专题04 构造中位线的方法

第五章平行四边形专题构造中位线的方法类型1取一边中点构造三角形的中位线1.如图,在△ABC中,延长BC至D,使得CD=12BC,A.3 B.4 C.23 第1题图第2题图2.如图,DE是△ABC的中位线,F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△CEF的面积为12cm²,则S△DGF的值为(A.4cm² B.6cm² C.8cm² D.9cm²3.如图,在四边形ABCD中,AB与CD不平行,M,N分别是AD,BC的中点,AB=4,DC=2.对于MN的长,给出了四种猜测:①MN=4;②MN=3;③MN=2;④MN=1.猜测正确的是()A.① B.② C.③ D.④第3题图第4题图4.如图，AD是△ABC的中线,M是AD的中点,连接BM并延长交AC于点N,若AC=4,则AN=___________.5.如图,在△ABC中,∠C=90°,CA=CB,E,F分别为CA,CB上一点,且CE=CF,M,N分别为AF,BE的中点,求证:AE²=2MN².类型2连接两点构造三角形的中位线6.如图，四边形ABCD中,∠A=90°,AB=8,AD=6,点M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为()A.8 B.7 C.6 D.5第6题图第7题图7.如图,在▱ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,EH⊥AC,垂足为H,与AF交于点G,若AC=24,GF=65,则EG的长为8.已知在△ABC中,D是BC上的一点,E,F,G,H分别是BD,BC,AC,AD的中点.求证:EG,HF互相平分.类型3取连接线中点构造三角形中位线9.如图,在▱ABCD中，E是CD的中点，连接AE,BE,F是AE的中点,连接CF交BE于点G,若BE=8,则GE的长为____________.10.如图，在四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点.(1)若AB=6,CD=8,∠ABD=30°,∠BDC=120°,求EF的长;(2)若∠BDC-∠ABD=90°,求证:AB²+CD²=4EF².类型4利用角平分线和垂直构造三角形的中位线11.如图,在△ABC中,点M为BC的中点,AD为△ABC的外角平分线,且AD⊥BD,若AB=6,AC=9,则MD的长为_____________.12.如图,在△ABC中,AD是中线,AE是∠BAC的平分线,CF⊥AE于F,AB=10,AC=6,求DF的长.13.如图,在△ABC中,AE平分∠BAC,BE⊥AE于点E,点F是BC的中点,连接EF.(1)如图(1)，BE的延长线与AC边相交于点D,求证:EF=(2)如图(2),AB=9,AC=5,求线段EF的长.

第五章平行四边形专题构造中位线的方法参考答案1.B【解析】如图,取BC的中点G,连接EG.∵E是AC的中点,∴EG=12.A【解析】如图,取CG的中点H,连接EH.∵E是AC的中点,∴EH是△ACG的中位线,∴EH∥AD,∴∠GDF=∠HEF.∵F是DE的中点,∴DF=EF.又∵∠DFG=∠EFH,∴△DFG≌△EFH(ASA),∴FG=FH,又∵FC=FH+HC=FH+GH=FH+FG+FH=3FH,∴S3.C【解析】如图,连接BD,取BD的中点G,连接MG,NG.∵点M,N分别是AD,BC的中点,∴MG是△ABD的中位线,NG是△BCD的中位线,∴AB=2MG,DC=2NG.∵AB=4,DC=2,∴MG=2,NG=1,由三角形三边关系得MG-NG<MN<MG+NG,∴1<MN<3,∴③猜测正确.故选C.4.4∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD.∵CE=EN,∴DE∥BN.∵M是AD的中点,∴易知点N为AE中点,∴AN=EN,∴AN=EN=CE=1∵AC=4,∴AN=43第4题图第5题图5.【证明】如图,取AB的中点G,连接MG,NG.∵M,N分别为AF,BE的中点,∴NG=∵CA=CB,CE=CF,AC⊥BC,∴AE=BF,NG⊥MG,∴MG=NG,∠MGN=90°,∴△MNG是等腰直角三角形,∴MG²+NG²=MN²,∴2NG²=MN².∵AE=2NG,∴AE²=4NG²=2MN².6.D【解析】如图,连接DN.∵点E,F分别为DM,MN的中点,∴EF是△MND的中位线,∴EF=∵点M,N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，∴当点N与点B重合时，DN有最大值，此时DN=AB27.6【解析】如图,连接EF.∵E,F分别是AB,BC的中点,∴EF是△BAC的中位线,∴EF=1∵EH⊥AC,∴EH⊥EF,即∠FEG=90°,∴EG=G8.【证明】连接EH,GH,GF.∵E,F,G,H分别是BD,BC,AC,AD的中点,∴AB∥EH∥GF,GH∥BC,∴GH∥EF,∴四边形EHGF为平行四边形.∵GE,HF为平行四边形EHGF的对角线,∴EG,HF互相平分.9.2【解析】取BE的中点M,连接FM,CM,如图所示.∵F为AE的中点,M为BE的中点,∴MF=12∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC=AB,DC∥AB.∵E为CD的中点,∴CE=1∵BM=EM=110.(1)【解】如图,取BD的中点P,连接EP,FP.∵E,F分别是AD,BC的中点,AB=6,CD=8,∴PE∥AB,且PE=12AB=3,PF在Rt△EPF中,由勾股定理得EF=E(2)【证明】∵E,F分别是AD,BC的中点,∴PE∥AB,且PE=12AB,∵∠BDC-∠ABD=90°,∴∠BDC=90°+∠ABD,∴∠EPF=∠EPD+∠DPF=∠ABD+180°-∠BDC=∠ABD+180°-(90°+∠ABD)=90°,∴PE11.7.5【解析】如图,延长BD交CA的延长线于E.∵AD为∠BAE的平分线,BD⊥AD,∴∠EAD=∠BAD,∠ADE=∠ADB=90°.∵AD=AD,∴△ADE≌△ADB(ASA),∴BD=DE,AB=AE=6,∴CE=AC+AE=9+6=15.又∵M为BC的中点,∴DM是△BCE的中位线,∴MD=1第11题图第12题图12.【解】如图,延长CF交AB于点G,交AD于点H.∵AE平分∠BAC,∴∠GAF=∠CAF.∵AF⊥CG,∴∠AFG=∠AFC=90°.又∵AF=AF,∴△AFG≌△AFC(ASA),∴AG=AC,GF=CF.又∵点D是BC中点,∴DF是△CBG的中位线,∴DF=13.(1)【证明】∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠DAE.∵BE⊥