贵州省遵义市2025届高三第一次适应性考试数学试卷（含答案解析）

遵义市2025届高三年级第一次适应性考试试卷数学（满分：150分，时间：120分钟）注意事项：1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码.2.选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效.第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上.1.已知复数，，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的模和共轭复数的概念即可判断.【详解】对A，，，则，故A正确；对B，，故B错误；对C，显然，故C错误；对D，，则，故D错误.故选：A.2.若奇函数是定义在上的增函数，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】对于A，由函数定义域即可判断；对于B，先得函数定义域，接着利用导数工具得函数fx单调性，再由得函数奇偶性即可判断B；对于C，由函数的奇偶性即可判断；对于D，由即可判断得解.【详解】由题函数fx是定义域为的奇函数，且在定义域上单调递增.对于A，定义域为，故A错误；对于B，函数fx定义域为，因为函数和是定义在上的增函数，故函数fx是定义在上的增函数，又，故函数fx为奇函数，故B正确；对于C，函数fx定义域为，，故函数fx对于D，因为，故函数fx在定义域上不是增函数，故D错误.故选：B.3.已知集合，，若集合且，则的子集的个数为（）A.8 B.16 C.32 D.64【答案】C【解析】【分析】首先求集合中的元素，再根据集合的元素个数，代入公式，即可求解.【详解】由条件可知，，，，，，，所以集合，集合的子集的个数为个.故选：C4.如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为，斜边为（、、均为正数）.则，”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（）A.9 B.18 C.27 D.36【答案】B【解析】【分析】根据题意可得，结合基本不等式即可得的最小值.【详解】由题可知，则，即，所以，当且仅当时，等号成立又“赵爽弦图”的面积为，所以当时，“赵爽弦图”的最小面积为.故选：B.5.设，，.则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指对互化，结合对数函数的单调性可比较大小，根据对数函数的单调性，结合对数的运算即可比较的大小，从而得结论.【详解】因为，所以，又因为函数在x∈0,+∞上递增，所以，即，因为函数在x∈0,+∞所以，则，即，即，综上可得：.故选：D.6.已知函数，则下列选项正确的是（）A.的图象恒过点 B.的图象必与轴有两个不同的交点C.的最小值可能为 D.的最小值可能为【答案】D【解析】【分析】举反例求与判别式可判断AB，求函数的最小值，再判断范围，即可判断CD.【详解】A.当时，，所以的图象不恒过点，故A错误；B.当时，，此时的图象必与轴只有1个交点，故B错误；CD.，则的最小值为，所以函数的最小值不可能是，可能为，故C错误，D正确.故选：D.7.若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题得，接着由已知结合两角差的正弦公式即可计算求解.【详解】由题，所以.故选：C.8.在矩形中，，，为的中点，将和分别沿，折起，使点与点重合，记为点，若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先判断两两互相垂直，再补体成为长方体，利用长方体和四棱锥是同一个外接球，即可求半径，求球的表面积.【详解】依题意，，，，平面，则平面，，，即有，则，由此可将三棱锥补成以为相邻三条棱的长方体，若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则该长方体的各顶点亦在球的球面上，设球的半径为，则该长方体的体对角线长为，所以球的表面积.故选：B二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，函数，下列选项正确的是（）A.方程无实数解B.方程有且仅有两个解C.方程有且仅有三个解D方程有且仅有四个解【答案】BC【解析】【分析】对于A，由题等价于gx=0，解方程gx=0即可判断A；对于B，直接解方程即可得判断；对于C，直接解方程即可得解判断；对于D，由题等价于，解方程即可得解.【详解】对于A，由题可知，故等价于gx=0，gx=0即，故方程有实数解，故A错误；对于B，方程即，故，解得，故B正确；对于C，方程即，故解方程得或，故C正确；对于D，因为，方程等价于，故由函数得方程的解为，故D错误.故选：BC10.数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，又称黄金分割该数列，从第三项开始，各项等于其前相邻两项之和，即（），则下列选项正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据递推公式进行验证．【详解】由已知，A正确；，B正确；，C错；，D正确，故选：ABD．11.已知函数，则下列选项正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数的图象为中心对称图形C.函数的图象关于直线对称D.函数的值域为【答案】ACD【解析】【分析】用反证法证明最小正周期为，从而判断A，对周期函数，其图象有对称中心，则在一个周期内必有对称中心，最低点到相邻的最高点（如果有）连线段中点就是对称中心，由此结合反证法判断B，由判断C，利用周期性，只要在一个周期内考虑去绝对值符号后求得最值可得值域，从而判断D．【详解】选项A，若最小正周期，首先，时，，，时，，，所以，设，，在上是增函数，又时，，时，，因此，所以不可能有，即不可能是的周期，又，所以是函数的一个周期，综上最小正周期是，A正确；选项B，由此讨论知是函数的最小值，时，，在时是递增函数，在上递增，在上递减，又是以为周期的周期函数，在上递增，在上递减，所以在上递增，在上递减，其中，假设的图象有对称中心，则上也有一个对称中心，而在上函数图象的最高点是，最低点是，因此对称中心应为，而，，因此点不可能是图象的对称中心，所以的图象没有对称中心，B错；选项C，，所以函数图象关于直线对称，C正确；选项D，由选项A知，的周期是，而在上的值域是，所以函数的值域为，D正确．故选：ACD．【点睛】方法点睛：含有绝对值的函数问题有一定的难度，解决方法是根据绝对值的定义或者用换元法去掉绝对值符号，本题中函数为周期函数，因此可有一个周期内进行讨论，从而容易去掉绝对值符号，把函数化简．在与同时出现时，设，用换元法变换函数式进行研究是常用方法．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.，关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据二次函数的性质得，即可求解.【详解】由题意可知，，得.故答案为：1,+13.在多项式的展开式中，的系数为32，则______.【答案】【解析】【分析】首先展开得，再分别计算两部分含的系数，即可求解.【详解】，中含的系数为，中含的系数为，所以中的系数为，所以，得故答案为：14.定义在上的偶函数满足，则______；______.【答案】①.②.【解析】【分析】在中令即可得f1的值；结合函数的偶函数性质与，换元转化可得函数是周期为的函数，赋值求解的值，从而求得的值，由周期即可得所求.【详解】因为，令可得，，所以；函数为偶函数，则，因为，所以，则，又，所以，则有，因此可得，故函数是周期为的函数；在中，令可得，又，所以，令可得，又，所以，则，所以.故答案为：；.第Ⅱ卷四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知公差为2的等差数列和公比为2的等比数列满足：，.（1）求和；（2）求数列的前项和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据等差等比数列求结合已知条件件求数列的通项公式即可；（2）利用错位相减法求出数列的和．【小问1详解】设等差数列an的公差为，则，又，所以，即，所以；设等比数列bn的公差为，则，，由，得，所以【小问2详解】．，．两式相减可得：，．16.记的内角，，对应的三边分别为，，，且.（1）求；（2）若，求的周长的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换可得，结合角度范围与正弦函数值即可得角的大小；（2）利用正弦定理边化角可得，结合三角恒等变换将周长转化为关于角的正弦型函数，利用正弦型函数的性质即可得的周长的取值范围.【小问1详解】因为，所以，即，因为B∈0,π，所以，即；【小问2详解】因为，，由正弦定理得，则，又，则，且，所以因为，所以，则，所以，综上可知，三角形的周长的取值范围是．17.已知4台车床加工的同一种零件共计1000件，其中第一台加工200件，次品率为5%；第二台加工250件，次品率为6%；第三台加工250件，次品率为8%；第四台加工300件，次品率为10%.现从这1000件零件中任取一个零件.（1）求取到的零件是次品的概率；（2）若取到的零件是次品，求它是第（其中）台车床加工的零件的概率.【答案】（1）（2）分别为．【解析】【分析】（1）用样本估计总体，由所有次品总数除以1000即可得；（2）求出各台机床产生的次品数，分别除以总次品数即可得．小问1详解】由题意所求概率为；【小问2详解】由题意第一台车床加工的零件中次品数约为，第二台车床加工的零件中次品数约为，第三台车床加工的零件中次品数约为，第四台车床加工的零件中次品数约为，，所以取到的零件是次品，它是第一台车床加工的零件的概率为，它是第二台车床加工的零件的概率为，它是第三台车床加工的零件的概率为，它是第四台车床加工的零件的概率为．18.如图，现用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，所得截面是一个椭圆，在平面上建立如图所示的平面直角坐标系.若圆柱的底面圆的半径为2，.（1）求椭圆的标准方程；（2）设Px0,y0为椭圆上任意一点，为椭圆在点处的切线.设椭圆的两个焦点分别为，，它们到切线的距离分别为，，试判断是否为定值？若是，求其定值；若不是，说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意得，求出即可得解；（2）分直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况去分析求解即可，对于直线斜率存在且不为0情况，先设切线方程，接着联立椭圆方程利用和整理得切线l的斜率，从而得切线方程，再利用点到直线距离公式和即可计算求解.【小问1详解】由题可得，且椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】由（1），当直线斜率不存在时，则由（1）得或，当时，，，此时，同理可得时，；当直线斜率存在时，设，联立，则，整理得①，又即，故，将其代入上式①可得即，故，所以，整理得，所以点到l的距离的乘积为.综上，是定值且.19.已知函数（，，，）.（1）当，时，求函数的单调区间；（2）当，时，求函数的最小值；（3）当，时，函数的极小值是关于的函数，记为，设.若，求的最大值.【答案】（1）递减区间是，递增区间是；（2）；（3）5.【解析】【分析】（1）把，代入，利用导数求出函数的单调区间.（2）把代入，利用导数求出最小值函数，再借助基本不等式求出最小值.（3）求出函数的极小值函数，结合基本不等式求出，再利用分组求和法求出和，并根据给定不等式求出的最大值.【小问1详解】函数的定义域为，求导得，由，得，由，得，函数在上单调递减，在上单调递增，所以函