0,即/(》2)>/(七)，

此时函数/(X)在(0,1)上单调递增；

当西,》2e(l,+°°)时，-1>0,贝|]/(》2)-/(石)<0，即/(%)</(匹)，

此时函数/(x)在(1,+8)上单调递减，

所以函数/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.

【小问3详解】

证明：因为/(%)=二一-,

X十1

22

由/(石)=/(々)，可得曰^=三:，即x+，x+_L-

AA

X,+1X9+11'2'

xlx2

11

所以X1+—=》2+一，整理得西》2=1，

X]x2

又因为0<X]<X2，由基本不等式，可得X]+々〉2J%.=2.

17.某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为

尤元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案：

方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为。个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为6个，花费记为每；

方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为匕个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为。个，花费记为S2.

(其中y>x>4,b>a>4)

(1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；

(2)若a,b,x,y同时满足关系y==2aH---,求这两种购买方案花费的差值S最

a-4

小值(注：差值5=花费较大值-花费较小值).

【答案】(1)采用方案二；理由见解析

(2)24

【解析】

【分析】(1)列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解；

(2)根据题意，得到邑-百=(x-2j曰>(a+^^),利用换元法和基本不等式，即可求解.

”4

【小问1详解】

解：方案一的总费用为百=ax+勿(元)；

方案二的总费用为=云+即(元)，

由S2—S]=bx+ay-(ax+by)=a(y-x)+b(x-y)=(j-x)(a—b),

因为y>x>4,6>a>4,可得歹一x>0,a—方<0,所以(y-x)(a—6)<0,

即S2-E<0,所以S2<S],所以采用方案二，花费更少.

【小问2详解】

解：由⑴可知S]—S2=(y—x)(b-a)=(x-2V^^)[a+^^)

令/=Jx-4，则x=r+4，

所以x—2j^=r—2/+4=«—iy+323，当/=1时，即x=5时，等号成立，

又因为。>4,可得。一4>0,

44I4~

所以a+——=(a-4)+——+4>2.(a-4)x——+4=8,

a-4a-4Va-4

4

当且仅当a—4=——时，即a=6,b=14时，等号成立，

a-4

所以差S的最小值为3x8=24,当且仅当x=5j=8,a=6,b=14时，等号成立，

所以两种方案花费的差值S最小为24元.

18已知命题。：*eR,^x2+kx—3>0>命题g：*eR,x~+2kx+3A;+4>0.

(1)当命题P为假命题时，求实数左的取值范围；

(2)若命题2和q中有且仅有一个是假命题，求实数上的取值范围.

【答案】(1)Are(-12,0]

(2)左e(-12,-l]U(O,4)

【解析】

【分析】(1)由题意命题?的否定为真命题，利用二次型恒成立问题求解即可；

(2)由题可得命题)国为一真一假，利用判别式法求出命题q为真命题的范围，结合(1)列不等式组求

解即可.

【小问1详解】

命题?为假命题，则「P：VxeR,+丘一3<o为真命题.

得左〈0或％=0n左e（—12,0]；

【小问2详解】

由（1）若命题。为假命题，则左e（-12,0],

则若其为真命题，贝|」左右（-8,-12]“0,+。）；

若命题q为真命题，则△=4/-12左—1620=左e,-1]u[4,+。），

则若命题4为假命题，贝|左右（一1,4）.

又命题。和4中有且仅有一个是假命题，则命题。和4一真一假.

k€（一。,-12]o（0,+8）7

若夕真夕假，则9"八左£（0,4）；

左£（―8,—1]U[4,+8）/1

若夕假乡真，贝乂7z-八JL）=ke（“「I].

左£（一12四

综上，A;e（-12,-1]o（0,4）.

19.已知函数y=（m+1）》2-（机一l）x+机一1.

（1）若不等式（掰+1）必一（机一l）x+机一1<1的解集为R,求加的取值范围；

（2）解关于X的不等式（加+1）/-2mx+m-l20；

（3）若不等式（加+加-l）x+加-120对一切xe<x—>恒成立，求加的取值范围.

【答案】（1）m〈'-2不

3

加一1

（2）当加<—1时，解集为^xl<x<——4；

m+1

当机=一1吐解集为卜卜21};

m-1

当m>-1时，解集为----；或》21>.

m+1

(3)[1,+℃)

【解析】

【分析】(1)通过分类讨论切的值即可解出不等式；

(2)通过分类讨论切的范围即可解出不等式；

(3)利用分参法，设1-x=即可求出加的取值范围.

【小问1详解】

由题意，

当m+1=0,即m=