2024-2025学年广东省佛山一中高二（上）第一次质检数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省佛山一中高二（上）第一次质检数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在一个袋子中放2个白球，2个红球，摇匀后随机摸出2个球，与“摸出1个白球1个红球”互斥而不对立的事件是(

)A.至少摸出1个白球 B.至少摸出1个红球

C.摸出2个白球 D.摸出2个白球或摸出2个红球2.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为PD的中点，若PA=a，PB=b，PC=c，则用基底{aA.12a−12b+123.袋子中有大小、形状、质地完全相同的4个小球，分别写有“风”、“展”、“红”、“旗”四个字，若有放回地从袋子中任意摸出一个小球，直到写有“红”、“旗”的两个球都摸到就停止摸球．利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，用1，2，3，4分别代表“风”、“展”、“红”、“旗”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：

411 231 324 412 112 443 213 144 331 123

114 142 111 344 312 334 223 122 113 133

由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球的概率为(

)A.110 B.320 C.154.已知空间向量a=(2,−1,2)，b=(1,−2,1)，则向量b在向量a上的投影向量是(

)A.(43,−23,43)5.已知点A(1,2,−a)关于y轴对称的点为B，直线l过点C(0,y,3)和B，且l的一个方向向量为m=(2,−1,3)，则|BC|=(

)A.15 B.2302 C.6.已知a∈{0,1,2}，b∈{−1,1,3,5}，则函数f(x)=ax2−2bx在区间(1,+∞)上为增函数的概率是A.512 B.13 C.147.甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束.假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立.已知前2局中，甲、乙各胜1局.则甲获得这次比赛胜利的概率是(

)A.925 B.18125 C.631258.在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为BD1，BA.(2+5)a B.(3+3)a二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1

B.已知一组数据1，2，4，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5

C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23

D.标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散10.已知事件A，B，且P(A)=0.4，P(B)=0.2，则下列结论正确的是(

)A.如果B⊆A，那么P(A∪B)=0.4，P(AB)=0.2

B.如果A与B互斥，那么P(A∪B)=0.6，P(AB)=0

C.如果A与B相互独立，那么P(A∪B)=0.6，P(AB)=0

D.如果P(AB−)=0.32，则A11.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别是棱AB，AD的中点，G为棱A.若点M满足GM=xEA+yEB+zEG且x+y+z=0，则A，B，G，M四点共面

B.若直线EG与平面DCC1D1所成的角为60°，则三棱锥C−EFG的体积为3

C.以F三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在如图所示的电路图中，开关a，b，c正常工作的概率分别为13，34，2313.已知向量a=(1,1,0)，b=(−1,0,2)，且ka+b与2a−b的夹角为钝角，则实数14.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，若空间中的动点P满足AP=λAB+μAD+vAA四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，M，N分别是A1B和B1C1上的点，∠BAC=90°，∠BAA1=∠CAA1=60°，AB=AC=AA1=1，A1M16.(本小题15分)

为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛.共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如右频率分布直方图，且第五组中高三学生占37．

(1)求抽取的200名学生的平均成绩x−(同一组数据用该组区间的中点值代替)；

(2)若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率；

(3)若比赛成绩x>79+s(s为样本数据的标准差)，则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数.参考公式：s=i=1n(xi−x−)17.(本小题17分)

甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为12，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为16，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为19，已知任意两次射击互不影响．

(1)分别计算乙，丙两人各射击一次且击中目标的概率；

(2)求甲、乙、丙各射击一次且恰有一人击中日标的概率；

(3)若想击中目标的概率不低于999910000，甲至少需要射击多少次？18.(本小题15分)

如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是平行四边形，BC=4，∠ABC=60°，△PAB是边长为2的等边三角形，PB⊥AC，E是线段PD的中点．

(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；

(2)若PF=λPC(0<λ<1)，是否存在λ，使得直线BF与平面PAD所成角的正弦值为1019.(本小题17分)

如图，在三棱台ABC−DEF中，AB=BC=AC=2，AD=DF=FC=1，N为DF的中点，二面角D−AC−B的大小为θ．

(1)求证：AC⊥BN；

(2)若θ=π2，求三棱台ABC−DEF的体积；

(3)若A到平面BCFE的距离为62，求

参考答案1.C

2.B

3.B

4.A

5.D

6.A

7.D

8.A

9.AC

10.ABD

11.ACD

12.113613.−∞,−2∪14.π4

215.解：(1)因为∠BAC=90°，所以AB⋅AC=a⋅b=0．

由于∠BAA1=∠CAA1=60°，AB=AC=AA1=1，所以a⋅c=b⋅c=cos60°=12．

由MN=MA1+A1C1+C1N16.解：(1)平均成绩x−=(55×0.011+65×0.02+75×0.034+85×0.028+95×0.007)×10=75，

所以抽取的200名学生的平均成绩x−=75；

(2)由于第五组总共要抽取7人，高三学生占37，所以抽到的高三学生应该有7×37=3人，

设3个高三学生为1，2，3，4个不是高三的学生为a，b，c，d，

事件A=“选取的2人都是高三”，

Ω={(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(b,c)，(b,d)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(c,d)，(c,1)，(c,2)，(c,3)，(d,1)，(d,2)，(d,3)，(1,2)，(1,3)，(2,3)}，

所以n(Ω)=21，

A={(1,2)，(1,3)，(2,3)}，所以n(A)=3，

所以P(A)=321=17，

即选取的2人都是高三学生的概率为17；

(3)依题意，由方差的计算公式，可得：

s=(55−75)2×0.11+(65−75)2×0.2+(75−7517.解：因为甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为12，

甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为16，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为19，

已知任意两次射击互不影响．

(1)记“甲，乙，内射击一次且击中日标”分别为事件A，B，C，

依题意P(A)=12，且A，B，C相互独立，

由．P(AB)=P(A)P(B)=16，得P(B)=13，

又由P(BC)=P(B)P(C)=19得P(C)=13，

所以乙射击一次击中日标的概率为13，丙射击一次击中日标的概率为13，

(2)记“甲、乙、丙各射击一次且恰有一人击中日标”为事件D，

因为ABC，BAC，CBA两两互斥且A，B.C相互独立，

∴P(D)=P(AB−C+BA−C+CBA)=P(ABC)+P(BAC)+P(CBA)=12×18.(1)证明：在△ABC中，BC=4，∠ABC=60°，AB=2，由余弦定理知，

AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcos∠ABC=4+16−2×2×4×12=12，

∴AC2+AB2=BC2，即AC⊥AB，

又∵PB⊥AC，且ABPB=B，AB、PB⊂平面PAB，

∴AC⊥平面PAB，

又AC⊂平面ABCD，∴平面PAB⊥平面ABCD．

(2)解：以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,23,0)，

D(−2,23,0)，P(1,0,3)，E(−12,3,32)，

∴AD=(−2,23,0)，AP=(1,0,3)BP=(−1,0,3)，PC=(−1,23,−3)，

BF19.(1)证明：取AC的中点O，连接ON，OB，

由题意知，四边形ACFD是等腰梯形，△ABC是等边三角形，

所以ON⊥AC，OB⊥AC，

因为ON∩OB=O，ON、OB⊂平面OBN，

所以AC⊥平面OBN，

又BN⊂平面OBN，所以AC⊥BN．

(2)解：由(1)知，ON⊥AC，OB⊥AC，

所以∠BON就是二面角D−AC−B的平面角，即∠BON=θ，

若θ=π2，则∠BON=90°，即OB⊥ON，

因