专题19几何变式探究和类比变换综合类问题-2021年中考数学经典题型讲练案(解析版)【江苏专用】

备战2021年中考数学经典题型讲练案（江苏专用）

专题19几何变式探究和类比变换综合类问题

【方法指导】

图形的类比变换是近年来中考的常考点，常以三角形、四边形为背景，与翻折、旋转相结合，考查三角形

全等或相似的性质与判定，难度较大.此类题目第一问相对简单，后面的问题需要结合第一问的方法进行

类比解答.根据其特征大致可分为：几何变换类比探究问题、旋转综合问题、翻折类问题等.

解决此类问题要善于将复杂图象分解为几个基本图形，通过添加副主席补全或构造基本图形，借助转化、

方程、数形结合、分类讨论等数学思想解决几何证明问题，计算则把几何与代数知识综合起来，渗透数形

结合思想，考查学生分析问题的能力、逻辑思维和推理能力.

【题型剖析】

【类型1】几何类比变换综合题

【例1】（2020秋•句容市期中）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点。是射线BC上

一动点，以DE为一边作等边三角形OEF,连接CF.

【问题解决】如图1,点。与点B重合，求证：AE=FC；

【类比探究】（1）如图2,点。在边BC上，求证：CE+CF=CD；

（2）如图3,点。在边8c的延长线上，请探究线段“，CF与CD之间存在怎样的数量关系？直接写

出你的结论.

【分析】【问题解决】由“SAS”可证△A8E/△C8F,可得AE=CF；

【类比探究】（1）在CO匕截取CH=CE,易证△（?£：//是等边三角形，得出EH=EC=CH,由“SAS”

可证得出DH=CF,即可得出结论；

（2）过。作。G〃/18,交AC的延长线于点G,由平行线的性质易证/GDC=NDGC=60°,得出△

GC£＞为等边三角形，则。G=CC=CG,由"SAS”可证△EGO丝△FCZ）,得出EG=FC,即可得出FC

=CD+CE.

【解析】证明：【问题解决】

•/△ABC和△£>£1/是等边三角形，

，AB=BC,ZABC=ZEDC=60°,DE=DF,

：.ZABC-NEBC=NEDC-NEBC,

^ZABE=ZCBFf

在△ABE和△CBF中,

AB=BC

乙ABE=(CBF，

DE=DF

：./\ABE^/\CBF(SAS)

：.AE=CF；

【类比探究】(1)如图2,在CO上截取C”=CE,连接

图2

・・•△ABC是等边三角形，

：.ZECH=60°,

是等边三角形，

：.EH=EC=CH,ZCEH=60°,

:△OE/是等边三角形，

:・DE=FE,NDEF=60°,

,NDEH+/HEF=/FEC+NHEF=60°,

:.ZDEH=NFEC,

在△DE”和△庄C中，

DE=FE

乙DEH=乙FEC,

EH=EC

：./\DEH^/\FEC(SAS),

：.DH=CFf

CD=CH+DH=CE+CF,

：.CE+CF^CD-.

(2)线段CE,CF与CD之间的等量关系是FC=CD+CE；

理由如下：•.'△ABC是等边三角形，

AZA=ZB=60°,

过。作。G〃A8,交AC的延长线于点G,如图3所示：

.".ZGDC=ZB=60°,ZDGC=ZA=60°,

.,.ZGDC^ZDGC=60°,

••.△GCO为等边三角形，

：.DG=CD=CG,NGDC=60°,

•.•△EC尸为等边三角形，

；.ED=DF,NEDF=NGDC=60°,

ZEDG=ZFDC,

在△EGO和中，

ED=DF

乙EDG=Z.FDC,

DG=CD

.,.△EGO部△PCD(SAS),

:.EG=FC,

：.FC=EG=CG+CE=CD+CE.

【变式1.1](2020秋•常熟市期中)如图，在△A8C中，AB=AC,ZBAC=90°,BC=8,点D是边BC

上的一个动点，连接4£),以4力为直角边向右作等腰Rt^AOE,使4O=AE,/D4E=90°,点尸是

OE的中点，连接CE.

(1)如图①，连接CF,求证：DE=2CF；

(2)如图②，连接A尸并延长，交BC边所在直线于点G,若CG=2,求8。的长.

图①图②备用图

【分析】(1)先判断出NB4O=/C4F.利用SAS证明丝△ACE,再根据直角三角形斜边的中线

等于斜边的一半即可得出结论；

(2)利用△A8O岭ZVICE,分两种情况：①当点G在边BC上时，£>G=8-2-x=6-x,当点G在边

BC延长线上时，£G=CG=8+2-x=10-x,再根据勾股定理即可得出结论.

【解析】(1)证明：•.•/B4C=/£>AE=90°,

:.NBAD=NCAE,

在△ABC和△ACF中，

AB=AC

乙BAD=Z.CAEy

AD=AE

：./\ABD^AACE(SAS),

：・NB=NACE,

V4B=AC,ZBAC=90°,

AZABC=ZACB=45°,

AZACE=45°,

ZACE+ZACB=90°,

即NZ)CE=90°,

丁点F是DE的中点，

1

：.CF=^DE,

即DE=2CF；

解：(2)如图，连接EG,

图②

,.•AD=4£，点F是DE的中点,

尸是力E的垂直平分线，

:.DG=EG,

设BD=x,

①当点G在边BC上时，OG=8-2-x=6-x,

"：/^ABD^/\ACE,

：.BD=CE=x,

在RtZXCEG中，根据勾股定理，得

CE2+CG1=GE1,

；./+4=（6-x）2,

解得x=|;

②如图，当点G在边8c延长线上时，

•.•EG=£)G=8+2-x=10-x,

在Rt^CEG中，根据勾股定理，得

CE，CG2=GE?,

.,./+4=(10-x)2,

解得x=V,

综上8。长为W或

35

【变式1.2］（2020春•张家港市校级期中）爱动脑筋的小王同学在摆弄一副直角三角板（角度分别为30°、

60°、90°和45°、45°、90°）.其中一块三角板48c的直角边AC垂直数轴，AC过数轴原点O,斜

边4B交数轴于点G；另一块三角板AED的直角边AE交数轴于点凡斜边A。交数轴于点从

(1)如图(1)所示，当三角板AC8不动时，现将三角板AEZ)绕A点逆时针转动，如果AH恰好平分

ZFAG,求此时NHA。的度数；

(2)如图(2)所示，设NA”厂的平分线和NAGH的平分线交于点M,设/〃4。=尤°,

①当NM=N/M。时，求x的大小；

②设NEF”的平分线和NFOC的平分线交于点N,问/N+NM的值是否固定不变？如果不变，请求出

这值；如果会变，请说明理由.

图1图2备用图

【分析】(1)如图1中，设N”AO=x.构建方程求解即可.

(2)由NA”厂的平分线和NAG4的平分线交于点M得到ZHGM=^ZHGA,根据

三角形外角性质得/尸FW=NM+NHGM,NFHA=NHGA+NHAG,则2ZM+2ZHGM=ZHGA+Z

HAG,所以(NHAO+NOAG)=1a+22.5°；

1111

(3)根据(2)中证明方法，可得到NN=90°-iZMO=90°-"FAH-*NOAH=90。-15°一

11

OAH=15a-^ZOAH,再根据/M=*/O4〃+22.5°,即可得到NM+/N=97.5°.

【解析】(1)如图1中，设NHAO=x.

D

图1

,：AH平分NMG,

:.4FAH=NGAH,

.*.30°+x=45°,

/.x=15°,

：.ZHAO=\50.

(2)如图2,

图2

,：4AHF的平分线和NAG”的平分线交于点M,

：.ZFHM=g/FHA,ZHGM=^ZHGA,

:NFHM=NM+NHGM,NFHA=NHGA+NHAG,

：.2NM+2NHGM=NHGA+NHAG,即2/M=NaAG,

1111

：.ZM=^ZHAG=^CZHAO+ZOAG)*(a+45°)=加22・5°.

(3)如图2,・・・/£：f”的平分线和NFOC的平分线交于点M

I1

，NNFO=考/EFO,ZNOF=三/COF,

:.NON中,NN=1800-QNFOMNOF)

1

=180°(ZEFO+ZCOF)

i

=180°—方(1800-NA尸0+1800-ZAOF)

1

=180°一方(360°-ZAFO-NAOF)

1

=180°-J[360°-(180°-ZFAO)]

=180°(180°+ZFAO)

1

=90°-"FAO,

即NN=90。-^ZFAH-^ZOAH

=90°-15°—NOAH

=75°-^ZOAH,

i

又：/M=*O4”+22.5。,

11

；.NM+NN=75°-^ZOAH+^ZOAH+22.5°=97.5°.

[变式1.3](2020秋•崇川区月考)已知正方形ABC。，ZEAF=45°.

(1)如图1,当点E,尸分别在边BC,CD±,连接EF,求证：EF=BE+DF；

(2)如图2,点N,M分别在边A8,CD上,且BN=DW,当点E,尸分别在BM,DN上,连接EF,

请探究线段EF,BE,DF之间满足的数量关系，并加以证明；

(3)如图3,当点E,尸分别在对角线8D,边CZ)上，若FC=6,则BE=3&.

图1图2图3

【分析】(1)如图1,将△4。尸绕点4顺时针旋转90°,得△ABG,想办法证明△EAG<(S4S),

得EF=EG,根据等量代换和线段的和可得结论；

(2)如图2,结论：EF2=BE2+DF2,将△AO尸绕点4顺时针旋转90°,得△AB",证明过程跟(1)

类似，证得△£/!”四△EAR把E尸转化到E”，然后利用证明四边形8历DV为平行四边形，

可得则NE84=90°,由勾股定理可得结论：

(3)如图3,连接EF、EC,过点E分别作EM_LCQ于M,ENLBC于N,想办法证明EF=FC,根据

等腰三角形三线合一可得CM=FM=3=EN,最后根据等腰直角三角形的性质可得BE的长.

【解析】(1)证明：如图1,

•.•四边形A8CO是正方形，

：.AD=AB,ZD=ZABE=90°,

将△ADF绕点A顺时针旋转90°,得△A8G,

图1

AADF^AABG,

：.AF=AG,DF=BG,ZDAF=ZBAG,NO=NA8G=90°,

/.ZABE+ZABG=90°+90°=180°,

；.G、B、C在同一直线上，

,：ZEAF=45°,

：.ZDAF+ZBAE=90°-45°=45°,

...NEAG=Na4G+/84E=/a4F+NBAE=45°,即/EAG=/EAF,

'：AE=AE,

：./\EAG^/\EAF(SAS),

:.EG=EF,

,?BE+DF=BE+BG=EG,

：.EF=BE+DF；

(2)解：结论：E产=8君2+。产，

理由：如图2,将△A。尸绕点A顺时针旋转90°,得△ABH,连接E”,

：.AF=AH,DF=BH,NDAF=NBAH,NADF=NABH,

,：ZEAF=45°,

：.ZDAF+ZBAE=900-45°=45°,

...NE4H=NBA”+N8AE=/OAF+N3AE=45°,即/E4H=NE4F,

'：AE=AE,

：./\EAH^AEAF(SAS),

:.EH=EF,

,:BN=DM,BN//DM,

二四边形BMDN是平行四边形，

NABE=ZMDN,

：.NEBH=NABH+NABE=NADF+NMDN=NAOM=90°,

:.EH2=BEP+BH2,

:.EF2=BEP+DF2,

(3)解：如图3,连接EF、EC,过点E分别作EMICO于M,EN上BC于N,

图3

BD为正方形ABCD对角线,

：.ZEDF=45°,

尸=45°,

:.NEDF=NEAF,

：.A,E,F,。四点共圆，

：.ZADF+ZAEF^\SOQ,

；NAO尸=90°,

AZA£F=90°,

.•.△AE/为等腰直角三角形，

J.AE^EF,

\"AB=BC,ZABE=ZCBE=45Q,BE=BE,

二△ABE<ACBE(SAS),

：.AE^CE,

；.CE=EF,

'：EMLCF,CF=6,

：.CM=1CF=3,

'：ENLBC,NNCM=90°,

四边形CMEN是矩形，

:.EN=CM=3,

；NEBN=45°,

:.BE=V2EN=3V2.

故答案为：3a.

【类型2】几何旋转变换综合题

【例2】（2020秋•沈北新区期末）已知正方形A8CQ,E为平面内任意一点，连接AE,BE,将△ABE绕点

B顺时针旋转90°得到△BFC.

(1)如图1,求证:

①AE=C尸；

@AELCF.

(2)若BE=2,

①如图2,点E在正方形内，连接EC,若乙4EB=135°,EC=5,求4E的长；

②如图3,点E在正方形外，连接EF,若A8=6,当C、E、尸在一条直线时，求AE的长.

【分析】（1）①证明利用全等三角形的对应边对应角相等证明；

②判断出得出/尸=乙4E8,NBAE=NCBF,再利用四边形的内角和即可得出结论;

（2）①连接EF,由BE_L8F且BE=8F,可得NBFE=45°,£F2=8,FC=V17,即可得出结论；

②过点B作BGJ_尸C于点G,利用勾股定理可得，FG=V2，GC=V34,进而求出尸C即可得出结论.

【解析】(1)①；△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFC,

:AAEB妾4CFB,

：.AE=CF；

②如图1,

延长AE交CF于M,

由①知，AAEB义ACFB,

:./F=NAEB,NBAE=NCBF,

VZAEB+ZBAE+ZABE=180°,

ZF+ZCBF+N180°

:四边形A8CQ是正方形，

AZABC=90°,

AZAMF=360°-ZABC-ZF-ZBAM=90°,

J.AEYCF-,

(2)①如图2,

连接EF,由旋转知，BE1BFS.BE=BF,

；.NBFE=45°,

在RtABE尸中，BE=BF=2,

产=8,

VZfi£F=45°,/AEB=135°,

AZAEB+ZBEF=180°,

...点A,E,F在同一条直线上，

由(1)知,AE1CF,

在Rt^ECF中，CE=5,利用勾股定理得，FC=yJCE2-EF2=y[17,

：.AE=CF=V17

②如图3,；四边形ABCO是正方形,

：.BC=AB=6,

在RtZsBEF中，BF=BE=2,

:.EF=2五,

过点8作8G，尸C于点G,

：.BG=FG=^EF=V2,

在RtZSBCG中，利用勾股定理得，GC=y/BC2-BG2=y/34,

故FC=CG+FG=V34+A/2,

ACF=V34+V2.

图1尸

【变式2.1](2020秋•天宁区校级期中)在aABC中，AB=AC,在ABC的外部作等边△ABD,E为AB的

中点，连接DE并延长交BC于点F.

(1)如图1,若/84C=90°,连接CO,求证：OC平分NA。尸；

(2)如图2,过点A折叠NC4D,使点C与点力重合，折痕4W交E尸于点若点M正好在乙4BC

的平分线上，连接并延长交AC于点N,

①NBAC的度数为100°

②在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与MN相等的线段，并证明你的结论.

图2

一性质证DELAB,推出AC//DE,得出NACD=NFOC,再推出N

ADC=ZACD,即可得出结论;

（2）①先证并设其为a,由翻折知，ZMAC=ZMAD=60°+a,在△ABC中，

由三角形的内角和定理可求出a=20°,即可求出NB4C的度数；②如图2-1,连接MC,由三线合一

定理先求出入4OE=/8£）E=30°,由翻折知，△?!/»/好Z\ACM,所以NACM=NAOM=30°,求出/

BCM=\0°,由外角性质求出NNMC=30°,即可得出NMWC=NNCM,即MN=NC.

【解析】证明：（1）••,△A8C是等边三角形，且E为48的中点，

J.DELAB,AB=4L>,

；AB=AC,

：.AD^AC,

：./AOC=ZACD,

；N8AC=90°,

：.AC//DE,

NACD=NFDC,

ZADC=ZFDC,

.,.DC平分NA0F；

（2）①:△AB〃是等边三角形，且E为AB的中点,

...OE垂直平分AB,

：.AM=BM,

：.ZMAB^ZMBA,

平分乙48C,

：.ZMBA=ZMBCf

设NMA3=/MBA=NMBC=a,

'：AB=AC,

・•・ZACB=ZABC=2af

由翻折知，ZMAC=ZMAD=ZDAB^ZMAB=()0o+a,

工在△ABC中，NA8C+/ACB+NR4M+NMAC=2a+2a+a+60°+a=180°,

：.a=20°,

AZBAC=ZBAM+ZMAC=20Q+60°+20°=100°,

故答案为：100°；

②MN=NC

如图2,连接MC,

由①知，a=20°,ZBAC=100°,

ZABC=ZACB=40°,

由①知，QE垂直平分A8,

,:DA=DB,NADB=60°,

AZADE=ZBDE=30°,

由翻折知，△AOM0△ACM,

・・・NACM=/ADM=30°,

/.ZBCM=ZACB-ZACM=10°,

AZNMC=ZMBC+ZMCB=200+10°=30°,

:./NMC=/NCM,

:,MN=NC.

图2

【变式2.2］（2020秋•徐州期中）如图，△A5C是等边三角形，AC=2,点C关于A8对称的点为。，点

P是直线C'8上的一个动点.

（1）若点尸是线段C'8上任意一点（不与点C',点B重合）

①如图1,作/以E=60°交BC于点E,AP与AE相等吗？请证明你的结论：

②如图2,连接AP,作NAPD=60°交射线8C于点。，PO与以相等吗？请证明你的结论.

（2）若点尸在线段C'B的延长线上.

①连接AP,作NAPD=60°交射线8C于点。，依题意补全图3；

②直接写出线段B。、48、BP之间的数量关系.

【分析】（1）①由“ASA”可证△B4B丝△EAC,可得AP=AE；

②由“ASA”可证△尸8。丝可得产。=%：

（2）①根据要求画出图形即可解决问题；

②结论：BD=BP+AB.如图3中，在BQ上取一点E,使得BE=PB.由“SAS”可证△£?以名

可得可得结论.

【解析】（1）①”=AE,

理由如下：•••△ABC是等边三角形，

AZABC=60°=ZBAC,AB=AC,

二,点。与点C关于A8对称，

.../C8A=NC8A=60°,

VZB4£=ZBAC=60°,

:.NPAB=NEAC,

△出8岭△EACCASA）,

：.AP=AE；

（2）PD=PA,

理由如下：如图2中，作/BPE=60°交AB于点、E,

BD

图2

•..△ABC是等边三角形，

AZABC=60°,

:点。与点C关于A8对称，

NCBA=NCBA=60°=ZBPE,

•,.ZP£B=60°.

...△PBE是等边三角形，

：.PB=PE,4EP=12O°=NPBD.

ZBPD+ZDPE=60°,ZAPE+ZDPE=60°,

:.NBPD=4APE,

在△/有力和△PEA中，

2BPD=AAPE

PB=PE,

/PBD=Z.PEA

：.^PBD^/\PEA(ASA).

：.PD=PA；

(2)①解：补全图形，如图3所示：

图3

②解：结论：BD=BP+AB,

理由：如图3中，在BD上取一点E,使得BE=PB.

:NEBP=6Q°,BE=BP,

.♦.△E8P是等边三角形,

...N8尸E=/APC=60°，

：.4APB=ZEPD,

,:PB=PE,PA=PD,

：./\BPA^/\EPD(SAS),

：.AB=DE,

：.BD=BE+ED=BP+AB.

【变式2.3](2020秋•仪征市期中)如图1,在△ABC与△£>(?£；中，AB=AC=DC=DE,ZCDE=90°.

(1)连接A。、AE,如图2,若AD=AC,求/AEZ)的度数；

(2)若AB=4,BC=2,将图1中的△DCE绕点C逆时针旋转一周，连接A。、BD,若△ACD为直角

三角形，求BD2；

(3)将图1中的△/)<:«绕点C逆时针旋转到图3的位置，连接BE,交△ABC顶角的平分线AP于点M,

交AC于点N,连接CM.求证：BM2+EM2=2AC2.

【分析】(1)先判断出△AC。是等边三角形，得出NAOC=60°,进而得出NAOE=150°,再由A£>=

DE,利用三角形的内角和，即可得出结论；

(2)①当点。在AC右侧时，先求出BN=1,AN=/15,再判断出入4CN=NCDM,进而判断出△ACN

(A45),得出DM=CN=1,CM=AN=屁,进而得出8M=CM+8C=皮+2,最后用勾股

定理即可得出结论；

②当点。在AC左侧时，同①的方法得，DM=1,进而得出=6下一2,最后根据勾股定理

得，即可得出结论；

(3)利用等腰三角形的性质得出NAE8=NA8E,再利用SAS判断出△ABMg△ACM,得出8M=CM,

ZABE=AACM,再判断出NCME=90。，根据勾股定理得出。序=现层+田层，c针=2心,即可得出

结论.

【解析】(1)VAC=DC,AD=AC,

：.AC=DC=AD,

•**/\ACD是等边三角形，

ZADC=60°,

VZCDE=90°,

ZADE=ZADC+ZCDE=150°,

u

：AD=ACfDE=AC,

：・AD=DE,

1

：.ZAED=^(180°-ZADE)=15°；

(2)①当点。在AC右侧时，如图a,

过点4作ANLBC于M

AZACN=90°,

；AB=AC,BC=2,

1

:.BN=CN=^BC=1,

根据勾股定理得，AN=7AB2-BN2=代,

过点。作。MJ_8C,交BC的延长线于M,

AZM=900-ZANC,

：.ZCDM+ZDCM=90°,

：△ACC是直角三角形，且AC=CZ),

/.ZACD=90°,

AZACN+ZDCM=90°,

ZACN=ZCDM,

在△ACN和△£＞四中,

2ANC=ACMD=90°

Z.ACN=Z.CDM,

AC=CD

:AACN沿ADCM(A4S),

:.DM=CN=1,CM=AN=V15,

：.BM=CM+BC=V15+2,

在中，根据勾股定理得，BD1=BM2+DM1=(V15+2)2+12=20+4<15,

②当点。在AC左侧时，如图4过点A作AN,3c于N,过点。作。交3C的延长线于

同①的方法得，CM=>/15,0M=1,

：.BM=CM-BC=V15-2,

在RtABMQ中，根据勾股定理得，BD2=BM2+DM2=(V15-2)2+12=20-4V15,

即满足条件的BD2为20+4同或20-4行；

(3)TAP是N3AC的角平分线，

：.ZBAM=ZCAM,

在△AM6和△AMC中，

AB=AC

Z-BAM=匕CAM,

AM=AM

：./\AMB^/\AMC(SAS),

：.BM=CM,ZACM=AABM,

9

：AB=AEf

：.ZABM=ZAEBf

：.ZAEB=ZACM,

VZCA£=90°,

・・・NAEB+NANE=90°,

・・・NACM+NANE=90°,

•//ANE=/CNM,

・・・NACM+NCMW=90°，

:.NCMN=90°,

在RtZXCME中，根据勾股定理得，CE2=CM2+EM2=BM2+EA/,

在RtZXACE中，AC^AE,

：.CE1=2AC2,

：.BM2+EM2=2AC2.

【类型3】几何翻折变换综合题

[例3]（2019•江都区三模）如图1,有一张矩形纸片ABCD,已知4?=5,AD=6,现将纸片进行如下

操作：首先将纸片沿折痕即进行折叠，使点A落在BC1边上的点E处，点F在"＞上（如图2）；然后将纸

片沿折痕OH进行第二次折叠，使点C落在第一次的折痕3斤上的点G处，点H在8c上（如图3）.

（1）如图2,判断四边形的形状，并说明理由；

（2）如图3,求BG的长.

【分析】（1）由折叠可得：AB=BE,且/4=/4跳；=/巫尸=90。，即可得出结论；’

（2）过G点作交4）、BC于前M、N,由四边形ABEF1为正方形，可求得AF的长，得出ABNG

和MWG为等腰直角三角形，'设BN=x,则可表示出GN、MG、MD，利用折叠的性质可得到C£>=Z)G,

在RtAMDG中，利用勾股定理可求得x,即可得出结果.

【解析】(1)四边形ABEF是正方形，理由如下：

•.•四边形AfiCD为矩形，

:.AB=CD=5,BC=AD=6,

由折叠可得：AB=BE,E.ZA=ZABE=ZBEF=90P,

四边形ABEF为正方形：

(2)过点G作MN”AB,分别交45、BC于点、M、N,如图3所示：

•.•四边形是正方形，

:.AF=AB=5,

-,-MN//AB,

.•.ABNG和A/WG为等腰直角三角形，S.MN=AB=5,

设BN=x,则GV=AM=x,MG=MN-GN=5-x,MD=AD-AM=6-x,

又由折叠的性质可知：DG=DC=5.

在RtAMDG中，由勾股定理可得MO?+MG?=GZ>2,

即(6-X)2+(5-X)2=52,

解得：x=2,

:.GN=BN=2,

:.BG=>/2BN=2y/2.

【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、正方形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股

【变式3.11(2020秋•仪征市期中)折纸，是生活中一种常见的操作.通过折纸，可以直观的发现一些

线段之间的数量关系.小明现有两张aABC纸片，NC=2NB,进行了如下的操作：

(1)操作一：如图1,小明拿出第一张△ABC纸片，将边AC沿直线A。折叠，使点C落在边BC上，

求证：AC+CD=BD；

(2)操作二：如图2,小明拿出第二张△4BC纸片，将边AC沿直线AD折叠，使点C落在边AB上，

判断AC、CO和A8的数量关系并证明.

【分析】(1)如图1中，在DB上取一点7,使得£>7=OC,连接AT.证明AT=AC,TA=TB,即可解

决问题.

(2)结论：AC+CD=AB.如图2中，在线段AB上取一点H,使得A4=AC,连接。”.证明丝

△ADC(SAS),推出£W=£>C,ZAHD=ZC,再证明"B=H£)=£>C,可得结论.

【解析】(1)证明：如图1中，在08上取一点T,使得。T=OC,连接AT.

：.AT=AC,

：.ZATC=ZC,

VZC=2ZB,

NATC=NB+N7AB=2NB,

；.NB=N7AB,

：.TA=TB,

：.AC+CD^DT+BT=BD.

(2)解：结论：AC+CD=AB.

理由：如图2中，在线段48上取一点，，使得4H=AC,连接DH.

由折叠可知，ZDAH=ZDACf

在和△AD。中，

AD=AD

乙DAH=乙DAC,

AH=AC

：./\ADH^^ADC(SAS),

:.DH=DC,NAHD=/C,

VZC=2ZB,

・,.ZAHD=NB+/HDB=2NB,

:・/B=ZHDB,

：.HB=HD=DC,

：.AC+CD=AH^-BH=AB.

【变式3.2](2020春•高邮市期末)已知△ABC,NA8C=80°,点石在BC边上，点。是射线A8上的一

个动点，将△5OE沿。£折叠，使点B落在点8处.

(1)如图1,若NAO夕=125°,求NCE®的度数；

(2)如图2.试探究NAQ笈与NCE8的数量关系，并说明理由；

(3)连接C8',当C8/AB时，直接写出NC8E与的数量关系为NCB，E+80。=NADB'或

ZCB1E+ZADB1=80°.

B'CCB'

备用图

【分析】(1)连接3B',利用三角形的外角的性质解决问题即可.

(2)方法类似(1).

(3)分两种情形：如图1-I中，当点。在线段A8上时，结论：ZCB'E+80°=ZADB'；如图2中,

当点。在A3的延长线上时，结论：ZCB'E+ZADB'=80°.分别利用平行线的性质证明即可.

【解析】(1)如图1中，连接.

图1

由翻折的性质可知，ZDBE=ZDB'£=80°,

,：ZADB'=NDBB'+ZDB'8=125°,

:./EBB'+/EB'8=160°-125°=35°,

:.NCEB'=ZEBB'+NEB'8=35°.

(2)结论：ZCEB'^ZADB'+20°.

理由：如图2中，

,:NADB'+NBEB'=3600-2X(180°-80°),

：.ZADB'+1800-ZCEB'=160°,

：.ZCEB'=NAM+20°.

(3)如图1-1中，当点。在线段A8上时，结论：ZCB'£+80°=ZADB'

理由：连接C8'.

：.ZADB'=ZCB'D,

由翻折可知，NB=NDB'E=80°,

：.ZCB'£+80°=ZCB'D=ZADB'.

如图2中，当点。在AB的延长线上时，结论：ZCB'E+NADB'=80°.

理由：连接C8'.

图2

"：CB'//AD,

：.ZADB'+NDB'C=180°,

VZABC=80°,

：.ZDBE=ZDB'E=100°,

:.NCB'E+1000+ZADB'=180°,

；.NCB'E+ZADB'=80°.

综上所述，NCBE与NAO8'的数量关系为/CB'£+80°ZADB'或NCB'E+NADB'=80°

故答案为：ZCB'E+80°=NADB'或/CB'E+/ADB'=80°.

【变式3.3］（2020春•锡山区期中）在AABC中，NBAC=90°,点。是BC上一点，将△ABO沿AO翻折

后得到边AE交射线8c于点凡（友情提醒：翻折前后的两个三角形的对应边相等，对应角相

等.）

图①图②备用图

（1）如图①，当AEJ_BC时，求证：DE//AC；

（2）若NC-NB=10°,ZBAD=x°.

①如图②，当8c时，求x的值；

②是否存在这样的x的值，使得△OEF中有两个角相等.若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）由余角的性质可得NB=NEAC,由折叠的性质可得N8=/£AC=NE,可得结论；

（2）①先求出N8=40°,ZC=50°,由折叠的性质可得NB=NE=40°,ZBAD=ZEAD=x°,由

外角的性质可求x的值；

②分三种情况讨论，列出方程可求解.

【解析】证明：（1）•••AELBC,

...NEAC+NC=90°,

VZBAC=90°,

：.ZB+ZC=90°,

：.NB=/EAC,

将△AB。沿AD翻折后得到△4ED,

：.ZB=ZE,

：.ZEAC=ZE,

：.DE//AC;

（2）①；N8+NC=90°,ZC-Zfi=10°,

ZB=40°,/C=50°,

DEIBC,

：.ZEDF=90°,

•・•将△"£>沿AD翻折后得到

/.ZB=ZE=40°,ZBAD=ZEAD=x0,

:・NDFE=50°,

■:NDFE=NB+NBAF,

A2x+40=50,

***x=5；

②由题意可得，ZADC=40+.t,ZADB=140-x,

ZEDF=140-x-(40+x)=100-2x,

ZDFE=40+2x,

若NEDF=NDFE,则100-2x=40+2x,

.,.x=15；

若NEDF=NE,贝I」100-2x=40,

x--30；

若NDFE=NE,则40+2x=40,

.'.x=0(舍去).

综上可得x=15或30.

【达标检测】

1.(2020秋•崇川区校级期中)如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这

个三角形的内好线，称这个三角形为内好三角形.

(1)如图1,ZVIBC是等腰锐角三角形，AB^AC(AB>BC),若/ABC的角平分线8。交4c于点。,

且BO是△ABC的一条内好线，则/B£)C=72度;

(2)如图2,△ABC中，NB=2NC,线段AC的垂直平分线交AC于点£),交BC于点E.求证：AE

是ABC的一条内好线；

(3)如图3,已知AABC是内好三角形，且/A=24°,为钝角，则所有可能的已8的度数为108°

或117°或144°或148°(直接写答案).

【分析】(I)由等腰三角形的性质可得NA8C=NAC8,由角平分线的性质可得NABZ)=NC8O=

ABC,由“内好线”定义可得80=8c=AO,可得NA=NA8。，NBDC=NC,由三角形的内角和定理

可求解；

(2)只要证明△ABE,△AEC是等腰三角形即可；

(3)当BE是内好线时，分三种情形讨论，由等腰三角形的性质可求解；当CE是内好线时，当AE为

内好线时，利用等腰三角形性质即可解决问题.

【解析】(1),：AB=AC,

ZABC^ZACB,

平分N48C,

NABD=NCBD=；NABC,

:BD是△ABC的一条内好线，

/\ABD和ABDC是等腰三角形，

：.BD=BC^AD,

：.ZA^ZABD,NBDC=NC,

ZBDC=ZA+ZABD=2ZA,

：.NABC=/AC8=2NA,

VZ-4+ZABC+ZACB=180°,

；.乙4=36°,

：.ZBDC=2ZA=12°,

故答案为：72；

(2)•••£>£是线段AC的垂直平分线，

：.EA=EC,即△EAC是等腰三角形，

.../E4C=/C,

ZAEB=ZEAC+ZC=2ZC,

；NB=2NC,

:.NAEB=NB,即△EA8是等腰三角形,

.♦.4E是A8C的条内好线；

(3)设8E是△ABC的的内好线，

①如图3,

图3

当AE=8E时，则/A=NEBA=24°,

.•./CE8=NA+/E84=48°,

若8c=BE时，则NC=NCE8=48°,

AZABC=180°-ZA-ZC=108°,

若BC=CE时，则/C8E=/CEB=48°,

/.ZABC=ZABE+ZCBE=12°<90°（不合题意舍去），

若CE=BE时，则/C=NCBE=竺与鸳=66°,

AZABC=ZABE+ZCBE=90°（不合题意舍去），

②如图4,当AE=BE时，WJZAEB=ZAEB=180°~24=78°,

图4

ZCEB=ZA+ZABE=102°>90°,

,:CE=BE,

.•./C=NCBE=39°,

Z.ZCBA=ZABE+ZCBE=117°,

③如图5,当AB=BE时，则NA=NAE8=24°,

图5

/.132°,ZBEC=\56°>0,

,:BE=CE,

：.ZC=ZCBE=\20,

ZCBA=ZABE+ZCBE=144°,

设CE是△A3C的的内好线，

图6

当CE=AE时，则NA=/4CE=24。，

•:BC=BE,

：.NBEC=ZBCE=NA+N-48°,

AZA5C=84°<0（不合题意舍去），

设AE是△46。的内好线，

图7

•；CE=AE,

：.ZC=ZCAE,

：.NAEB=NC+NCAE=2NCAE,

•：BE=AB,

JNBAE=NAEB=2NCAE,

；Na4c=24°=3ACAE,

.../C4E=8°,/3AE=16°,

.•.NA8c=148°,

综上所述：乙48c=108°或117°或144°或148°.

故答案为：108°或117°或144°或148°.

2.（2020秋•靖江市期中）如图1,△4BC中，C£）_LAB于点。，且80：AD：CD=2：3：4.

（1）试说明AABC是等腰三角形；

（2）己知SMBC=90cm2,如图2,动点P从点B出发以每秒\cm的速度沿线段B4向点A运动，同时

动点。从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止.设点尸

运动的时间为1（秒），

①若△。尸。的边与BC平行，求f的值；

②若点E是边AC的中点，问在点尸运动的过程中，△PDE能否成为等腰三角形？若能，求出r的值；

若不能，请说明理由.

图1图2备用图

【分析】（I）设8D=2x,根据勾股定理求出AC,根据等腰三角形的概念证明结论；

（2）根据三角形的面积公式分别求出BD、AD,CD,分DQ//BC.PQ//BC两种情况，根据等腰三角

形的性质解答；

（3）分点尸与点力重合、DP=DE、PC=PE三种情况，根据勾股定理计算，得到答案.

【解析】（1）设BQ=2x,则AO=3x,CC=4x,

：.AB=BD+AD=5x,

由勾股定理得，AC=y/AD2+CD2=5x,

：.AB=AC,即△ABC是等腰三角形：

(2)：SAABC=9(W,

1

x5xX4x=90,

2

解得，x=3,

HD—6/77,AZ)=9，"，CZ)—1Itn>

由题意得，BP—t,AQ—t,

则AP=15-t,

当OQ〃BC时，ZADQ=ZABC,ZAQD=ZACB,

：.ZADQ=ZAQD,

：.AQ=AD=9,即t=9,

当PQ〃BC时，ZAPQ=AABC,ZAQP=ZACB,

：.ZAPQ=ZAQP,

：.AP=AQ,即

解得，f=7.5,

综上所述，当△QPQ的边与8c平行，，的值为9或7.5；

(3)在Rt^CDA中，点E是AC的中点，

1

：.DE=^AC=AE=1.5,

当点尸与点A重合时，△2£>£为等腰三角形，此时f=7.5,

如图3,当。尸=Z)E=7.5时，BP=BD+DP=13.5,此时1=13.5,

如图4,当尸。=PE时，△2£>£为等腰三角形，

作EHLAB于H,

,:ED=EA,

：.DH=DA=4.5,

设DP=EP=x,

由勾股定理得，EH='DE?-DH2=6,

PH=x-6,

在RtaEHP中，EP1=EH1+PH1,即x2=62+(x-4.5)2,

解得，x=竽，

milonn।2549

则8P=6+彳=不

综上所述，当为等腰三角形时，f的值或13.5或了.

4

图3

3.（2020秋•新吴区期中）如图1,△4BC中，C£）J_48于。，且B。：AD：CD=2：3：4.

（1）试说明△ABC是等腰三角形；

（2）已知SAABC=40C、,"2,如图2,动点M从点8出发以每秒1c机的速度沿线段8A向点4运动，同时

动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止.设点M

运动的时间为f（秒）.

①若△DMN的边与BC平行，求，的值；

49

②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，t=9或10或差秒时,△MDE是等腰三角形.

【分析】（1）设BO=2x,AD=3x,CQ=4x,则AB=5x,由勾股定理求出AC,即可得出结论；

（2）由△ABC的面积求出8。、AD,CD、AC；①当MN〃8c时，AM=AN,当£W〃8c时，AD=ANx

得出方程，解方程即可；

②根据题意得出肖点M