河南省南阳市2024-2025学年高二上学期期中适应性考试数学试题含答案

2024年秋季高二年级期中数学适应性考试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一、二章。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线的倾斜角为（）A．30° B．60° C．120° D．150°2．已知直线，直线．若，则（）A．－3 B．－2 C．2 D．2或－33．已知椭圆的短轴长为4，则（）A．2 B．4 C．8 D．164．如图，吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，宽6m，高1m，根据图中的坐标系．可得这条抛物线的准线方程为（）A． B． C． D．5．已知圆，过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为（）A． B．4 C．5 D．66．已知椭圆，则椭圆上的点到直线的距离的最大值为（）A． B． C． D．7．已知圆，直线，为圆上一动点．为直线上一动点，定点，则的最小值为（）A． B． C． D．8．已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（）A． B．5 C． D．7二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知双曲线，下列选项正确的是（）A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的实轴长为8C．双曲线的焦距为 D．双曲线的离心率为10．已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（）A． B． C． D．11．在平面直角坐标系中，的顶点，，且，记的顶点的轨迹为，则下列说法正确的是（）A．轨迹的方程为B．面积的最大值为3C．边上的高的最大值为D．若为直角三角形，则直线被轨迹截得的弦长的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．双曲线的虚轴长为______，以的左焦点为圆心，1为半径的圆的标准方程为______。13．若点在圆的外部，则正实数的取值范围是______。14．抛物线的焦点为，准线为，过焦点且斜率为的直线与交于点（在第一象限内），为上一动点，则周长的最小值为______。四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知圆经过，，三点．（1）求圆的标准方程；（2）判断圆与圆的位置关系．16．（15分）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点．（1）求双曲线的方程；（2）直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程．17．（15分）已知圆（为常数）．（1）当时，求直线被圆截得的弦长．（2）证明：圆经过两个定点．（3）设圆经过的两个定点为，，若，且，求圆的标准方程．18．（17分）已知不在轴下方的动点到点的距离比到轴的距离长，记动点的轨迹为．（1）求轨迹的方程．（2）已知直线与轨迹交于，两点，以，为切点作两条切线，切线分别为，．直线，相交于点．若．求．19．（17分）已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中，均为常数，动点的轨迹称为曲线．（1）判断曲线为何种圆锥曲线．（2）若曲线为双曲线，试问，应满足什么条件？（3）设曲线为曲线，斜率为（且）的直线过的右焦点，且与交于，两个不同的点．（ⅰ）若，求；（ⅱ）若点关于轴的对称点为，试证明直线过定点．南阳地区2024年秋季高二年级期中适应性考试卷数学参考答案1．C由，得倾斜角为120°．2．A因为，所以，解得或．当时，，，，重合；当时，，，符合题意．故．3．B由的短轴长为4，得，即，则，所以或，解得或．经检验，当时，椭圆的短轴长为4．4．B设这条抛物线的方程为，由图可知点的坐标为，所以，得，故这条抛物线的准线方程为．5．B记圆心到直线的距离为，则．因为，所以当直线与垂直，即时，的值最小，故．6．D设椭圆上的点为，则点到直线的距离为，其中，故椭圆上的点到直线的距离的最大值为．7．C设关于的对称点为，则解得即，所以，故的最小值为．8．D由，得，所以为双曲线的右支，为该双曲线的左焦点．设右焦点为，则，所以．所以，当且仅当点在线段上时，等号成立，所以的最小值为7．9．BD因为，，焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为，实轴长为8，故A错误，B正确；因为，所以双曲线的焦距为，离心率为，故C错误，D正确．10．ABD当直线的截距为0时，直线的方程为，即．当直线的截距不为0时，设直线的方程为，则解得或当，时，直线的方程为；当时，直线的方程为．11．BD因为．所以．设，则，整理得，所以顶点的轨迹方程为，且，故A错误．当的坐标为时，，所以B正确．当与圆相切时，到的距离最大，如图1，作于点，因为，所以，所以边上的高的最大值为，故C错误．如图2，当时，，此时直线被圆截得的弦长为；当时，由得不妨设，显然当在处时，直线被圆截得的弦长更长，此时直线的方程为，圆心到直线的距离，所以弦长为．故D正确．12．；由，得，则，，，所以双曲线的虚轴长为，左焦点的坐标为，则所求圆的标准方程为．13．由，得．14．过作直线的垂线，垂足为，则．因为直线的斜率为，所以为正三角形，所以，所以．记关于直线的对称点为，则．当，，三点共线时，，所以周长的最小值为．15．解：（1）设圆的方程为，则解得故圆的方程为，标准方程为．（2）圆的圆心为，半径为．圆的圆心为，半径为4．设两圆圆心之间的距离为，则．因为，所以圆与圆相交．16．解：（1）由题意可知解得故双曲线的方程为．（2）设，则两式相减得，整理可得．因为线段的中点坐标为，所以，所以直线的斜率，故直线的方程为，即．经检验，直线与双曲线相交，所以直线的方程为，17．（1）解：当时，圆，此时，圆的圆心为，半径．则圆心到直线的距离，所以直线被圆截得的弦长为．（2）证明：由，得，令，得，解得或所以圆经过两个定点，且这两个定点的坐标为．（3）解：（方法一）设的中点为，则点的坐标为．因为，所以，所以，解得，所以圆的标准方程为．（方法二）因为，所以，解得，所以圆的标准方程为．18．解：（1）由题意知动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以轨迹的方程为．（2）设，，联立方程组得，则，．易知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组得．由，解得，所以切线的方程为．同理可得，直线的方程为，由解得即点．因为，，，且，所以，即，化简得，因此或故．19．解：（1）设，由，得，当，时，，即，所以曲线为椭圆．（2