第十四章 整式的乘法与因式分解（20类题型突破）

第十四章整式的乘法与因式分解（题型突破）【考点一同底数幂相乘】例题：（2023春·陕西西安·七年级统考阶段练习）计算的结果是（）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）计算的结果是(

)A． B． C． D．2．（2023·上海·七年级假期作业）计算下列各式，结果用幂的形式表示．(1)；(2)；(3)．【考点二同底数乘法的逆用】例题：（2023春·江西吉安·七年级统考期中）若，则__________．【变式训练】1．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）已知，，则______．2．（2023春·广东深圳·七年级校考期末）已知，，则的值为______．【考点三幂的乘方运算】例题：（2023春·浙江绍兴·七年级统考期末）计算________．【变式训练】1．（2023春·河北唐山·七年级统考期中）计算：_________．2．（2023春·江苏南京·七年级南京市百家湖中学校考阶段练习）计算的结果是__________．3．（2023春·七年级单元测试）化简：（1）_______；（2）_______．【考点四幂的乘方的逆用】例题：（2023春·安徽六安·七年级统考期末）如果，则________．【变式训练】1．（2023春·广东茂名·七年级统考期中）若，，则_______．2．（2023春·广东佛山·七年级校联考期中）已知，则______．【考点五积的乘方运算】例题：（2023春·重庆南岸·七年级统考期末）计算：________．【变式训练】1．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）计算：______．2．（2022春·七年级单元测试）计算：________．【考点六积的乘方的逆用】例题：（2023春·江苏扬州·七年级校考期末）计算的结果是________．【变式训练】1．（2023春·江西抚州·七年级南城县第二中学校考阶段练习）计算：_____．2．（2023春·山东济南·七年级校考阶段练习）若，，则代数式的值是______．【考点七同底数幂的除法】例题：（2023·天津河东·统考二模）计算的结果是___.【变式训练】1．（2023·陕西汉中·统考二模）计算：______．2．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算：（1）___；（2）_____；（3）______．【考点八同底数幂除法的逆用】例题：（2023春·四川成都·七年级成都实外校考期中）若，，则的值是__________．【变式训练】1．（2023春·江苏南京·七年级统考期末）若，，则______．2．（2023春·江西吉安·七年级统考期末）已知，，，则__________．【考点九计算单项式乘单项式】例题：（2023·上海·七年级假期作业）计算：______．【变式训练】1．（2023春·陕西宝鸡·七年级统考期末）计算的结果是（）A． B． C． D．2．（2023春·湖南益阳·七年级统考期末）计算：___________．【考点十利用单项式乘法求字母或代数式的值】例题：（2023春·浙江·七年级专题练习）已知单项式与的积为，那么、的值为（）A．， B．，C．， D．，【变式训练】1．（2023春·七年级课时练习）若，则的值分别为（）A．3，2 B．2，3 C．3，3 D．2，22．（2023春·浙江·七年级专题练习）若单项式和3xy的积为，则ab的值为（）A．30 B．20 C．﹣15 D．15【考点十一计算单项式乘多项式】例题：（2023春·广东河源·七年级统考期末）计算：________．【变式训练】1．（2023春·广东佛山·七年级统考期末）计算：________．2．（2023春·广西贵港·七年级统考期末）计算：______【考点十二利用单项式乘多项式求字母的值】例题：（2023春·江苏·七年级专题练习）已知中不含x的二次项，则__．【变式训练】1．（2023春·七年级课时练习）若的结果中不含项，则____________．2．（2023春·七年级课时练习）若恒成立，则______．【考点十三单项式乘多项式的应用】例题：（2023春·贵州六盘水·七年级校联考阶段练习）如图，大小两个正方形边长分别为、．

(1)用含、的代数式阴影部分的面积；(2)若，求阴影部分面积．【变式训练】1．（2023·上海·七年级假期作业）王老师家买了一套新房，其结构如图所示（单位：）．他打算将卧室铺上木地板，其他地方铺地砖．(1)木地板和地砖分别需要多少平方米？(2)如果地砖的价格为每平方米x元，木地板的价格为每平方米元，那么王老师需要花多少钱？2．（2023秋·河北唐山·七年级唐山市第十二中学校考期末）如图，将边长为的小正方形和边长为的大正方形放在同一平面上．(1)用、表示阴影部分的面积______．（写最简结果）(2)计算当，时，阴影部分面积．(3)试着说明：白色部分面积与的大小无关．【考点十四计算多项式乘多项式】例题：（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）计算：．【变式训练】1．（2023·上海·七年级假期作业）计算：(1)；(2)；(3)．2．（2023秋·八年级课时练习）计算下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)．【考点十五(x+p)(x+q)型多项式乘法】例题：（2023春·浙江·七年级专题练习）计算：(1)(2)(3)(4)【变式训练】1．（2023春·江苏·七年级专题练习）探索题：(1)计算：＝_______，＝_________，＝__________；(2)发现：＝__________；并证明你的发现．2．（2023春·江苏·七年级专题练习）在运算中，我们如果能总结规律，并加以归纳，得出数学公式，一定会提高解题的速度．在解答下列问题中，请探究其中的规律．(1)计算后填空：_________；_________；_________；(2)归纳猜想后填空：____________(3)运用（2）中得到的结论，直接写出计算结果：______．【考点十六多项式乘多项式——化简求值】例题：（2023春·浙江金华·七年级统考期末）先化简，再求值：，其中．【变式训练】1．（2023春·湖南益阳·七年级统考期末）先化简，再求值：，其中．2．（2023·吉林松原·统考二模）先化简，再求值：，其中，．【类型十七利用乘法公式进行简便运算】例题：（2023春·广西北海·七年级统考期中）用简便方法计算：(1)(2)【变式训练】1．（2023春·北京海淀·七年级校考期末）用简便方法计算：．2．（2023春·江苏常州·七年级统考期中）用简便方法计算：(1)(2)3．（2023春·四川成都·七年级校考阶段练习）用简便方法计算．(1)(2)(3)；(4)．【类型十八利用乘法公式的变式求值】例题：（2023春·湖南怀化·七年级校考期中）已知：，．(1)求；(2)求．【变式训练】1．（2021春·广东深圳·七年级校考期中）已知：，，求下列代数式的值：(1)；(2)．2．（2023春·安徽安庆·八年级安庆市石化第一中学校考期末）已知，，求下列代数式的值．(1)；(2)．3．（2023春·辽宁沈阳·七年级校考阶段练习）已知，，求：(1)(2)【类型十九提多项式的公因式的因式分解法】例题：（2023秋·新疆阿克苏·八年级统考期末）分解因式：________．【变式训练】1．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）分解因式：_______．2．（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）分解因式：____________．3．（2023春·广西桂林·七年级统考期中）因式分解：【类型二十综合利用提公因式法和公式法因式分解】例题：（2023春·江苏苏州·七年级期末）把下列各式分解因式：(1)；(2)．【变式训练】1．（2023春·辽宁沈阳·八年级校考期中）把下列各式因式分解：(1)；(2)．2．（2023春·湖南怀化·七年级溆浦县第一中学校考期中）因式分解：(1)(2)3．（2022秋·四川巴中·八年级统考期中）因式分解：(1)；(2)4．（2023春·山东潍坊·七年级统考期末）因式分解(1)(2)(3)

第十四章整式的乘法与因式分解（题型突破）答案全解全析【考点一同底数幂相乘】例题：（2023春·陕西西安·七年级统考阶段练习）计算的结果是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【详解】解：，故选：C．【点睛】本题考查同底数幂的乘法：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）计算的结果是(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同底数幂的乘法法则计算即可．【详解】解：．故选：A．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，正确使用同底数幂相乘，底数不变，指数相加是关键．2．（2023·上海·七年级假期作业）计算下列各式，结果用幂的形式表示．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据同底数幂乘法的运算法则计算即可；（2）根据同底数幂乘法的运算法则计算即可；（3）根据同底数幂乘法的运算法则计算即可。【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式．【点睛】本题主要考查同底数幂相乘的计算，底数不变，指数相加；同时涉及到多重负号的化简，看“”号的个数决定运算结果的符号，奇负偶正．【考点二同底数乘法的逆用】例题：（2023春·江西吉安·七年级统考期中）若，则__________．【答案】【分析】逆用同底数幂的乘法，即可求解．【详解】解：∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）已知，，则______．【答案】6【分析】把原式化为，再代入计算即可．【详解】解：∵，，∴，故答案为：6【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法的逆运算，熟记运算公式是解本题的关键．2．（2023春·广东深圳·七年级校考期末）已知，，则的值为______．【答案】8【分析】根据进行求解即可．【详解】解：∵，，∴，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，熟知是解题的关键．【考点三幂的乘方运算】例题：（2023春·浙江绍兴·七年级统考期末）计算________．【答案】【分析】根据幂的乘方进行计算即可．【详解】，故答案为：．【点睛】本题考查幂的乘方，熟练掌握是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·河北唐山·七年级统考期中）计算：_________．【答案】【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可求解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方和同底数幂的乘法是解题的关键．2．（2023春·江苏南京·七年级南京市百家湖中学校考阶段练习）计算的结果是__________．【答案】【分析】根据幂的乘方及同底数幂的乘法可进行求解．【详解】解：；故答案为．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．3．（2023春·七年级单元测试）化简：（1）_______；（2）_______．【答案】【分析】（1）利用幂的乘方运算法则进行计算即可；（2）利用幂的乘方和同底数幂乘法运算法则进行计算即可．【详解】解：（1）；故答案为：；（2）；故答案为：．【点睛】本题主要考查了幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方和同底数幂乘法运算法则．【考点四幂的乘方的逆用】例题：（2023春·安徽六安·七年级统考期末）如果，则________．【答案】3【分析】根据公式，得，代入计算即可．【详解】∵，，∴，故答案为：3．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·广东茂名·七年级统考期中）若，，则_______．【答案】18【分析】利用同底数幂的乘法和幂的乘方逆运算法则解答即可．【详解】解：；故答案为：18．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，熟练掌握运算法则、正确变形是解题关键．2．（2023春·广东佛山·七年级校联考期中）已知，则______．【答案】【分析】根据幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法的逆用的运算法则进行计算即可．【详解】解：，，，故答案为：．【点睛】本题考查了幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法逆用，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．【考点五积的乘方运算】例题：（2023春·重庆南岸·七年级统考期末）计算：________．【答案】【分析】根据积的乘方运算法则计算即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了幂的运算，解题关键是熟练掌握积的乘方运算法则，准确进行计算．【变式训练】1．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）计算：______．【答案】【分析】根据积的乘方计算法则求解即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键．2．（2022春·七年级单元测试）计算：________．【答案】【分析】先计算幂的乘方和积的乘方，再算同底数幂的乘法，最后合并．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及了幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解题的关键是掌握相应的运算法则．【考点六积的乘方的逆用】例题：（2023春·江苏扬州·七年级校考期末）计算的结果是________．【答案】【分析】根据幂的乘方的运算法则及同底数幂乘法的运算法则即可解答．【详解】解：，故答案为；【点睛】本题考查了积的乘方、幂的乘方，同底数幂相乘，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·江西抚州·七年级南城县第二中学校考阶段练习）计算：_____．【答案】【分析】先把原式变形为，再利用积的乘方的法则进行求解即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握与灵活运用．2．（2023春·山东济南·七年级校考阶段练习）若，，则代数式的值是______．【答案】1【分析】运用乘的乘方逆运算法则对进行变形，再将a，b的值代入求值即可．【详解】解：，当，时，原式故答案为：1【点睛】本题考查了积的乘方逆运算，解决本题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则．【考点七同底数幂的除法】例题：（2023·天津河东·统考二模）计算的结果是___.【答案】【分析】根据同底数幂除法运算后直接得出答案．同底数幂相除，底数不变，指数相减．【详解】，故答案为：．【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，熟练掌握这一运算法则或公式是解题关键．【变式训练】1．（2023·陕西汉中·统考二模）计算：______．【答案】【分析】先算乘方，再根据同底数幂相除，底数不变，指数相减即可解答．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了同底数幂相除、乘方等知识点，正确运用同底数幂除法法则是解题的关键．2．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算：（1）___；（2）_____；（3）______．【答案】【分析】（1）根据同底数幂的除法进行计算即可求解；（2）根据同底数幂的除法进行计算即可求解；（3）根据同底数幂的除法进行计算即可求解．【详解】（1）故答案为：．（2），故答案为：．（3），故答案为：．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法的运算法则是解题的关键．【考点八同底数幂除法的逆用】例题：（2023春·四川成都·七年级成都实外校考期中）若，，则的值是__________．【答案】27【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，可得答案．【详解】解：∵，，∴，，，．故答案为：27．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．【变式训练】1．（2023春·江苏南京·七年级统考期末）若，，则______．【答案】【分析】根据同底数幂的除法法则和幂的乘方变形，代入运算即可．【详解】解：∵，，∴故答案为：．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，解答本题的关键是掌握运算法则的逆用．2．（2023春·江西吉安·七年级统考期末）已知，，，则__________．【答案】4【分析】根据同底数幂的乘除的逆运算把所求式子变形，即可求解．【详解】解：∵，，，∴，故答案为：4．【点睛】本题考查了同底数幂的乘除的逆运算，解题关键是结合已知把所求式子适当变形，用幂的运算求解．【考点九计算单项式乘单项式】例题：（2023·上海·七年级假期作业）计算：______．【答案】【分析】根据积的乘方及单项式乘以单项式运算法则，进行运算，即可求得结果．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了积的乘方及单项式乘以单项式运算法则，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．【变式训练】1．（2023春·陕西宝鸡·七年级统考期末）计算的结果是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据单项式乘以单项式进行计算即可求解．【详解】解：，故选：B．【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键．2．（2023春·湖南益阳·七年级统考期末）计算：___________．【答案】/【分析】根据单项式的乘法法则计算即可．【详解】原式=，故答案为：【点睛】本题考查单项式的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．【考点十利用单项式乘法求字母或代数式的值】例题：（2023春·浙江·七年级专题练习）已知单项式与的积为，那么、的值为（）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】按照单项式乘单项式计算单项式与的积，再根据单项式与的积为，即可求得答案．【详解】解：∵，单项式与的积为，∴，，故选：B【点睛】此题考查了单项式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·七年级课时练习）若，则的值分别为（）A．3，2 B．2，3 C．3，3 D．2，2【答案】B【分析】利用同底数幂的乘法法则将原式变形为，从而得到7n=14，2+k=5，可得结果．【详解】解：∵，∴7n=14，2+k=5，∴n=2，k=3，故选B．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握运算法则．2．（2023春·浙江·七年级专题练习）若单项式和3xy的积为，则ab的值为（）A．30 B．20 C．﹣15 D．15【答案】B【分析】根据单项式乘单项式的计算法则求出a，b，计算ab即可．【详解】解：×3xy＝＝，∴a+1＝5，b+1＝6，解得a＝4，b＝5，∴ab＝4×5＝20，故选：B．【点睛】此题考查了单项式乘单项式，解题的关键是掌握单项式乘单项式的运算法则．【考点十一计算单项式乘多项式】例题：（2023春·广东河源·七年级统考期末）计算：________．【答案】/【分析】直接利用单项式与多项式相乘的运算法则计算即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了单项式乘多项式，单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．【变式训练】1．（2023春·广东佛山·七年级统考期末）计算：________．【答案】【分析】根据单项式乘以多项式的法则，将单项式与多项式的每一项相乘，即可得解．【详解】解：原式．故答案为：．【点睛】本题主要考查单项式乘以多项式的运算法则，解决本题的关键是要熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则．2．（2023春·广西贵港·七年级统考期末）计算：______【答案】【分析】将多项式拆开，化成最简形式，式子从最高幂到最低幂，计算即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题主要考查单项式乘多项式，化成最简形式求出结果是解题的关键．【考点十二利用单项式乘多项式求字母的值】例题：（2023春·江苏·七年级专题练习）已知中不含x的二次项，则__．【答案】【分析】首先利用单项式乘以多项式去括号，进而得出的系数为0，进而求出答案．【详解】解：∵中不含x的二次项，∴中，，解得：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．【变式训练】1．（2023春·七年级课时练习）若的结果中不含项，则____________．【答案】0【分析】先利用单项式乘以多项式的法则计算，根据结果中不含x4项即可确定出a的值．【详解】解：，由结果中不含x4项，得到-5a=0，即a=0，故答案为：0．【点睛】此题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．2．（2023春·七年级课时练习）若恒成立，则______．【答案】-4【分析】去括号先根据合并同类项法则化简，根据已知找对应的单项式的系数相同即可得到答案．【详解】解：，恒成立，，，，，，，所以．故答案为：-4．【点睛】本主要考查整式的乘法和合并同类项法则，明确化简前后单项式的系数相同是解决问题的关键．【考点十三单项式乘多项式的应用】例题：（2023春·贵州六盘水·七年级校联考阶段练习）如图，大小两个正方形边长分别为、．

(1)用含、的代数式阴影部分的面积；(2)若，求阴影部分面积．【答案】(1)(2)6【分析】（1）利用面积作差即可求解；（2）利用非负数的性质先求出，的值，再将其代入即可求解．【详解】（1）解：由题意得，；（2）解：∵，，∴，∴，∴，∴【点睛】本题主要考查列代数式、非负数的性质，单项式乘以多项式，根据图形正确表示出阴影部分的面积是解题关键．【变式训练】1．（2023·上海·七年级假期作业）王老师家买了一套新房，其结构如图所示（单位：）．他打算将卧室铺上木地板，其他地方铺地砖．(1)木地板和地砖分别需要多少平方米？(2)如果地砖的价格为每平方米x元，木地板的价格为每平方米元，那么王老师需要花多少钱？【答案】(1)木地板需要平方米，地砖需要平方米(2)王老师需要花元【分析】（1）根据长方形面积公式分别求出卧室的面积，厨房、卫生间和客厅的面积之和即可得到答案；（2）根据花费单价面积进行求解即可．【详解】（1）解：卧室的面积是：（平方米），厨房、卫生间和客厅的面积之和为（平方米）∴木地板需要平方米，地砖需要平方米；（2）解：（元）∴王老师需要花元．【点睛】本题主要考查了单项式乘以多项式和单项式乘以单项式的实际应用，正确计算是解题的关键．2．（2023秋·河北唐山·七年级唐山市第十二中学校考期末）如图，将边长为的小正方形和边长为的大正方形放在同一平面上．(1)用、表示阴影部分的面积______．（写最简结果）(2)计算当，时，阴影部分面积．(3)试着说明：白色部分面积与的大小无关．【答案】(1)(2)(3)见解析【分析】（1）分别求出两个三角形面积，即可得出答案；（2）把、的值代入，即可求得答案．（3）根据题意表示出白色部分的面积即可求解．【详解】（1）解：图中阴影部分的面积：．（2）解：当，时，阴影部分的面积为：（3）解：白色部分的面积为．∴白色部分面积与的大小无关．【点睛】本题考查了求代数式的值和列代数式，整式的加减，能正确表示出阴影部分的面积是解此题的关键．【考点十四计算多项式乘多项式】例题：（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）计算：．【答案】．【分析】根据单项式乘以多项式、多项式乘以多项式运算法则即可求解．【详解】解：原式．【点睛】本题考查单项式乘以多项式、多项式乘以多项式运算法则，解题的关键是掌握法则，正确计算．【变式训练】1．（2023·上海·七年级假期作业）计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）（2）（3）利用多项式的乘法法则即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【点睛】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再进行合并同类项运算；（3）式计算中注意观察，运用整体思想，会使计算变得简单．2．（2023秋·八年级课时练习）计算下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案．（2）直接利用多项式乘以多项式运算法则、单项式乘多项式运算法则计算得出答案．（3）直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案．（4）直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案．【详解】（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：【点睛】本题考查了整式的乘法，掌握其计算法则是解题的关键．【考点十五(x+p)(x+q)型多项式乘法】例题：（2023春·浙江·七年级专题练习）计算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解；（2）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解；（3）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解；（4）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·江苏·七年级专题练习）探索题：(1)计算：＝_______，＝_________，＝__________；(2)发现：＝__________；并证明你的发现．【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】（1）利用多项式乘多项式的运算法则进行计算．（2）利用（1）中的计算结果得出结论，再利用多项式乘多项式的运算法则进行证明．【详解】（1）解：．．．故答案分别为：．（2）解：．证明如下：．【点睛】本题考查了多项式乘多项式的运算法则，还考查了整式乘法的计算规律问题的处理能力，解题的关键是能准确利用整式乘法法则进行计算和归纳．2．（2023春·江苏·七年级专题练习）在运算中，我们如果能总结规律，并加以归纳，得出数学公式，一定会提高解题的速度．在解答下列问题中，请探究其中的规律．(1)计算后填空：_________；_________；_________；(2)归纳猜想后填空：____________(3)运用（2）中得到的结论，直接写出计算结果：______．【答案】(1)；；(2)，(3)【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则进行计算即可；（2）根据（1）的结果得出规律即可；（3）根据得出即可．【详解】（1）故答案为：；；．（2）故答案为：，．（3）故答案为：．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的应用，主要考查学生的计算能力．【考点十六多项式乘多项式——化简求值】例题：（2023春·浙江金华·七年级统考期末）先化简，再求值：，其中．【答案】，5【分析】根据整式的混合运算法则先化简，再将代入求值．【详解】∵∴原式．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算及其求值，正确计算是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·湖南益阳·七年级统考期末）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】根据整式的运算法则，将代数式化成最简形式，将字母值代入求解．【详解】解：原式．当时，原式【点睛】本题考查整式的运算，求代数式值，掌握法则是解题的关键．2．（2023·吉林松原·统考二模）先化简，再求值：，其中，．【答案】，【分析】先根据单项式乘多项式和多项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．【详解】解：，当，时，原式．【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．【类型十七利用乘法公式进行简便运算】例题：（2023春·广西北海·七年级统考期中）用简便方法计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）把原式变形为，然后利用平方差公式求解即可；（2）把原式变形为，然后利用完全平方公式进行求解即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键：．【变式训练】1．（2023春·北京海淀·七年级校考期末）用简便方法计算：．【答案】【分析】利用完全平方公式进行变型，计算即可．【详解】．【点睛】本题考查对完全平方公式的灵活应用能力，当所求的式子有三项，且满足完全平方公式的特点，运用完全平方公式进行求值可简化运算．2．（2023春·江苏常州·七年级统考期中）用简便方法计算：(1)(2)【答案】(1)9999(2)400【分析】（1）根据平方差公式简化运算即可；（2）根据同底数幂的乘法公式简化运算即可．【详解】（1）；（2）．【点睛】本题考查了平方差公式，同底数幂的乘法，熟练掌握这些知识是解题的关键．3．（2023春·四川成都·七年级校考阶段练习）用简便方法计算．(1)(2)(3)；(4)．【答案】(1)(2)1(3)(4)【分析】（1）先变形，再利用完全平方公式展开计算；（2）先变形为，再利用平方差公式计算即可；（3）根据完全平方公式将原式化为即可；（4）配上因式，连续使用平方差公式进行计算即可．【详解】（1）解：；（2）；（3）；（4）．【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提．【类型十八利用乘法公式的变式求值】例题：（2023春·湖南怀化·七年级校考期中）已知：，．(1)求；(2)求．【答案】(1)9(2)1【分析】（1）先运用完全平方公式分别计算，然后联立即可解答；（2）先运用完全平方公式分别计算，然后联立即可解答．【详解】（1）解：①，②则得：，解得．（2）解：①，②则得：，解得．【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．【变式训练】1．（2021春·广东深圳·七年级校考期中）已知：，，求下列代数式的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）将已知完全平方公式展开，再代入计算即可得到答案；（2）将所求完全平方式展开后，整体代入计算可得答案．【详解】（1）∵，，∴；（2）∵，，∴．【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2．（2023春·安徽安庆·八年级安庆市石化第一中学校考期末）已知，，求下列代数式的值．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出的值，再根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；（2）先算出的值，再根据平方差公式把原式变形，代入计算，得到答案．【详解】（1）解：，，，；（2），，．【点睛】本题考查了代数式求值，涉及平方差公式和完全平方公式运算的应用，算出和的值代入变形的原式是解答本题的关键．3．（2023春·辽宁沈阳·七年级校考阶段练习）已知，，求：(1)(2)【答案】(1)(2)或【分析】（1）原式变形为，然后把，，代入计算即可求出结果．（2）变形为，然后把，，代入计算即可求出平方根即可求解．【详解】（1）解：∵，，∴；（2）解：∵，，∴，∴．【点睛】本题考查了完全平方公式，求一个数的平方根，熟练地运用公式进行变形是解答本题的关键．【类型十九提