2024-2025学年高中数学第三章概率3.2.3互斥事件学案含解析北师大版必修3

PAGE2.3互斥事务考纲定位重难突破1.理解互斥事务、对立事务的定义，会推断所给事务的类型.2.驾驭互斥事务的概率加法公式并会应用.3.正确理解互斥、对立事务的关系，并能正确区分推断.重点：1.互斥事务与对立事务的定义.2.两个互斥事务的概率加法公式及对立事务的概率计算公式的应用.难点：互斥事务与对立事务的关系.授课提示：对应学生用书第46页[自主梳理]1．互斥事务与对立事务定义公式互斥事务在一个随机试验中，我们把一次试验下不行能同时发生的两个事务A与B称作互斥事务(1)若A与B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)(2)若A1，A2，…，An中随意两个事务互斥，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)对立事务事务“A不发生”称为A的对立事务，记作eq\o(A,\s\up6(－))__，对立事务也称为逆事务，在每一次试验中，相互对立的事务A与eq\o(A,\s\up6(－))不会同时发生，并且肯定有一个发生P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－P(A)2.事务A＋B给定事务A，B，我们规定A＋B为一个事务，事务A＋B发生是指事务A和事务B至少有一个发生．[双基自测]1．某人打靶时，连续射击两次，事务“至少有一次中靶”的互斥事务是()A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．两次都不中靶 D．只有一次中靶解析：“至少有一次中靶”与“两次都不中靶”为互斥事务，同时，也是对立事务．答案：C2．抽查10件产品，设A＝{至多有1件次品}，则事务A的对立事务是()A．至多有2件正品 B．至多有1件次品C．至少有1件正品 D．至少有2件次品解析：“至多有1件次品”与“至少有2件次品”不能同时发生，但必有一个发生．答案：D3．一种计算机芯片可以正常运用的概率为0.994，则它不能正常运用的概率是()A．0.994 B．0.006C．0 D．1解析：“计算机芯片可以正常运用”(设为事务A)和“计算机芯片不能正常运用”(设为事务B)是对立事务，且P(A)＝0.994，则P(B)＝1－0.994＝0.006.答案：B授课提示：对应学生用书第46页探究一互斥事务、对立事务的推断[典例1]某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参与演讲竞赛．推断下列每对事务是不是互斥事务，假如是，再推断它们是不是对立事务．(1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2)至少1名男生与全是男生；(3)至少1名男生与全是女生；(4)至少1名男生与至少1名女生．[解析]从3名男生和2名女生中任选2名同学有3类结果；两男或两女或一男一女．(1)因为恰有1名男生与恰有2名男生不行能同时发生，所以它们是互斥事务；当恰有2名女生时，它们都没有发生，所以它们不是对立事务．(2)当恰有2名男生时，至少1名男生与全是男生同时发生，所以它们不是互斥事务．(3)因为至少1名男生与全是女生不行能同时发生，所以它们是互斥事务；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事务．(4)当选出的是1名男生1名女生时，至少1名男生与至少1名女生同时发生，所以它们不是互斥事务．1．推断两个事务是否为互斥事务，主要看它们能否同时发生，若能同时发生则这两个事务不是互斥事务，若不能同时发生，则这两个事务是互斥事务．2．推断两个事务是否为对立事务．主要看是否同时满意两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生．这两个条件同时成立，那么这两个事务是对立事务，只要有一个条件不成立，那么这两个事务就不是对立事务．1．已知某医疗诊所的急诊室有3名男医生和2名女医生，从中任选2名去参与医德培训．下列各对事务是否为互斥事务？是否为对立事务？并说明理由．(1)“恰有1名男医生”和“恰有2名男医生”；(2)“至少有1名男医生”和“至少有1名女医生”；(3)“至少有1名男医生”和“全是男医生”；(4)“至少有1名男医生”和“全是女医生”．解析：(1)是互斥事务，但不是对立事务．理由：所选的2名医生中，“恰有1名男医生”实质选出的是“1名男医生和1名女医生”，它与“恰有2名男医生”不行能同时发生，所以是互斥事务，同时，不能保证其中必有一个发生，因为还可能选出“恰有2名女医生”，因此二者不对立．(2)不是互斥事务，也不是对立事务．理由：“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”，“至少有1名女医生”包括“1名女医生和1名男医生”与“2名都是女医生”，它们共同含有“1名男医生和1名女医生”，能够同时发生，因此不互斥也不对立．(3)不是互斥事务，也不是对立事务．理由：“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”，这与“全是男医生”能够同时发生，因此不互斥也不对立．(4)是互斥事务，也是对立事务．理由：“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”，它与“全是女医生”不行能同时发生，但其中必有一个发生，故它们既是互斥事务，又是对立事务．探究二互斥事务与对立事务的概率公式的应用[典例2]围棋是一种策略性两人棋类嬉戏，已知围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，从中随机取出2粒，都是黑子的概率是eq\f(1,3)，都是白子的概率是eq\f(13,30).(1)求从中随意取出2粒恰好是同一色的概率；(2)求从中随意取出2粒恰好是不同色的概率．[解析](1)设“从中随意取出2粒都是黑子”为事务A，“从中随意取出2粒都是白子”为事务B，“随意取出2粒恰好是同一色”为事务C，则C＝A∪B，且事务A与B互斥，则P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,3)＋eq\f(13,30)＝eq\f(23,30)，即随意取出2粒恰好是同一色的概率是eq\f(23,30).(2)设“从中随意取出2粒恰好是不同色”为事务D，由(1)，知事务D与事务C是对立事务，且P(C)＝eq\f(23,30)，所以随意取出2粒恰好是不同色的概率P(D)＝1－P(C)＝1－eq\f(23,30)＝eq\f(7,30).互斥事务与对立事务的概率计算的方法解决此类问题，首先应结合互斥事务和对立事务的定义分析出是不是互斥事务和对立事务，再确定运用哪一公式．求困难事务的概率通常有两种方法：一是干脆法：即将所求事务转化成彼此互斥的事务的和；二是间接法：即先去求对立事务的概率，进而再求所求事务的概率．2．向假设的三个相邻的军火库投掷一颗炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，炸中其余两个军火库的概率各为0.1，只要炸中一个，另外两个也要发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．解析：设A、B、C分别表示“炸中第一、其次、第三个军火库”这三个事务，则P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.又设D表示“军火库爆炸”这个事务，则有D＝A＋B＋C，其中A、B、C是彼此互斥的事务．所以P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.探究三互斥、对立事务与古典概型的综合应用[典例3]某市各种血型的人所占比例如下：血型ABABO该血型的人所占比例(%)2829835已知同种血型的人之间可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能相互输血，小明是B型血，若小明因病须要输血，则：(1)在该市任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)在该市任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？[解析](1)对任一个人，其血型为A，B，AB，O型血的事务分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知，得P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输血给小明”为事务B′＋D′，依据互斥事务的概率加法公式，有P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)法一：由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输血给小明”为事务A′＋C′，并且P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.法二：因为任找一个人，其血要么可以输给小明，要么不行以输给小明，两者为对立事务，所以不能输血给小明的概率为1－P(B′＋D′)＝1－0.64＝0.36.求困难事务的概率通常有两种方法：(1)将所求事务转化成几个彼此互斥的事务的和事务；(2)若将一个较困难的事务转化为几个互斥事务的和事务时，须要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事务的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少……”或“至多……”型事务的概率．3．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1中恰有1人被选中的概率．解析：(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本领件空间Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}，由18个基本领件组成．由于每一个基本领件被抽取的机会均等，因此这些基本领件的发生是等可能的．用M表示“A1恰被选中”这一事务，则M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，所以P(M)＝eq\f(6,18)＝eq\f(1,3).(2)法一：设“B1和C1恰有1人被选中”这一事务为N，则该事务有两种状况，B1被选中，C1没被选中和B1没被选中，C1被选中．用A表示“B1被选中，C1没被选中”这一事务，B表示“B1没被选中，C1被选中”这一事务，则A＝{(A1，B1，C2)，(A2，B1，C2)，(A3，B1，C2)}，B＝{(A1，B2，C1)，(A1，B3，C1)，(A2，B2，C1)，(A2，B3，C1)，(A3，B2，C1)，(A3，B3，C1)}所以P(N)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(3,18)＋eq\f(6,18)＝eq\f(1,2).法二：设“B1和C1中恰有1人被选中”这一事务为N，“B1和C1都被选中”这一事务为A′，“B1和C1都没被选中”这一事务为B′，则P(A′)＝eq\f(3,18)＝eq\f(1,6)，P(B′)＝eq\f(6,18)＝eq\f(1,3).所以P(N)＝1－P(A′)－P(B′)＝1－eq\f(1,6)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,2).转化与化归思想在概率中的应用[典例]玻璃盒中装有各色球12个，其中5红、4黑、2白、1绿，从中任取1球，记事务A为“取出1个红球”，事务B为“取出1个黑球”，事务C为“取出1个白球”，事务D为“取出1个绿球”．(1)求“取出1球为红球或黑球”的概率；(2)求“取出1球为红球或黑球或白球”的概率．[解析]由题意知P(A)＝eq\f(5,12)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(1,6)，P(D)＝eq\f(1,12).法一：(1)因为事务A，B，C，D彼此为互斥事务，所以“取出1球为红球或黑球”的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,4).(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝eq\f(11,12).法二：(1)“取出1球为红球或黑球”的对立事务为“取出1球为白球或绿球”，即A＋B的对立事务为C＋D，所以P(A＋B)＝1－P(C＋D)＝1－P(C)－P(D)＝1－eq\f(1,6)－eq\f(1,12)＝eq\f(3,4)，即“取出1球为红球或黑球”的概率为eq\f(3,4).(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的对立事务为“取出1球为绿球”，即A＋B＋C的对立事务为D，所以P(A＋B＋C)＝1－P(D)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12)，即“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为eq\f(11,12).[感悟提高]当一个事务的概率较难求解，而对立事务的概率易求时，应用对立事务公式转化成求对立事务的概率，或是转化成几个易求解的互斥事务的和去求解．转化与化归思想的核心是把生疏问题转化为熟识的问题，事实上解题过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程.[随堂训练]对应学生用书第48页1．把语文、数学、物理、化学四本书随机地分给甲、乙、丙、丁四位同学．每人一本，则事务“甲同学分得语文书”与事务“乙同学分得语文书”是()A．对立事务B．不行能事务C．互斥但不对立事务 D．以上答案都不对解析：两个事务不会同时发生但有可能均不发生，所以是互斥但不对立事务．答案：C2．打靶3次，事务Ai表示“击中i发”，i＝0，1，2，3，那么事务A＝A1＋