山东新高考联合质量测评2025届高三10月联考数学试题（含答案）

山东新高考联合质量测评10月联考试题

周二数学

本卷满分150分,考试时间120分钟

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置。

2.选择题答案必须使用2B铅笔(按填涂样例)正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑

色签字笔书写，绘图时，可用2B铅笔作答，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题

卷上答题无效。保持卡面清洁，不折叠、不破损。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.

1.已知集合A==J2x—1卜3=｛y[y=2x+l,xeR｝,则4口《3=()

A.1x|x>l|B.<xx<—C.<x—<x<1>D.<x0<x<—>

2J12,

2.在等差数列｛a.｝中，已知勾=一9,a3+o5=-9,a^n_x=9,贝!]”=()

A.7B.8C.9D.10

ax-sinx,x<0,

3.“。21”是“函数/(x)=,在R上单调递增”的()

x+ax-a+2,x>0

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知平行六面体A3CD—4与。12的各棱长均为6，NAAB=NAAD=ND43=6O°,贝”苑卜

()

A.6瓜B.6A/5C.6A/3D.6V2

5.已知无穷等比数列｛4｝的公比为q,其中@<1,其前"项和为S”，下列条件中，能使得

3s〃〈卫(”cN*)恒成立的是()

11II

A.〃]=],^=—B.二一，q=—

123

1I11

C.q=——D.a1=一万，Q~~

6.已知函数/(x)=x+^

,若正数a,6满足。+匕=1,则/(a)/(6)的最小值是()

X

1725

A.2B.—C.4D.—

44

71

7.在直四棱柱ABC。—AB|G2中，ZBAD=~,AB=AD==2,点Q在侧面DCG2内，且

4Q=S，则点。轨迹的长度为()

，兀c兀一2兀一4兀

A.一B.-C.—D.—

6333

8.若过点(1,加)可以作y=(x+l)e]的三条切线，则实数小的取值范围是()

A.(-4e-2,0)B.(—Ge飞。)C.(-6e-3,2e)D.(e,2e)

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分

分，不选或有选错的得0分.

9已知lga〉lg],则下列结论成立的是()

bb+2024

A.2a-b>1B.a+->b+-C.—>---------D--.7ta~b>3a~b

aba〃+2024

10.已知定义在(一co,0)U(0,+8)上的函数/(%)，满足/(孙)+2=/(%)+/(y),且当1>1时，

/(x)>2,则()

A./(-l)=lB./(x)为偶函数

C.//(2024)>/(2023)D.若/(x+2)<2,则—3<x<—1

IL四面体ABC。中，AC=BC=AB=6,CD=10,BD=8,四面体ABC。外接球的表面积记为S,

则()

A.当四面体A2C£>体积最大时，S=112TTB.ADLBC

C.当AD=6时，S="羽兀D.S可以是400兀

11

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

仅已知八叫/(x二+2心)+l。,,x<则0十(万11卜、

13.已知圆柱的底面直径为2,其轴截面是矩形ABC。，A为底面弧AB上任一点，若面积

的最大值为则圆柱。。的母线长为.

14.已知有穷数列｛4｝共加项(m>3),数列｛4｝中任意连续三项%,aM,4心。=1,2,3,…)，满足如下条

件：

(1)至少有两项相等；

(2)q.+aM>ai+2,■+ai+2>aM,aM+ai+2>■恒成立;

（3）以q,aM,勾+2为边长的三角形两两均不全等.

若4c｛1,2,3,4,5｝（〃=1,2,…，机），则m的最大值为.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的

文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（13分）

0Q

已知函数/（X）是定义在R上的偶函数，当xWO时，/（%）=--3\且

⑴求函数/（x）的解析式；

（2）是否存在正实数如n,使得当时，函数/（x）的值域为5-5,5-金。若存在，求出

m,“的值；若不存在，请说明理由.

16.（15分）

如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为梯形，AB//CD,AB1BC,CD=2AB=6,

AC=SC,ASAB为等边三角形.

（1）证明：平面SA&

（2）若AD=6,求平面SAC与平面所成角的余弦值.

17.（15分）

已知数列｛4｝,抄,｝,｛&｝的首项均为1,；a,+i为,c”的等差中项,且2+2。,+1—2c“=0.

⑴若数列也｝为单调递增的等比数列，且求｛4｝的通项公式；

（2）若数列也｝的前“项和S“=/,数列｛cj的前“项和为7；,是否存在正整数加使7；〉^^对

〃eN*恒成立？若存在，求出根的最大值；若不存在，请说明理由.

18.（17分）

如图（1）,已知抛物线E：/=2y的焦点为F，准线为/,过点歹的动直线加与E交于A,B两点（其

中点A在第一象限），以为直径的圆与准线/相切于点C,。为弦上任意一点，现将△AC3沿CD

折成直二面角A'—CD—JB,如图（2）.

A

m

(1)(2)

(1)证明：cosZA'CB=cosZA'CD-cosABCD；

(2)当NACB最小时，

①求A,3两点间的最小距离；

②当4,3两点间的距离最小时，在三棱锥A-BCD内部放一圆柱，使圆柱底面在面BCD上，求圆柱

体积的最大值.

19.(17分)

在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个重要的不动点定理，它可以应用到有限维空间，并且是构

成一般不动点定理的基石.简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数y=/(x),xeD,若存在

9

2

xoeD,使得/(x0)=x0,则称不是函数y=f(x)的不动点.已知函数f(x)=31nx+ax-6x+—.

3

(1)若函数g(x)=/(%)+7%-5只有一•个不动点，求实数a的取值范围；

(2)当a=|时，数列｛4｝满足：%=|,4+|=七］+1.

2

证明：对任意的,k+---l-|an-1|<j.

山东新高考联合质量测评10月联考（B版）所以益=（0,1■，苧）,衣=（3痣,3,0）,茄=（3痣,一3,0）,

...............................................................................12分

高三数学参考答案及评分标准

设平面SAC的一个法向量为m=（乃，“，4），贝•心=2山+亍牛=°

1.C2.A3.B4.A5.C6.D7.C8.B9.AD10.BC11,ACD［AC•八1=3V^zi+3y1=0,

12.213.V214.16令孙=1,得平面SAC的一个法向量为m=（1,一痣,1）,....................................13分

设平面SAD的一个法向量为〃2=（12,山，之2）,

15.解：(1)因为“①)是偶函数，所以/(I)=/(-1)=^T-3-'=3«-y=1-

贝I］1布."2=*.+竽9=°'

解得Q=1,......................................................................................................................2分

所以当时，/（1）=*—3"，.................................................................................3分［AD•如=3痣£2-3）2=0,

令七=1,得平面SAD的一个法向量为％2=（1,石,一1）,....................................14分

当1＞0时，可得一xVO,则/（一］）=止一3一，=3工一3一=/（力），..........4分

所以平面SAC与平面SAD所成角的余弦值为cos6=卫产叫=与.……15分

MlI•5215

所以函数/（£）的解析式为,「二.........................5分17.解：（1）由题意,a】=6i=ci=l,

数列｛"｝为单调递增的等比数列，仇+瓦/=解得q=2或｝（舍），

（2）存在.1■dq,q=

假设存在正实数也⑶使得当我［加,时，函数小）的值域为［5—亲,5一点，所以"=2"T,..................................................................................................................2分

1一匕=即午「所以数列｛｝为等比数列，的=圭，........分

因为当1＞0时，/（久）=3，一3一%所以/（%）在%£［小汇|上单调递增,........6分2”+g—2“0,Jc.4

7

m)=5

世一±“"+以=%+1即an+1—an=-^x，

所以4:

心)=5一(

所以心2时，由叠加法〃”="1+1+；+上-|---\--^2=-^―„_2»........6分

444ooA4

所以根，〃为方程小）=5一京的两个根，即3工-3r=5一京的两个根，......8分当％=1时,Ql=l符合，

即（3工产一5・3工+6=0的两根，整理得31=2或3”=3,........................................10分故/=巧一声下节......................................................7分

解得N=log32或1=1,..............................................................................................12分

(2)由S„=n2得，时,6”=1一(n—l)2=2n—l,n=l时，d=1满足上式，所以

又0＜根＜〃，所以m=log2,n=l,

3bn=2n—\,......................................................................................................................9分

所以存在m=log32,〃=l,使得当力£［相，口时，函数/（力）的值域为15—*,5—1•］.

所以(2九+3)的+1—(2/2——1)c”=0,即^^=，"上；,

CLn-T6

.......................................................................................................................................13分n

3

所以G2时，由叠乘法c„=ci

16.（1）证明：取SA中点E,连结BE,CE,则SA，BE,SA_LCE,且BEDCE=E，所以SA(2〃一1)(2%+1)'

，平面所以分

BCE,SA_LBC,.........................................................................................3当7?=1时,Ci1符合,

因为且SAp|AB=A，所以BC_L平面SAB.............................................6分3

所以G11分

（2）解：取AB中点O,以OS为z轴,OB为y轴，过O平行BC的线为力轴，建立如图(2/?-1)(2/?+1)=1■（高一普＞

所示坐标系.因为AD=CD=6,可得BC=3痣，所以AC=6,所,3113_1—占

TT++­••+因

以△AC。为等边三角形，...........................8分"=T2〃一12〃+1~2

3

由AB=3,CO=6,得以下点的坐标0（0,0,0）,S（0,0,^^），为T”+i—T=c+i=＞0,所以数列｛，,｝单调递增，所以（T.）min=Tl

nn(2"+1)(2%+3)

Cl=l,13分

A（0,-1-,0）,C（373,y,0）,D（3V3...........10分

因为对任意正整数n均有7\〉恐成立，所以其VI,解得徵＜2025,因为aGN*,

Z0Z5ZOZ5

所以Mmax=2024,所以m的最大值为2024..............................................................15分

高三数学参考答案第1页（共4页）高三数学参考答案第2页（共4页）

18.(1)证明：在△A'CD内作A'O'_LC。于点O',因为A'-CD-B为直二面角，所以面当0</<2萨时"'(r)>0,y(r)单调递增，当2萨萨时0)<0"(厂)

A'C。，面BCD,所以平面BCD,..................................................................2分

过。作OfE±BC于点E,连接A'E,所以A'E^BC,所以cosZAzCB=林,单调递减，所以当〃=之券时，圆柱体积的最大值为丝盛............17分

cosZA'CD=然，所以cosZA/CB=O

cosZBCD=^1,cosNA'CDcos/BCD19.(1)解:g(N)=/(N)+72—^=31ni+G+i+3恰有一个不动点，

.........................................................................................................................................4分等价于方程g(K)=R在(0,+8)内只有一个根，

即3(l+ln^=-ax在(0,+8)内只有一个根，

(2)解：①因为AC_LBC,所以ZACD=y-ZBCD,又NA'C。=ZACD，所以cos

等价于"I：①=一■在(0,+8)内只有一个根，令无(1)=1+》”,

ZA/CB=cosZBCDcos(y-ZBCD)=ysin2ZBCD，所以当ZBCD=年时,ZAZ

等价于力(N)=1+1厂与)=■有且仅有一个交点,.......................2分

CB最小..................................................................5分x6

j、x.-2x(l+lnx)—1—21nx,/、八-4

过点A作AMJ_CD,垂足为M,连接BM,在RtAACM中，|AM|=*\AC\=h(x)=-----------4---------=--------3------，h(z力)=0,K=e至,

当iG(0,eT)时，，CZ)>0,MN)在(0,eT)上单调递增，

\A'M\,|CM|=考|人。|,在△BCM中，由余弦定理得\BM\2=|BC|2+y|AC|2

当RG(eT,+8)时,，(久)〈0,无(1)在(e+,+8)上单调递减，............5分

-2X^|AC|^|BC|=|BC|2+y|AC|2-\AC\|BC|,...............................6分所以h(力)max=4(eT)=5，

因为AM±CD,所以AfM±CD，因为面A'CDJ_面BCD,且面AfCD0面BCD=CD,所以—或—]&。，即a=—(e,或a>0.....................................................7分

所以A'M上面BCD.又因为BMU面BCD,所以AZM±BM.所以在RtAAzBM中，由

(2)证明：当。=|■时，先证明当1>1时,ln1〈,(R一1),

勾股定理得\ArB\2=\BM\2+|AM|2,即|AZB|2=|BC|2+y\AC\2-

设"l)=ln.一,"(%)=!―'=23]<0在(1,+8)上恒成立，所以

f%2

|AC||8。|+十|人。|2,所以|AB|=|BC||AC|-|AC||BC|?..........8分ZLXLLX

72(N)在(1,+8)上单调递减，当1>1时,"])<"1)=0,

因为443。为直角三角形，则有|人引2=必。|2+|8。|2,由均值不等式得必。|2+

即当久>1时，ln2<—(1一1),.................................................................................9分

|BCp>2\AC\|BC|,当且仅当\AC\=|BC|时取等号，所以\AfB\2=\AB\2—

|AC||BC|>|AB|2--^-^=-^1-^.................................................................9分则当£>1W.yln薪吟+/R号背3

2

1r3

由题知焦点F(0，直线AB可设为了一=归x,即设A(J;I,J/I),夙亚，——Inx~\-----1-----

则-----------------K—(^―1),即:^7<丁(1一]),

y2)，联立方程组消y得力—2kx—1=0,所以|AB\=yi+y2+l=l(Ri+£2)+2=x46久4

2(%2+1),所以|4即2>吗上=2(/+/,所以当k=0时|A'BI取最小值，最小4"“'—,.................................................................11分

6a„44

若%>1,则%+1>1,因此，若存在正整数N,使得“N&I,则防一1&1,从而访-2&1，

值为招..................................................................11分

重复这一过程有限次后可得Q1&1,与。1=|■矛盾，故包>1,...........13分

②由①知BD=CD=1=A'D,则三角形BC。内切圆半径R=々萨，设圆柱底面半径

由于%>1,a„>1,所以—1>0,%+i—1>0,故|a”+i—1|<-j-|<2„—1|,故

为厂，高为无，则11卜=——，则h=l一(2)r,................................................12分+1

12一—

\an—l|<-^\an-1—l|<p-j&„-2-1|—1|=y(Y)，所以对任意"

-2-

-

所以圆柱体积V=TC,无=冗产[1-(2+科)厂],..............................13分GN*,|<21—l|+|tz21H------F\a„—lI+H------F4-x

乙乙a4乙

令/(r)=r2-(2+72)r3(0<r<^^),/(r)=2r-3(2+72)r2=r[2-3(2+72)r]

=0,得厂=2活,..........................................................................................................14分

高三数学参考答案第3页(共4页)高三数学参考答案第4页(共4页)

B版

山东新高考联合质量测评10月联考试题

高三数学2024.10

njr>

本卷满分150分，考试时间,120分钟

注意事项：

1.答题前，・考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置。

2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂;非选择题答案必须使用0.5毫米

黑色签字笔书写，绘图时,'可用,2B铅笔作答，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试

题卷上答题无效。保持卡面清洁，不折叠、不破损。

一、单项选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

辆有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.

1.已知集合A={_r|y=y/2x—1},B={y|y=2，+l,2£R},则AQCRB=

A.{2|]31}B.{hC.D.6

2.在等差数列{a”）中，已知©=-9,。3+痣=—9,。2,-1=9,则n=

A.7B.8C.9D.10

ax—sinz<0,

3.“心1”是“函裂f（i）=%在R上单调递增”的

x2~\~ax—a+2,彳>0

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知平行六面体ABCD—AiB】GDi的各棱长均为6,/AiAB=NA】AD=NDAB=

出60°,贝！||温|=

A.6#B.675C.673D.672

5.已知无穷等比数列｛4｝的公比为q,其中|q|VL其前〃项和为S“，下列条件中，能使得

3s“〈答（"GN，）恒成立的是

i-q

彝A.ai=],q=2b.aj—y

料

C.ai=—l,g=—D.a1=一/,g=/

高三数学试题第1页（共4页）

6.已知函数f(N)=x+J,若正数满足a+6=l,则的最小值是

A.2B丹C.4常

7.在直四棱柱ABCD—AiBiGDi中，NBA[D=*,AB=AD=AAi=2,点Q在侧面

0

DCCiDi内，且AiQ=«■，则点Q轨迹的长度为

A;*B.*C.孕D.学

6333

8.若过点(l,m)可以作y=(z+De，的三条切线，则实数7n的取值范围是

A.(-4e-2,0)B.(-6e-3,0)C.(-6e-3,2e)D.(e,2e)

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部

分分，不选或有选错的得0分.

9.已知lga>lg6,则下列结论成立的是

A.2°-6>1B,a+—>6+-1-C.—D.Ka~b>3a~b

abaa+2024

10.已知定义在(一8,0)|J(0,+8)上的函数f(H),满足/•(工“+2=八工)+，3),且当

工>1时,f(z)>2,则

A./(-1)=1BJ(z)为偶函数

C.1(2