5.3 三角形的中位线 同步练习

第五章平行四边形3三角形的中位线基础过关全练知识点1一条中位线问题1.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,点D,E分别是直角边AC,BC的中点,连接DE,则∠CED的度数是()A.70° B.60° C.30° D.20°2.如图,在△ABC中,点M,N分别是AB,AC的中点,延长CB至点D,使MN=BD,连接DN,若CD=6,则MN的长为()A.2 B.3 C.4 D.6第2题图第3题图3.如图,在△ABC中,AB=10,BC=6,点D为AB上一点,BC=BD,BE⊥CD于点E,点F为AC的中点,连接EF,则EF的长为____________.4.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC,AC的中点,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F，求∠F的度数.知识点2多条中位线问题5如图,在△ABC中,AB=3,BC=2,D,E,F分别为AB,BC,AC的中点,连接DF,FE,则四边形DBEF的周长是()A.5 B.7 C.9 D.11第5题图第6题图6.如图，面积为2的等边三角形ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点，则△DEF的面积为()A.14 B.1 C.7.如图，在四边形ABCD中，E,F分别是AD,BC的中点，点G是对角线BD的中点,连接GE,GF,EF,若AB=CD,∠ABD=20°,∠BDC=70°,则∠GEF=()A.25° B.30° C.45° D.35°8.如图,四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,AC=BD,E,F,G分别是AB,CD,BC的中点,连接EG,FG,EF,EF分别交BD,AC于M,N.求证:∠PMN=∠PNM.能力提升全练1.如图,点G为△ABC的重心,连接CG,AG并延长分别交AB,BC于点E,F,连接EF,若AB=4.4,AC=3.4,BC=3.6,则EF的长度为()A.1.7 B.1.8 C.2.2 D.2.4 第1题图第2题图2.如图,在△ABC中,∠A=90°,AC>AB>4,点D,E分别在边AB,AC上,BD=4,CE=3,分别取DE,BC的中点M,N,则线段MN的长为()A.2.5 B.3 C.4 D.53.如图，图(1)是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到第2个图形(图(2))，再连接图(2)中间小三角形三边的中点得到第3个图形(图(3))，…，以此规律进行下去，则第n(n>1)个图形中有__________个平行四边形.4.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6,BC=8,点D是线段BC上一动点，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是_____________.5.如图，已知等边△ABC,CD⊥AB于点D,AF⊥AC,E为线段CD上一点,且CE=AF,连接BE,BF,EG⊥BF于G,连接DG.(1)求证:BE=BF;(2)试判断DG与AF的位置和数量关系，并加以证明.素养探究全练6.如图(1)，在△ABC中,点D是边BC的中点,点E在△ABC内,AE平分∠BAC,CE⊥AE,点F在边AB上,EF∥BC.(1)求证：四边形BDEF是平行四边形.(2)判断线段BF，AB，AC之间具有怎样的数量关系?证明你所得到的结论.(3)如图(2),点P是△ABC的边AB上的一点,若△DCE的面积.S△

第五章平行四边形3三角形的中位线参考答案基础过关全练1.B【解析】在Rt△ABC中,∠A=30°,则∠B=90°-∠A=60°.∵D,E分别是边AC,BC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥AB,∴∠CED=∠B=60°,故选B.2.A【解析】∵点M,N分别是AB,AC的中点,∴MN=13.2【解析】由题意得BD=BC=6,∴AD=AB-BD=4.∵BC=BD,BE⊥CD,∴CE=ED.又∵点F为AC的中点,∴EF=4.【解】∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.∵点D,E分别是边BC,AC的中点,∴DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°.∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°,∴∠F=90°-∠EDC=30°.5.A【解析】∵D,E,F分别为AB,BC,AC的中点,∴DB=16.D【解析】∵D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,∴DF为△ABC的中位线,∴DF∥BC,DF=BE=EC=在△EDF和△DEB中DF=EB,∠EDF=∠DEB,同理可证得△DEF≌△CFE,△DEF≌△FAD.∵S△ABC=2,∴S7.A【解析】∵E,G分别是AD,BD的中点,∴EG是△ADB的中位线,∴EG=EG∥AB,∴∠EGD=∠ABD=20°,同理可得FG=1∴EG=FG,∴∠GEF=18.【证明】∵E,F分别为AB,CD的中点,∴EGAC,EG=12∵AC=BD,∴EG=FG,∴∠GEF=∠GFE.又∵∠GEF=∠PNM,∠GFE=∠PMN,∴∠PMN=∠PNM.能力提升全练1.A【解析】∵点G为△ABC的重心,∴AE=BE,BF=CF,∴EF=12.A【解析】如图,作CH∥AB,连接DN并延长交CH于H,连接EH.∵BD∥CH,∴∠B=∠NCH,∠ECH+∠A=180°.∵∠A=90°,∴∠ECH=∠A=90°.在△DNB和△HNC中,∠B=∠NCH,BN=CN,∴CH=BD=4,DN=NH.在Rt△CEH中,CH=4,CE=3,∴EH=C3.(3n-3)【解析】分别数出图(1)、图(2)、图(3)中的平行四边形的个数，图(1)中平行四边形的个数为0=3×(1-1);图(2)中平行四边形的个数为3=3×(2-1);图(3)中平行四边形的个数为6=3×(3-1);⋯.可以发现,第n个图形中平行四边形的个数等于3与n-1的乘积，即第n个图形中共有平行四边形的个数为3n-3.故答案为(3n-3).4.6【解析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O,当OD⊥BC时,OD最小,此时DE最小.∵OD⊥BC,BC⊥AB,∴OD∥AB.又∵OC=OA,∴OD是△ABC的中位线,∴OD=5.(1)【证明】在等边△ABC中,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC.∵CD⊥AB,∴AD=BD,∠ACD=∠BCD=30°.又∵AF⊥AC,∴∠FAC=90°,∴∠FAB=30°,∴∠FAB=∠ECB=30°.在△BEC和△BFA中,BC=AB,∠BCE=∠BAF,2DG=1证明：如图，连接EF.由BE=BF添加辅助线构造等边三角形，利用其三线合一的性质得到中点，进而利用三角形中位线定理得证.由△BCE≌△BAF可知∠CBE=∠ABF,∴∠FBE=60°.又∵BE=BF,∴△BEF是等边三角形.∵EG⊥BF,∴FG=BG.∵AD=BD,∴DG是△ABF的中位线,∴DG=12素养探究全练6.(1)【证明】延长CE交AB于点G,如图.∵AE⊥CE,∴∠AEG=∠AEC=90°.又∵AE平分∠BAC,∴∠GAE=∠CAE.在△AEG和△AEC中∠CAE=∠CAE,AE=AE,∠AEG=∠AEC,∴△AEG≌△AEC(ASA),∴GE=EC.∵点D是边BC的中点,∴BD=CD,∴DE为△CGB的中位线,∴DE∥AB.又∵EF∥BC