双变量方程类存在性、任意性问题-高考数学复习压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题11双变量方程类存在性、任意性问题

【方法点拨】

解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转

化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推

理素养和良好的数学思维品质.

若於)，g(x)的值域分别为A,B,则有：

①\/为££),3%2eE,使得於i)=g(%2)成立，则

②三次16。，3x2^E,使得人为)招(%2)成立，则APIBW0.

【典型题示例】

例1已知函数/(x)=—炉―6九—3：,g(x)=£_±^实数加，〃满足加<〃<0,若

ex

e[m,n\,叫e(0,+oo),使得/&)=g(%)成立，则〃一机的最大值为()

A4B.2石C.44D.2亚

【答案】A

xx

(e、e(x-\\

【解析】g'(x)=—+1'=2，则当0<x<l时，g'(x)<0；当龙〉1时，

、ex/ex

2

g1X)>0,,g(x)n,n=g(l)=2./(x)=-(x+3)+6<6,作函数y=/(x)的图象

如图所示，当/(司=2时，方程两根分别为一5和—1,贝ij〃一机的最大值为—1—(—5)=4.

故选A.

轴对称的点，则实数a的取值范围是.

【答案】[1,e2-2]

【解析】函数gCr)=a-%2&烂e,e为自然对数的底数)

与/z(x)=21nx的图象上存在关于x轴对称的点，等价于a—1二一21nx在e上有解，即

—〃=21nx—x2在pe上有解.

设危)=21nx—x2,%£e,

.2(1+x)(1—x)

则/a)=-------------------------.

.../(x)=0在，，e上有唯一的零点x=l.

故人尤)在仔，1)上单调递增，在(1,e]上单调递减.

•\Ar)max=AD=_l，

又娘=-2—E，y(e)=2-e2,知大0)C娟.

函数危)的值域为[2—e2,-1].

故方程一a=21nx—%2在：，e上有解等价于2—62三一七一1,即1±42—2,

实数a的取值范围是[1,e2-2].

例3已知e为自然对数的底数，若对任意的xe1,1，总存在唯一的ye[—1,2],使

得Inx—x+1+a=Ve>成立，则实数a的取值范围是.

【答案】4e2

【分析】令/(x)=lnx—x+l+a,xe-,1,1,2].利用导数可求前

者的值域和后者的单调性，最后根据方程的解的唯一性得到实数。的取值范围.

【解析】令/(x)=lnx-x+l+a,xe-,1,g(x)=xIex,xG[-1,2].

当时，—l=F>0,故/(x)在为增函数，

故/(x)在-,1上的值域为a--,a

又当尤e(—1,0)时，g<x)=(x2+2x)e”<0,当xe(0,2)时,g'［x)=^x2+2xjex>0,

所以g(x)在［-1,0］上为减函数，在［0,2］上为增函数.

令/=/(%),因为对任意的xe1,1，总存在唯一的ye［—1,2］,使得

lnx-x+l+a=y%>成立,

故对直线s=,与函数s=g(y)的图象有且只要一个公共点，

而g(—1)=：,g⑼=0,g⑵=4e?,且g(x)在［-1,0］上为减函数，在［0,2］上为增函数,

f11

故一</V4e~,所以1ee,即一<a〈4e2.

e［a<4e2e

故答案为：f1,4e2.

1317「

-X--X4--,-<X、1,

例4已知函数/(x)=<,3442g(x)=e"+QX—2(QWR),若存在石,

—,0WxWL

〔362

%2e［0,l］,使得“而)=8(々)成立，则实数a的取值范围是.

【答案】Q22-e

【解析】当时，〃尤)单调递减，0W〃x)wL

26

当3cxW1时，尸(同=尤2成立,

/(X)单调递增,

63

所以“X)的值域为4=0,1

设g(x)的值域为5,因为存在玉，入2日。』使得/a)=g(%2)成立，

所以5ng(x)=e"+办—2,=e+a

①a，-1,任意xw[0,l],Q(x)20成立,g(%)在[0,1]单调递增,

所以g(无)皿=g(°)=T，g(xLx=g6=e+a-2,B=[-l,e+a-2].

因为BPIAW。，所以e+a—2,0,a，2—e；

②aW-e,任意尤E[0,1],g'(x)WO成立，g(%)在[0,1]单调递减，

所以8(4*=8。)=6+。-2,g(x)01ax=g(O)=-l,B=[e+a-2,-l],

则3nA=0,不合题意；

(3)-e<6Z<-1,令g'(x)=e*+〃=0,x=ln(-a),

g(%)在(O,ln(-tz))递减,(in(-〃)」)递增,

g(x)min

所以=g(ln(-a))=-a-2+aln(-a),g(x)11Mx=max{g(0),g⑴},.

又g(0)=—l<0,g6=e+Q—2〈0,

则3nA=0,不合题意.

综上所述，。三2-e.

点评：

存在性和恒成立混合问题注意理解题意，等量关系转化为值域的关系.

例5已知人x)是定义在[—2,2]上的奇函数，且当xG(0,2]时，/(x)=2工一1,函数g(x)=

^~2x+m,且如果对于任意的尤id[—2,2],都存在尤2G[—2,2],使得g(X2)=/(xi),

则实数m的取值范围是.

【答案】[-5,-2]

【分析】易得“力目-3,3],g(x)e[m-l,/n+8],若对于％e[-2,2],训目一2,2],使得

g(9)=/(不)，只需/(X)的值域包含于g(X)的值域即可，即〃L1<—3且m+823,

解得一5V2.

【解析】尤6(0,2]时，人r)=2，-1为增函数，值域为(0,3],

因为人x)是定义在[-2,2]上的奇函数，所以/U)在[-2,2]上的值域为[—3,3],

函数g(x)三x2—2x+m在—2,2]上的值域为防一1,m+8].

因为对任意的制6[—2,2],都存在检6[—2,2],使得g(X2)=/(xi),

所以汽尤)在[—2,2]上的值域是g(x)=/—2x+%在xd[—2,2]上的值域的子集，

..,,fm+8>3

所以《，解得—5<7〃<一2

即实数机的取值范围是[—5,-2].

点评:

考查函数的单调性、奇偶性、最值、值域，以及恒成立，存在性问题，关键是理解题意，

转化为值域之间的关系.

<X2+2X~1j_

?，x、一亍

例6已知函数/）=<i+x]^（x）=—X2—2x—2.若存在使得

logi2，%>一],

<2

1〃）+gS）=0,则实数b的取值范围是.

【答案】（—2,0）

【解析】当立gI时，危2r—1

此时加）=1+2^r—^1=1+，?±1在（/一8,一1女~|上单调递减，易求得加）£[—7,1）；

当X〉一3时，y（x）=log1

2

此时段）在（一/+°°）上单调递减，易求得汽x）e（-8,2）,

的值域为（-8,2）.

故存在aGR,使得大a）+g（6）=0n—g（b）=/（a）G（—8,2）^&2+2&+2<2^>Z?e（-2,0）.

jfacosx+2,x>0

例7已知函数/（无）=2-i,g（x）=<2-C（aeR）,若对任意%e[l,+oo）,

x"+2a,x<（J

总存在与€尺，使/（再）=8（%）,则实数a的取值范围是（）

A.B.（|收）

C.D.U5,2

【答案】C

【解析】对任意为e[l,+8）,则/（x）=2"T22°=l,即函数/（七）的值域为[1,+8）,

若对任意石e[l，+°o）,总存在々6尺，使，（xP=g（X2），

设函数g（x）的值域为4则满足[1，+8）UA,即可，

当犬<0时，函数g（%）=%2+2。为减函数，则此时gCx）>2a,

当xNO时，g（-X）=acosx+2G[2-14z|,2+1tz|],

①当2〃<1时，（红色曲线），即。〈工时，满足条件U，+8）qA,

2

②当42—时，止匕时2〃21,要使口，+8）qA成立，

2

则此时g（%）=acosx+2G[2-a,2+a],

2-a<\a>l

此时满足（蓝色曲线）即《,得K2,

2a<2+aa<2

例8若存在正数使得（3/y-x）（ln尤-lny）-〃y=0,其中e为自然对数的底数，则

实数。的取值范围为.

【答案】a<4e2

【分析】对（3/y—©（In尤-Iny）-砂=0进行“完全分参”，两边同时除以y、移项得

«=（3e2--）ln-,令土=/,问题转化为存在正数r,使得a=（3e2T）hu成立，再设

yyy

f（x）=（3e2-x）lnx,只需aw/（x）的值域.

【解析】对（3/》一%）（1口1-111丁）-砂=0两边同时除以丁、移项得。=（3/一二）ln2,

yy

令土=7,问题转化为存在正数f,使得。=（3e2T）lnr成立，

y

设/(x)=(3/-x)lnx,只需awf(x)的值域.

1o-2

ff(x)=-]nx+(3e2-x)—=-lnx-ld----

xx

猜根，往与e的方向猜,可得广往，—!!^-1+岑=0

e

3/13e2

再设g(x)=—lnx-ld----，贝Ug\x)=-------F<0

XXX

故g(x)在区间(0,+oo)单减

2

所以y'(X)=0在区间(0,+oo)只有一个零点为e

且当xf+co时，f'(x)<0

故有当xe(0,e2],/(x)>0,/(无)单增；当尤e[/,+oo),尸(尤)40,/(x)单减

故当x=e2时，/0)取得极大值也就是最大值为73)=(302-02)11102=402,无最小值

故a〈4e2即为所求.

【巩固训练】

191

1.已知函数«X)=3X2+2X—/—2Q,g(x)=不一九一g，若对任意加£[-1,1],总存在％2£[0,2],

使得|电)=)?(X2)成立，则实数〃的取值范围是.

2.已知函数危)=2%,%£0,g,函数g(x)=fcv—2Z+2(*0),%£0,与，若存在阳£0,

-11

及12金[0,司，使得加1)=小2)成立，求实数上的取值范围.

3.已知函数危)=#+x,g(x)=ln(x+l)一〃,若存在xi,松£[0,2],使得/(xD=g(%2),求

实数〃的取值范围.

—x~\~1

4已知函数本)=-x=]-(x22),g(x)=^(a>l,x22).

(1)若mxoG[2,+8),使式尤o)=机成立，则实数机的取值范围为；

(2)若\/修昼[2,+co),3x2e[2,+℃),使得yUi)=g(尤2),则实数。的取值范围为

5.已知函数/(力=一3；1,g(x)=x2-2x,若存在实数ae(-co,-2),使得f(a)+gS)=。

成立，则实数b的取值范围是o

x2+2x-1,1

--------2------'x--7

6.已知函数[,gQAd-Zv-Z,若存在aGR,使得/(a)+g(b)=O,

log1(-^-)，x〉F

.222

则实数b的取值范围是.

7.若Vx1G(0,+8),总玉2«2,+0。)使得%],一4一111(%1马一%)=0成立，则实数a的取

值范围是.

【答案或提示】

1.【答案】[-2,0]

【解析】於)=3f+2x—a(a+2),则，(x)=6x+2,由/(x)=0得x=-g.

当xC-1,一§时，f(x)<0;当无e(一1时，f(x)>0,

所以[/(x)]min=/(—g)=—a1—2a—1.

-11

又由题意可知，y(x)的值域是1―g,可的子集，

所以14―1户6,—a2—2a—川)W6,

解得实数a的取值范围是[-2,0].

2.【答案】「匕1，431

-3々~|

【解析】由题意，易得函数八x)的值域为[