2023届陕西省联盟学校高三下学期第一次大联考理科数学试题（解析版）

高考模拟试题PAGEPAGE1“高考研究831重点课题项目”陕西省联盟学校2023年第一次大联考数学（理科）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合,,则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根据补集的性质和定义即可得出结果.〖详析〗解:由题知,,所以.故选:C2.在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则等于A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗计算得，根据题意可得，即为所求．〖详析〗由题意得，∵复数与对应的点关于实轴对称，∴．故选D．〖『点石成金』〗本题考查复数的除法运算和复数的几何意义，考查计算能力和理解能力，属于基础题．3.下列说法中正确的是（）A.回归直线方程为，则样本点的中心可以为B.采用系统抽样，从800名学生中抽取一个容量为40的样本，则分组的组距为40C.“”是“”成立的充分不必要条件D.命题：，，则：，〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗利用样本中心点过回归直线方程判断A，根据系统抽样的抽样方法判读B，取特殊值结合充分性和必要性的定义判断C，根据全称命题的否定的判断D.〖详析〗因为在回归直线方程为上，所以样本点的中心可以为，A正确；采用系统抽样，从800名学生中抽取一个容量为40的样本，则分组的组距为，B错误；当，时，不能推出，C错误；命题：，，则：，，D错误；故选：A4.二项式的展开式中项的系数为10，则（）A.8 B.6 C.5 D.10〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗写出二项式展开式通项公式，再令的幂指数为3，即可求出的值．〖详析〗由二项式的展开式的通项得：令，得，则，所以，解得，故选C．〖『点石成金』〗本题考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．5.已知，，，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗依题意可得，再利用基本不等式计算可得.〖详析〗解：因为，即，所以，又，，则，当且仅当，时，等号成立.故选：A6.某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有A.72种 B.36种 C.24种 D.18种〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可．〖详析〗2名内科医生，每个村一名，有2种方法，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，若甲村有1外科,2名护士,则有，其余的分到乙村，若甲村有2外科,1名护士,则有，其余的分到乙村，则总共的分配方案为2×(9+9)=2×18=36种，故选B.〖『点石成金』〗本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型.7.已知圆C：关于直线对称，则圆C中以为中点的弦长为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗圆C：关于直线对称，即说明直线过圆心，可求出，再由垂径定理即可求出弦长.〖详析〗圆方程配方得，圆心，，圆C：关于直线对称，可知直线过圆心，即，解得，故，则圆心与点的距离的平方为，则圆C中以为中点的弦长为.故选：D.8.在xOy平面内，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过左顶点A且斜率为的直线与渐近线在第一象限的交点为M，若，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗分析〗由得出，进而由斜率公式结合离心率公式求解即可.〖详析〗因为且点M在渐近线上，由得，则，，于是.故选：B9.在中,如果,那么的形状为（）A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗将写为,将写为,代入题中式子,展开化简,即可得均为锐角,但无法确定大小,由此选出结果.〖详析〗解:由题知,因为中,所以,故,即均为锐角,但无法确定大小,故的形状不能确定.故选:D10.在中，角的对边分别为，且，则的值为（）A.1 B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根据余弦定理与正弦定理角化边求解即可.〖详析〗解：因为，所以，由正弦定理与余弦定理得，化简得.故选：A11.函数在上有唯一的极大值，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由题知函数在上有唯一极大值，进而得，再解不等式即可得〖答案〗.〖详析〗解：方法一：当时，，因为函数在上有唯一的极大值，所以函数在上有唯一极大值，所以，，解得.故选：C方法二：令，，则，，所以，函数在轴右侧的第一个极大值点为，第二个极大值点为，因为函数在上有唯一的极大值，所以，解得.故选：C12.已知偶函数满足，且当时，，关于x的不等式在上有且只有30个整数解，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根据条件可得出函数周期为8，再由题意可确定半周期上有3个整数解，利用导数研究函数的单调性，根据1,2,3为不等式整数解列出不等式求解即可.〖详析〗，，又函数为偶函数，，即函数周期为，因为不等式在上有且只有30个整数解，所以不等式在上恰有3个整数解，又，可知时，，时，，所以在上递增，在上递减，，所以1,2,3满足不等式，故，且需解得.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线在点处的切线方程为_______.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗先求导，进而求得时，再由导数的几何意义求得切线方程即可.〖详析〗，则，当时，则在点处的切线斜率，则直线方程为，即.故〖答案〗为：.14.设数列，均为等差数列，它们的前n项和分别为，，若，则________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗利用等差数列的性质与前项和公式求解即可.〖详析〗因为数列，均为等差数列，所以，所以.故〖答案〗为：.15.点A，B是抛物线C：上的两点，F是抛物线C的焦点，若，AB中点D到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为________.〖答案〗〖解析〗分析〗由抛物线几何性质可得，再由余弦定理和基本不等式可得.〖详析〗在中，，

易得，当且仅当时等号成立.故〖答案〗为：.16.在四棱锥中，平面ABCD，，点M是矩形ABCD内（含边界）的动点，且，，直线PM与平面ABCD所成的角为，当三棱锥的体积最小时，三棱锥的外接球的体积为________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根据线面角的定义得出M位于底面矩形ABCD内的以点A为圆心，2为半径的圆上，再由三棱锥的体积最小，确定点M位于F，进而由长方体外接球模型结合体积公式求解.〖详析〗因为平面，所以即为直线与平面所成的角，所以.因为，所以，如图，易知M位于底面矩形ABCD内的以点A为圆心，2为半径的圆上，记点M的轨迹为圆弧EF.连接AF，当点M位于F时，三棱锥的体积最小，由长方体外接球模型可知，三棱锥的外接球球心为PF的中点，此外接球的体积.故〖答案〗为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.数列为正项数列，，且对，都有；（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，为数列的前项和，求证：〖答案〗（1）；（2）证明见〖解析〗.〖解析〗〖祥解〗(1)将已知条件因式分解后化简得,即数列为等比数列,由此求得数列通项公式.(2)利用裂项求和法求得数列的前项和,由此证得.〖小问1详析〗由，得，而数列为正项数列，所以，所以数列为等比数列，首项为4，公比为2，；〖小问2详析〗，所以，，又，，.18.如图,在棱锥中，底面是正方形，点为线段的中点,点在线段上.（1）若,求证：；（2）设平面与平面所成二面角的平面角为,试确定点的位置，使得.〖答案〗（1）证明见〖解析〗；（2）时,满足.〖解析〗〖详析〗试题分析：（1）由题意，根据几何体的结构特征证明、，即可证得平面，从而得到；（2）以为原点,以所在直线分别为轴,建立如图所示空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用法向量求解．试题〖解析〗（1）在中,,为的中点,平分,在中,,过作于,则,连结FH,因为AF=,所以，又平面,又平面,.（2）,又平面,又平面,平面平面.过作交于点,则由平面平面知,平面,故两两垂直，以为原点,以所在直线分别为轴,建立如图所示空间直角坐标系,则,又知为的中点,,设,则,,设平面的法向量为,则,取,可求得平面的一个法向量,设平面的法向量为,则,取.,解得,当时,满足.考点：直线与平面垂直的判定与证明；二面角的求解．19.中国职业男篮CBA总决赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束.现甲、乙两支球队进行总决赛，因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入400万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加100万元.（1）求总决赛中获得门票总收入恰好为3000万元的概率；（2）设总决赛中获得门票总收入为，求的数学期望.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）构造等差数列，求得比赛场次，再利用概率公式即可求得结果；（2）由已知可得，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望.〖小问1详析〗依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为400，公差为100的等差数列.设此数列为，则易知，，所以.解得或（舍去），所以此决赛共比赛了5场.则前4场比赛的比分必为，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为.所以总决赛中获得门票总收入恰好为3000万元的概率为.〖小问2详析〗随机变量可取的值为，，，，即2200，3000，3900，4900，，，，，所以的分布列为2200300039004900所以.20.已知，为椭圆E：的上、下焦点，为平面内一个动点，其中.（1）若，求面积的最大值；（2）记射线与椭圆E交于，射线与椭圆E交于，若，探求，，之间的关系.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗(1)先根据椭圆定义得出椭圆方程,在根据的范围求出面积的最大值;(2)分别设出两个射线和,再联立方程结合向量平行得出，，之间的关系.〖小问1详析〗由题可知椭圆E：的上、下焦点，又因,所以,

则点为椭圆上一点，且，则，于是面积的最大值为.〖小问2详析〗射线的方程为，射线的方程为，联立解得，①又，则，②将②代入①，得.21.已知函数（）.（1）当时，求的单调区间；（2）若函数有两个不同的零点，，证明：．（其中是自然对数的底数）〖答案〗（1）在单调递增，在单调递减；（2）证明见〖解析〗.〖解析〗〖祥解〗（1）通过对函数求导，利用导数来研究函数的单调性.（2）利用导数，通过构造函数，研究函数的单调性以及最值，再结合对数均值不等式、不等式放缩进行证明.〖小问1详析〗已知函数，定义域为，当时，，得，所以当时，，当时，，因此在单调递增，在单调递减.〖小问2详析〗先证明，已知函数，定义域为，所以，当时，，在单调递增，不满足题意；当，可知在单调递增，在单调递减.又当时，；当时，，若函数有两个不同的零点，，不妨设，则，即，令，则，所以在上单调递增，又，所以由，解得，所以，因为，设，则由于单调递增，则，即，，利用对数均值不等式有，可证得.所以要证明，只要证明.设（），则，所以在单调递减，则.因此有.对数均值不等式证明如下：不妨设，要证，即证，令，即证，即，即证：，令，则，所以在上单调递增，所以，所以结论得证.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知曲线的参数方程为（为参数）；直线（，）与曲线相交于两点，以极点为原点，极轴为轴的负半轴建立平面直角坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）记线段的中点为，若恒成立，求实数的取值范围.〖答案〗（1）；（2）.〖解析〗〖详析〗试题分析：（1）对曲线的参数方程消参得，再根据，进而可得曲线的极坐标方程；（2）联立和，得，设、，可得，根据，求得的最大值，从而可得实数的取值范围.试题〖解析〗(1)∵曲线的参数方程为（为参数），∴所求方程为∵∴∴曲线的极坐标方程为.(2)联立和，得，设、，则，由，得，当时，取最大值，故实数的取值范围为.选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（1）若（m，）对恒成立，求的最小值；（2）若恒成立，求实数a的取值范围.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗(1)去掉绝对值符号，画出函数的图像,可知函数的最小值为，利用函数的最小值转化，再结合基本不等式求解即可；(2)由不等式构造新函数，可知函数恒过定点，再利用函数的图像求解即可.〖小问1详析〗由题可得，，函数的图像如下如图所示，，则，即，，可得，于是，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.〖小问2详析〗令，则是恒过点，斜率为的直线，由恒成立，则表示函数图像恒在函数图像上方，当过点时，，结合图像分析可得，，故.高考模拟试题PAGEPAGE1“高考研究831重点课题项目”陕西省联盟学校2023年第一次大联考数学（理科）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合,,则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根据补集的性质和定义即可得出结果.〖详析〗解:由题知,,所以.故选:C2.在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则等于A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗计算得，根据题意可得，即为所求．〖详析〗由题意得，∵复数与对应的点关于实轴对称，∴．故选D．〖『点石成金』〗本题考查复数的除法运算和复数的几何意义，考查计算能力和理解能力，属于基础题．3.下列说法中正确的是（）A.回归直线方程为，则样本点的中心可以为B.采用系统抽样，从800名学生中抽取一个容量为40的样本，则分组的组距为40C.“”是“”成立的充分不必要条件D.命题：，，则：，〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗利用样本中心点过回归直线方程判断A，根据系统抽样的抽样方法判读B，取特殊值结合充分性和必要性的定义判断C，根据全称命题的否定的判断D.〖详析〗因为在回归直线方程为上，所以样本点的中心可以为，A正确；采用系统抽样，从800名学生中抽取一个容量为40的样本，则分组的组距为，B错误；当，时，不能推出，C错误；命题：，，则：，，D错误；故选：A4.二项式的展开式中项的系数为10，则（）A.8 B.6 C.5 D.10〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗写出二项式展开式通项公式，再令的幂指数为3，即可求出的值．〖详析〗由二项式的展开式的通项得：令，得，则，所以，解得，故选C．〖『点石成金』〗本题考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．5.已知，，，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗依题意可得，再利用基本不等式计算可得.〖详析〗解：因为，即，所以，又，，则，当且仅当，时，等号成立.故选：A6.某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有A.72种 B.36种 C.24种 D.18种〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可．〖详析〗2名内科医生，每个村一名，有2种方法，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，若甲村有1外科,2名护士,则有，其余的分到乙村，若甲村有2外科,1名护士,则有，其余的分到乙村，则总共的分配方案为2×(9+9)=2×18=36种，故选B.〖『点石成金』〗本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型.7.已知圆C：关于直线对称，则圆C中以为中点的弦长为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗圆C：关于直线对称，即说明直线过圆心，可求出，再由垂径定理即可求出弦长.〖详析〗圆方程配方得，圆心，，圆C：关于直线对称，可知直线过圆心，即，解得，故，则圆心与点的距离的平方为，则圆C中以为中点的弦长为.故选：D.8.在xOy平面内，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过左顶点A且斜率为的直线与渐近线在第一象限的交点为M，若，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗分析〗由得出，进而由斜率公式结合离心率公式求解即可.〖详析〗因为且点M在渐近线上，由得，则，，于是.故选：B9.在中,如果,那么的形状为（）A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗将写为,将写为,代入题中式子,展开化简,即可得均为锐角,但无法确定大小,由此选出结果.〖详析〗解:由题知,因为中,所以,故,即均为锐角,但无法确定大小,故的形状不能确定.故选:D10.在中，角的对边分别为，且，则的值为（）A.1 B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根据余弦定理与正弦定理角化边求解即可.〖详析〗解：因为，所以，由正弦定理与余弦定理得，化简得.故选：A11.函数在上有唯一的极大值，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由题知函数在上有唯一极大值，进而得，再解不等式即可得〖答案〗.〖详析〗解：方法一：当时，，因为函数在上有唯一的极大值，所以函数在上有唯一极大值，所以，，解得.故选：C方法二：令，，则，，所以，函数在轴右侧的第一个极大值点为，第二个极大值点为，因为函数在上有唯一的极大值，所以，解得.故选：C12.已知偶函数满足，且当时，，关于x的不等式在上有且只有30个整数解，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根据条件可得出函数周期为8，再由题意可确定半周期上有3个整数解，利用导数研究函数的单调性，根据1,2,3为不等式整数解列出不等式求解即可.〖详析〗，，又函数为偶函数，，即函数周期为，因为不等式在上有且只有30个整数解，所以不等式在上恰有3个整数解，又，可知时，，时，，所以在上递增，在上递减，，所以1,2,3满足不等式，故，且需解得.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线在点处的切线方程为_______.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗先求导，进而求得时，再由导数的几何意义求得切线方程即可.〖详析〗，则，当时，则在点处的切线斜率，则直线方程为，即.故〖答案〗为：.14.设数列，均为等差数列，它们的前n项和分别为，，若，则________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗利用等差数列的性质与前项和公式求解即可.〖详析〗因为数列，均为等差数列，所以，所以.故〖答案〗为：.15.点A，B是抛物线C：上的两点，F是抛物线C的焦点，若，AB中点D到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为________.〖答案〗〖解析〗分析〗由抛物线几何性质可得，再由余弦定理和基本不等式可得.〖详析〗在中，，

易得，当且仅当时等号成立.故〖答案〗为：.16.在四棱锥中，平面ABCD，，点M是矩形ABCD内（含边界）的动点，且，，直线PM与平面ABCD所成的角为，当三棱锥的体积最小时，三棱锥的外接球的体积为________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根据线面角的定义得出M位于底面矩形ABCD内的以点A为圆心，2为半径的圆上，再由三棱锥的体积最小，确定点M位于F，进而由长方体外接球模型结合体积公式求解.〖详析〗因为平面，所以即为直线与平面所成的角，所以.因为，所以，如图，易知M位于底面矩形ABCD内的以点A为圆心，2为半径的圆上，记点M的轨迹为圆弧EF.连接AF，当点M位于F时，三棱锥的体积最小，由长方体外接球模型可知，三棱锥的外接球球心为PF的中点，此外接球的体积.故〖答案〗为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.数列为正项数列，，且对，都有；（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，为数列的前项和，求证：〖答案〗（1）；（2）证明见〖解析〗.〖解析〗〖祥解〗(1)将已知条件因式分解后化简得,即数列为等比数列,由此求得数列通项公式.(2)利用裂项求和法求得数列的前项和,由此证得.〖小问1详析〗由，得，而数列为正项数列，所以，所以数列为等比数列，首项为4，公比为2，；〖小问2详析〗，所以，，又，，.18.如图,在棱锥中，底面是正方形，点为线段的中点,点在线段上.（1）若,求证：；（2）设平面与平面所成二面角的平面角为,试确定点的位置，使得.〖答案〗（1）证明见〖解析〗；（2）时,满足.〖解析〗〖详析〗试题分析：（1）由题意，根据几何体的结构特征证明、，即可证得平面，从而得到；（2）以为原点,以所在直线分别为轴,建立如图所示空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用法向量求解．试题〖解析〗（1）在中,,为的中点,平分,在中,,过作于,则,连结FH,因为AF=,所以，又平面,又平面,.（2）,又平面,又平面,平面平面.过作交于点,则由平面平面知,平面,故两两垂直，以为原点,以所在直线分别为轴,建立如图所示空间直角坐标系,则,又知为的中点,,设,则,,设平面的法向量为,则,取,可求得平面的一个法向量,设平面的法向量为,则,取.,解得,当时,满足.考点：直线与平面垂直的判定与证明；二面角的求解．19.中国职业男篮CBA总决赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束.现甲、乙两支球队进行总决赛，因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入400万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加100万元.（1）求总决赛中获得门票总收入恰好为3000万元的概率；（2）设总决赛中获得门票总收入为，求的数学期望.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）构造等差数列，求得比赛场次，再利用概率公式即可求得结果；（2）由已知可得，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望.〖小问1详析〗依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为400，公差为100的等差数列.设此数列为，则易知，，所以.解得或（舍去），所以此决赛共比赛了5场.则前4场比赛的比分必为，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为.所以总决赛中获得门票总收入恰好为3000万元的概率为.〖小问2详析〗随机变量可取的值为，，，，即2200，3000，3900，4900，，，，，所以的分布列为2200300039004900所以.20.已知，为椭圆E：的上、下焦点，为平面内一个动点，其中.（1）若，求面积的最大值；（2）记射线与椭圆E交于，射线与椭圆E交于，若，探求，，之间的关系.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗(1)先根据椭圆定义得出椭圆方程,在根据的范围求出面积的最大值;(2)分别设出两个射线和,再联立方程结合向量平行得出，，之间的关系.〖小问1详析〗由题可知椭圆E：的上、下焦点，又因,所以,

则点为椭圆上一点，且，则，于是面积的最大值为.〖小问2详析〗射线的方程为，射线的方程为