苏科版九年级数学上学期期中考点大串讲专题01解一元二次方程【考题猜想30题5种题型】(原卷版+解析)

专题01解一元二次方程（30题5种题型）一、一元一次方程1．（2022秋·北京朝阳·九年级和平街第一中学校考期中）证明：关于x的方程，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．2．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考期中）为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．[观察思考]图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．(1)[规律总结]图4灰砖有______块，白砖有______块；图n灰砖有______块时，白砖有______块；(2)[问题解决]是否存在白砖数恰好比灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由．3．（2019秋·重庆江津·九年级校联考期末）先化简，再求值：，其中，a是方程x2﹣3x+1=0的根．二、一元二次方程的解法4．（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌鲁木齐市实验学校校考期中）用指定的方法解下列方程：（1）；（直接开平方法）（2）；（配方法）（3）；（公式法）（4）．（因式分解法）5．（2022秋·福建龙岩·九年级龙岩二中校考期中）已知关于x的方程（m﹣）﹣x＝3，试问：(1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？(2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？6．（2022秋·河北邯郸·九年级统考期中）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0．7．（2022秋·福建泉州·九年级晋江市第一中学校考期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”．(1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；①x2﹣5x﹣6＝0；②x2﹣x＋1＝0；(2)已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值；(3)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝10a﹣b2，求t的最大值．8．（2023秋·河南平顶山·九年级统考期末）已知关于，的方程组与的解相同．（1）求，的值；（2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．9．（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）已知：关于x的一元二次方程(1)已知x=2是方程的一个根，求m的值；(2)以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB<AC）的边长，当BC=时，△ABC是直角三角形，求此时m的值．10．（2022秋·江苏·九年级期中）定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．（1）写出一元二次方程的“友好方程”_______．（2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根、________．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论．（3）已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根．11．（2022秋·江西赣州·九年级统考期中）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：小敏：两边同除以，得，则．小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．12．（2021秋·湖南·九年级校联考期中）阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．问题：解方程（提示：可以用换元法解方程），解：设，则有，原方程可化为：，续解：13．（2022秋·湖南永州·九年级校考期中）阅读下列材料，解答问题．．解：设，则，原方程可化为，，即．或，解得．请利用上述方法解方程：．14．（2023秋·重庆渝中·九年级统考期末）阅读材料，解答问题．解方程：．解：把视为一个整体，设，则原方程可化为．解得，．或．，．以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照材料解下列方程：(1)；(2)．三、一元二次方程根的判别式15．（2023秋·湖南益阳·九年级校联考期末）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根．(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积．16．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若，且此方程的两个实数根的差为3，求的值．17．（2022·北京西城·九年级北师大实验中学校考期末）已知关于的一元二次方程．(1)求证：此方程总有两个实数根；(2)若此方程恰有一个根小于0，求的取值范围．18．（2023秋·河南商丘·九年级校联考期末）已知T=(1)化简T；(2)若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值．19．（2022秋·河南周口·九年级统考期末）因式定理：对于多项式，若，则是的一个因式，并且可以通过添减单项式从中分离出来．已知．(1)填空：当时，，所以是的一个因式．于是．则________________；(2)已知关于x的方程的三个根是一个等腰三角形的三边长，求实数k的值．四、一元二次根与系数的关系20．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m＋n＝1，mn＝－1，则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝；x1x2＝．(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．21．（2022秋·广东茂名·九年级茂名市第一中学校考期中）阅读材料：材料1：若一元二次方程的两个根为，则，．材料2：已知实数，满足，，且，求的值．解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以根据上述材料解决以下问题：(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，____________．(2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．(3)思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求的值．22．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）已知关于x的方程：x2＋（m﹣2）x﹣m＝0．(1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根．(2)设非0实数m，n是方程的两根，试求m﹣n的值．23．（2022秋·四川绵阳·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若方程的两个不相等实数根是a，b，求的值．24．（2022秋·广东汕头·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程．（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根，，且，求的值．25．（2022秋·福建泉州·九年级福建省惠安第一中学校联考期中）已知关于x的一元二次方程x2－（2m－1）x＋m2＝0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1＋x2＝2－x1x2，求m的值．26．（2022秋·湖北鄂州·九年级统考期末）设，是关于x的一元二次方程的两个实数根．(1)求m的取值范围；(2)若，求m的值．五、与一元二次方程有关的存在性问题27．（2022秋·江苏苏州·九年级苏州工业园区星湾学校校考期中）已知，是一元二次方程的两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由．28．（2022秋·湖北荆州·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程有，两实数根．（1）若，求及的值；（2）是否存在实数，满足？若存在，求出求实数的值；若不存在，请说明理由．29．（2023秋·湖南衡阳·九年级校考期末）关于的方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围．(2)是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由30．（2022秋·福建泉州·九年级福建省泉州第一中学校联考期中）已知方程①：为关于x的方程，且方程①的解为非正数；方程②：（k、m、n均为实数）为关于x的一元二次方程．(1)求k的取值范围；(2)如果方程②的解为负整数，，且k为整数，求整数m的值；(3)当方程②有两个实数根，满足，且k为正整数，试判断是否成立？并说明理由．

专题01解一元二次方程（30题5种题型）一、一元一次方程1．（2022秋·北京朝阳·九年级和平街第一中学校考期中）证明：关于x的方程，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．【答案】见详解【分析】根据一元二次方程的定义可进行求解．【详解】解：由关于x的方程可知：，∵，∴，∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．2．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考期中）为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．[观察思考]图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．(1)[规律总结]图4灰砖有______块，白砖有______块；图n灰砖有______块时，白砖有______块；(2)[问题解决]是否存在白砖数恰好比灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由．【答案】(1)16，20；，4n＋4(2)存在，见解析【分析】（1）根据图形算出图3白砖和灰砖的数量，再根据图形规律算出图4白砖和灰砖的数量，通过图1到图4的数字规律得出图n白砖和灰砖的数量；（2）假设存在图n白砖数恰好比灰砖数少1的情形，根据白砖和灰砖的数量建立方程，方程有解证明假设成立．【详解】（1）图3的灰砖数量应为1+2+3+2+1=9图3的白砖数量为12+4=16图4的灰砖数量应为1+2+3+4+3+2+1=16图4的白砖应比图3上下各多一行得图4白砖的数量为：16+4=20图1灰砖的数量为1图2灰砖的数量为4图3灰砖的数量为9图4灰砖的数量为16得图灰砖的数量为图1白砖的数量为8=图2白砖的数量为12=图3白砖的数量为16=图4白砖的数量为20=得图白砖的数量为故答案为：16，20；，4n＋4．（2）假设存在，设图n白砖数恰好比灰砖数少1∴白砖数量为，灰砖数量为∴=∴∴∴，或（舍去）故当时，白砖的数量为24，灰砖的数量为25，白砖比灰砖少1故答案为：存在．【点睛】本题考查数字规律和一元二次方程的相关知识，解题的关键是掌握数字规律的分析方法和一元二次方程的性质．3．（2019秋·重庆江津·九年级校联考期末）先化简，再求值：，其中，a是方程x2﹣3x+1=0的根．【答案】.【分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式除法运算，把a代入方程后得到a2﹣3a的值，然后代入化简后的结果进行计算即可.【详解】原式====（a2-3a），∵a是方程x2﹣3x+1=0的根，∴a2﹣3a+1=0，∴a2﹣3a=﹣1，∴原式=.【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，熟练掌握分式混合运算的运算法则、运用整体代入思想是解题的关键.二、一元二次方程的解法4．（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌鲁木齐市实验学校校考期中）用指定的方法解下列方程：（1）；（直接开平方法）（2）；（配方法）（3）；（公式法）（4）．（因式分解法）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）直接开平方转化为一元一次方程求解即可；（2）利用配方法求解即可；（3）利用求根公式进行求解即可；（4）先变号，再提公因式进行计算即可．【详解】解：（1），开平方，得，解得；（2），移项，得，二次项系数化为1，得，配方，得，即，开平方，得，解得；（3），，，即；（4），，分解因式，得，∴或，解得．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握每种方法的解题步骤是解题的关键．5．（2022秋·福建龙岩·九年级龙岩二中校考期中）已知关于x的方程（m﹣）﹣x＝3，试问：(1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？(2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？【答案】(1)m＝或或(2)【分析】（1）根据方程中只含有一个未知数且未知数的最高次数是1次的整式方程是一元一次方程，可得答案；（2）根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【详解】（1）解：由题意，得m2﹣1＝1，解得m＝，当m＝时，该方程是一元一次方程；m﹣＝0，解得m＝，当m＝时，该方程是一元一次方程；m2﹣1＝0，解得m＝±1，m＝±1时，该方程是一元一次方程，综上，当m＝或或±1时，该方程是关于x的一元一次方程；（2）解：由题意，得m2﹣1＝2且m﹣≠0，解得m＝﹣，当m＝﹣时，该方程是关于x的一元二次方程．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0)，特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．6．（2022秋·河北邯郸·九年级统考期中）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0．【答案】（1）＜，＜；（2）①x1=-1+，x2=-1-；②x1=0，x2=3；③x1=2+，x2=2-；④x1=-2，x2=2．【分析】（1）由题意可知：a＜0，b＞0，据此求解即可；（2）找出适当的方法解一元二次方程即可．【详解】解：（1）由题意可知：a＜0，b＞0，∴a＜b，ab＜0；故答案为：＜，＜；（2）①x2+2x−1=0；移项得x2+2x=1，配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2，则x+1=±，∴x1=-1+，x2=-1-；②x2−3x=0；因式分解得x(x-3)=0，则x=0或x-3=0，解得x1=0，x2=3；③x2−4x=4；配方得x2-4x+4=4+4，即(x-2)2=8，则x-2=±，∴x1=2+，x2=2-；④x2−4=0．因式分解得(x+2)(x-2)=0，则x+2=0或x-2=0，解得x1=-2，x2=2．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．还考查了实数与数轴．7．（2022秋·福建泉州·九年级晋江市第一中学校考期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”．(1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；①x2﹣5x﹣6＝0；②x2﹣x＋1＝0；(2)已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值；(3)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝10a﹣b2，求t的最大值．【答案】(1)①不是“差1方程”，理由见解析；②是“差1方程”，理由见解析(2)或(3)时，的最大值为9【分析】（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“差1方程”；（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出的方程，注意有两种情况；（3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出与的关系式，再由，得与的关系，从而得出最后结果．【详解】（1）解：①解方程得：，或，，不是“差1方程”；②，∴，，是“差1方程”；（2）解：方程得：，或，方程是常数）是“差1方程”，或，或；（3）解：由题可得：∴解方程得，关于的方程、是常数，是“差1方程”，，，，，，时，的最大值为9．【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义，本题属于中等题型．8．（2023秋·河南平顶山·九年级统考期末）已知关于，的方程组与的解相同．（1）求，的值；（2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．【答案】（1）；（2）等腰直角三角形，理由见解析【分析】（1）关于x，y的方程组与的解相同．实际就是方程组的解，可求出方程组的解，进而确定a、b的值；（2）将a、b的值代入关于x的方程x2＋ax＋b＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与为边长，判断三角形的形状．【详解】解：由题意列方程组：解得将，分别代入和解得，∴，（2）解得这个三角形是等腰直角三角形理由如下：∵∴该三角形是等腰直角三角形．【点睛】本题考查一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是得出正确答案的关键．9．（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）已知：关于x的一元二次方程(1)已知x=2是方程的一个根，求m的值；(2)以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB<AC）的边长，当BC=时，△ABC是直角三角形，求此时m的值．【答案】(1)m=0或m=1(2)m=0或m=1【分析】（1）把x=2代入方程得到关于m的一元二次方程，然后解关于m的方程即可；（2）先计算出判别式，再利用求根公式得到，，则AC=m+2，AB=m+1．因为△ABC是直角三角形，所以当BC或AC为斜边时根据勾股定理分别解关于m的一元二次方程即可．【详解】（1）解：∵x=2是方程的一个根，∴，∴m=0或m=1；（2）解：∵△=，∴x=∴，，∴AB、AC（AB＜AC）的长是这个方程的两个实数根，∴AC=m+2>0，AB=m+1>0．∴m>-1．∵BC=，△ABC是直角三角形，∴当BC为斜边时，有，解这个方程，得(不符合题意，舍去)，；当AC为斜边时，有，解这个方程，得．综上所述，当m=0或m=1时，△ABC是直角三角形．【点睛】此题考查了解一元二次方程和直角三角形的判定，解题的关键是掌握公式法解一元二次方程，熟练运用勾股定理进行分类讨论．10．（2022秋·江苏·九年级期中）定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．（1）写出一元二次方程的“友好方程”_______．（2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根、________．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论．（3）已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根．【答案】（1）-10x2+3x+1=0；（2），互为倒数，证明见解析；（3）x5=0，x6=2022．【分析】（1）根据“友好方程”的定义写出对应的友好方程即可；（2）因式分解法求出每个方程的两个实数根，原方程与“友好方程”的根得出规律，再用求根公式去验证即可；（3）先根据“友好方程”的根的特点得出-cx2+bx+2021=0，即cx2-bx-2021=0的两根为x3=-1，x4=2020，将待求方程变形为（x-1）2-b（x-1）-2021=0，把x-1看做整体即可求解．【详解】解：（1）一元二次方程x2+3x-10=0的“友好方程”为：-10x2+3x+1=0，故答案为：-10x2+3x+1=0；（2）-10x2+3x+1=0，，解得，，，根据以上结论，猜想ax2+bx+c=0的两根x1、x2与其“友好方程”cx2+bx+a=0的两根x3、x4之间存在的一种特殊关系为互为倒数，证明如下：∵一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为，“友好方程”cx2+bx+a=0的两根为．∴，，即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数；故答案为：，互为倒数；（3）∵方程2021x2+bx-c=0的两根是，∴该方程的“友好方程”-cx2+bx+2021=0，即cx2-bx-2021=0的两根为x3=-1，x4=2021，则c（x-1）2-bx+b=2021，即c（x-1）2-b（x-1）-2021=0中x-1=-1或x-1=2021，∴该方程的解为x5=0，x6=2022．利用（2）中的结论，写出关于x的方程（x-1）2-bx+b=2021的两根为x5=0，x6=2022，故答案为x5=0，x6=2022．【点睛】本题主要考查新定义下一元二次方程根与系数的关系及求根公式的运用，掌握并灵活运用新定义是解题的关键．11．（2022秋·江西赣州·九年级统考期中）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：小敏：两边同除以，得，则．小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．【答案】两位同学的解法都错误，正确过程见解析【分析】根据因式分解法解一元二次方程【详解】解：小敏：两边同除以，得，则．（×）小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．（×）正确解答：移项，得，提取公因式，得，去括号，得，则或，解得，．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键．12．（2021秋·湖南·九年级校联考期中）阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．问题：解方程（提示：可以用换元法解方程），解：设，则有，原方程可化为：，续解：【答案】，．【分析】利用因式分解法解方程t2+4t-5=0得到t1=-5，t2=1，再解方程，然后进行检验确定原方程的解．【详解】续解：，，解得，（不合题意，舍去），，，，，经检验都是方程的解．【点睛】本题考查了换元法解方程，涉及了无理方程及一元二次方程的解法．看懂提示是解决本题的关键．换元法的一般步骤：设元、换元、解元、还元．13．（2022秋·湖南永州·九年级校考期中）阅读下列材料，解答问题．．解：设，则，原方程可化为，，即．或，解得．请利用上述方法解方程：．【答案】x1=，x2=【分析】设m＝4x-5，n＝3x-2，则m-n＝（4x-5）-（3x-2）＝x-3，代入后求出mn＝0，即可得出（4x-5）（3x-2）＝0，求出即可．【详解】解：（4x-5）2+（3x-2）2＝（x-3）2，设m＝4x-5，n＝3x-2，则m-n＝（4x-5）-（3x-2）＝x-3，原方程化为：m2+n2＝（m-n）2，整理得：mn＝0，即（4x-5）（3x-2）＝0，∴4x-5＝0，3x-2＝0，∴x1=，x2=．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成（4x-5）（3x-2）＝0是解此题的关键．14．（2023秋·重庆渝中·九年级统考期末）阅读材料，解答问题．解方程：．解：把视为一个整体，设，则原方程可化为．解得，．或．，．以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照材料解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）把看做一个整体，设，则原方程可化为，．(2)把看做整体，设，则原方程可化为，解得，．【详解】（1）解：把看做一个整体，设则原方程可化为解得，∴或者∴，（2）解：把看做整体，设则原方程可化为解得，∴，【点睛】本题考查了换元法解二元一次方程的方法，熟练运用换元法将次是解题的关键．三、一元二次方程根的判别式15．（2023秋·湖南益阳·九年级校联考期末）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根．(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积．【答案】(1)证明见解析；(2)方程的另一个根为：；以此两根为边长的直角三角形的面积为或．【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可；（2）将代入方程可确定m的值，然后求解一元二次方程得出方程的另一个解；分两种情况讨论直角三角形的面积：①当该直角三角形的两直角边是1、3时；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，利用勾股定理确定另一条直角边，然后求面积即可得．【详解】（1）证明：，其中：，，，∴，∴在实数范围内，m无论取何值，，即，∴关于x的方程恒有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意得：将代入方程可得：，解得，∴方程为，解得：或，∴方程的另一个根为；①当该直角三角形的两直角边是1、3时，该直角三角形的面积为：；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为，则该直角三角形的面积为；综上可得，该直角三角形的面积为或．【点睛】题目主要考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，勾股定理，分情况讨论三角形等，理解题意，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．16．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若，且此方程的两个实数根的差为3，求的值．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）证明一元二次方程的判别式大于等于零即可；（2）用m表示出方程的两个根，比较大小后，作差计算即可．【详解】（1）证明：∵一元二次方程，∴==．

∵，∴．∴该方程总有两个实数根．

（2）解：∵一元二次方程，解方程，得，．

∵，∴．∵该方程的两个实数根的差为3，∴．∴．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，方程的解法，熟练掌握判别式，并灵活运用实数的非负性是解题的关键．17．（2022·北京西城·九年级北师大实验中学校考期末）已知关于的一元二次方程．(1)求证：此方程总有两个实数根；(2)若此方程恰有一个根小于0，求的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据一元二次方程判别式与方程根的情况，只要判定即可证得；（2）利用十字相乘法解一元二次方程，得到或，根据此方程恰有一个根小于0，列不等式求解即可得到的取值范围．【详解】（1）证明：关于的一元二次方程，，，此方程总有两个实数根；（2）解：，，解得或，此方程恰有一个根小于0，，解得．【点睛】本题考查一元二次方程综合，涉及一元二次方程根的情况与判别式的关系、十字相乘法解一元二次方程、方程根的情况求参数范围等，熟练掌握一元二次方程的解法及判别式与方程根的情况是解决问题的关键．18．（2023秋·河南商丘·九年级校联考期末）已知T=(1)化简T；(2)若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值．【答案】(1)；(2)T=【分析】(1)根据整式的四则运算法则化简即可；(2)由方程有两个相等的实数根得到判别式△=4a²-4(-ab+1)=0即可得到，整体代入即可求解．【详解】（1）解：T==；（2）解：∵方程有两个相等的实数根，∴，∴，则T=．【点睛】本题考查了整式的四则运算法则、一元二次方程的实数根的判别、整体思想，属于基础题，熟练掌握运算法则及一元二次方程的根的判别式是解题的关键．19．（2022秋·河南周口·九年级统考期末）因式定理：对于多项式，若，则是的一个因式，并且可以通过添减单项式从中分离出来．已知．(1)填空：当时，，所以是的一个因式．于是．则________________；(2)已知关于x的方程的三个根是一个等腰三角形的三边长，求实数k的值．【答案】(1)(2)4【分析】（1）f（x）两项结合后，提取公因式，再提取x−1变形，计算即可求出g（x）；（2）由题易得1是方程的一个根．若1为等腰三角形的腰长，则1也是方程的根，代入求得k的值，再求出x的值即为三角形的三边长，经验证不满足三角形的三边关系；若1为等腰三角形的底边长，则方程有两个相等实根，得出△=0，进而求出x的值，得到三角形的三边长，经验证满足三角形的三边关系．【详解】（1）解：∵f（x）＝x³−x²−4x²＋4x＋kx−k＝x²（x−1）−4x（x−1）＋k（x−1）＝（x−1）（x²−4x＋k）＝（x−1）g（x），∴g（x）＝x²−4x＋k．（2）∵，∴1是方程的一个根．若1为等腰三角形的腰长，则1也是方程的根．把1代入，得．∵方程的两根为1和3，∴三角形的三边为1，1，3．∵＜3，不成立；若1为等腰三角形的底边长，则方程有两个相等实根．由△，得．∵方程的两个根为2，2，∴等腰三角形的三边为1，2，2．∵＞2，成立．综上所述，实数．【点睛】本题考查了平方差公式分解因式，方程两个相同解的情况下，Δ＝0这一条件，综合应用知识解题．四、一元二次根与系数的关系20．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m＋n＝1，mn＝－1，则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝；x1x2＝．(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．【答案】(1)；(2)(3)或【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；（2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可；（3）根据根与系数的关系先求出，，然后求出s-t的值，然后将进行变形求解即可．【详解】（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，∴，．故答案为：；．（2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，∴，，∴（3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，∴，，∵∴或，当时，，当时，，综上分析可知，的值为或．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出或，是解答本题的关键．21．（2022秋·广东茂名·九年级茂名市第一中学校考期中）阅读材料：材料1：若一元二次方程的两个根为，则，．材料2：已知实数，满足，，且，求的值．解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以根据上述材料解决以下问题：(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，____________．(2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．(3)思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求的值．【答案】(1)；；(2)；(3)-1【分析】（1）直接根据根与系数的关系可得答案；（2）由题意得出、可看作方程，据此知，，将其代入计算可得；（3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得．【详解】（1），；故答案为；；（2），，且，、可看作方程，，，；（3）把变形为，实数和可看作方程的两根，，，．【点睛】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则．22．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）已知关于x的方程：x2＋（m﹣2）x﹣m＝0．(1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根．(2)设非0实数m，n是方程的两根，试求m﹣n的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根的判别式为，将系数代入即可证得．（2）把代入方程可求得，由根与系数的关系可求得n值，即可求解．【详解】（1）证明：

．

无论m取何实数时，总有．

∴方程总有两个不相等的实数根．（2）把代入方程，得．

即．

∵，∴．

由根与系数的关系，．

∴．∴．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．23．（2022秋·四川绵阳·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若方程的两个不相等实数根是a，b，求的值．【答案】（1）k>-1；（2）1【分析】（1）根据∆>0列不等式求解即可；（2）根据根与系数的关系求出a+b、ab的值，然后代入所给代数式计算即可.【详解】解：（1）由题意得∆=4+4k>0，∴k>-1；（2）∵a+b=-2，ab=-k，∴====1.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式与根的关系，以及根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：，．24．（2022秋·广东汕头·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程．（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根，，且，求的值．【答案】（1）见解析；（2）．【分析】（1）求出△的值即可证明；（2），根据根与系数的关系得到，代入，得到关于m的方程，然后解方程即可．【详解】（1）证明：依题意可得

故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．（2）由根与系数的关系可得：由，得，解得．【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式证明根的情况以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2=．25．（2022秋·福建泉州·九年级福建省惠安第一中学校联考期中）已知关于x的一元二次方程x2－（2m－1）x＋m2＝0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1＋x2＝2－x1x2，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意得到，解出即可；（2）根据根与系数关系解出与，代入即可求的值．【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根，，解得；（2）解：由题意，得，，，，整理，得，解得，（舍去），．【点睛】本题主要考查利用判别式判断一元二次方程根的个数、根与系数关系，掌握利用判别式判断一元二次方程根的个数以及根与系数关系是解题的关键．26．（2022秋·湖北鄂州·九年级统考期末）设，是关于x的一元二次方程的两个实数根．(1)求m的取值范围；(2)若，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据方程有两个根得到，列出不等式求解；（2）根据根与系数的关系即可得出，，结合m的取值范围即可得出，，再由得到，即可得出关于m的方程，解之即可得出m的值．【详解】（1）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，∴，∴，即，∴．（2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，∴，，∵，∴，，∴，．∵，

∴，∴，解得：或．又∵，∴．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程有两个不相等的实数根找出；（2）根据根与系数的关系结合得出．五、与一元二次方程有关的存在性问题27．（2022秋·江苏苏州·九年级苏州工业园区星湾学校校考期中）已知，是一元二次方程的两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据方程的系数结合≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2，结合，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合（1）即可得出结论．【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个实数根，∴解得；（2）由一元二次方程根与系数关系，∵，∴即，解得．又由（1）知：，∴．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根