2024-2025学年高中数学第二章算法初步2.1算法的基本思想学案含解析北师大版必修3

PAGE1算法的基本思想考纲定位重难突破1.初步感受算法的思想，理解算法的含义.2.体会设计算法的基本思路.3.明确算法的特征.重点：对算法概念、算法思想的理解.难点：算法的应用.授课提示：对应学生用书第23页[自主梳理]算法的含义、性质及作用[双基自测]1．下列不是算法的性质的是()A．有序性 B．确定性C．有穷性 D．唯一性答案：D2．算法的每一步都应当是确定的、能有效执行的，并且得到确定的结果，这是指算法的()A．有穷性 B．确定性C．逻辑性 D．不唯一性解析：算法的过程和每一步的结果都是确定的，即确定性．答案：B3．下列语句能称为算法的是()①拨打本地电话的过程为：a.提起话筒；b.拨号；c.等通话信号；d.起先通话；e.结束通话．②利用公式V＝Sh，计算底面积为3，高为4的三棱柱的体积．③x2－2x－3＝0.④求全部能被3整除的正数，即3，6，9，12，….A．①②B．①③C．②④ D．①②④解析：算法通常是指依据肯定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．①②各表达了一种算法；③只是一个数学问题，不是明确的步骤；④中步骤是无穷的，与算法步骤的有限性冲突．答案：A授课提示：对应学生用书第23页探究一算法的概念[典例1]下列对算法的理解不正确的是()A．一个算法应包含有限的步骤，而不能是无限的B．算法可以理解为由基本运算及规定的运算依次构成的完整的解题步骤C．算法中的每一步都应当有效地执行，并得到确定的结果D．一个问题只能设计出一个算法解析：选项推断缘由分析A√算法的有限性指包含的步骤是有限的B√算法的明确性是指每一步都是确定的C√算法的每一步都是确定的，且每一步都应有确定的结果D×对于同一个问题可以有不同的算法答案：D理解算法的关键点(1)算法事实上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决一类问题，用算法解决问题，体现了从特别到一般的数学思想．(2)推断一个问题是否有算法，关键看是否有解决某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必需是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成．1．以下关于算法的说法正确的是()A．描述算法可以有不同的方式，可用形式语言也可用其他语言B．算法可以看成依据要求设计好的有限的准确的计算序列，并且这样的步骤或序列只能解决当前问题C．算法过程要一步一步执行，每一步执行的操作必需准确，不能模糊不清，而且经过有限步或无限步后能得出结果D．算法要求按部就班地执行，每一步可以有不同的结果解析：由算法的概念可知，求解某一类问题的算法不是唯一的，故A正确；算法可以看成依据要求设计好的有限的准确的计算序列，并且这样的步骤或序列能解决一类问题，故B不正确；算法是有限步的，结果具有明确性，C不正确；算法的每一步操作必需是明确的，不能有歧义或模糊不清，故D不正确．故选A.答案：A探究二数值型计算的算法设计[典例2]写出解方程x2－2x－3＝0的算法设计．[解析]法一：算法步骤如下：1．移项得x2－2x＝3.①2．①两边同加1并配方得(x－1)2＝4.②3．②两边开方得x－1＝±2.③4．解③得x＝3或x＝－1.法二：1.计算方程的判别式并推断其符号：Δ＝22＋4×3＝16>0：2．将a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)得x1＝3，x2＝－1.对于数值型计算问题的算法，可以借助数学公式采纳数学计算的方法，将过程分解成清楚的步骤，使之条理化即可．但应留意多个数进行四则运算时应分步计算，依次进行，直到算出结果．2．写出求1＋2＋3＋4＋5＋6的一个算法．解析：法一：1.计算1＋2得3；2．将第一步中的运算结果3与3相加得到6；3．将其次步中的运算结果6与4相加得到10；4．将第三步中的运算结果10与5相加得到15；5．将第四步中的运算结果15与6相加得到21.法二：1.将原式变形为(1＋6)＋(2＋5)＋(3＋4)＝3×7；2．计算3×7；3．得到运算结果．探究三实际生活中的算法设计[典例3]一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，该船最多可容纳一个人和两只动物．没有人在的时候，假如狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃羚羊．此人如何才能将动物平安转移过河？请设计一个算法．[解析]详细算法步骤如下：1．人带两只狼过河，并自己返回．2．人带一只狼过河，并自己返回．3．人带两只羚羊过河，并带两只狼返回．4．人带一只羚羊过河，并自己返回．5．人带两只狼过河．解决此类问题．需先建立过程模型，通过模型进行算法设计与描述，设计详细的数学问题的算法，事实上就是寻求一类问题的算法，它可以通过计算机来完成．设计算法的关键是把过程分解成若干个明确的步骤，然后用计算机能接受的“语言”精确地描述出来．3．在解放斗争中，有一名战士接到吩咐，要求在最短的时间内配制出三副炸药，但是由于条件艰苦，称量物品的天平只剩下50g和5g两个砝码，现有495g硫磺，如何设计算法使称量的次数最少？需称量多少次？解析：算法如下：第一步，计算出495g硫磺分成三等份，每份应为165g.其次步，用5g砝码称出5g硫磺．第三步，用5g砝码和5g硫磺共同称出10g硫磺．第四步，用50g砝码称出50g硫磺．第五步，用50g砝码和50g硫磺共同称出100g硫磺．第六步，把5g、10g、50g、100g硫磺混合，构成165g硫磺，也就是一份硫磺．第七步，用这一份硫磺再称出165g硫磺，余下的作为一份．由上述方法可以看出，这种算法共须要称量5次．算法设计中的分类探讨思想[典例]给出解方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为实数)的一个算法．[解析]算法步骤如下：1．当a＝0，b＝0，c＝0时，解集为全体实数．2．当a＝0，b＝0，c≠0时，原方程无实数根．3．当a＝0，b≠0时，原方程的解为x＝－eq\f(c,b).4．当a≠0且b2－4ac＞0时，方程有两个不等实根，x1＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，x2＝eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a).5．当a≠0且b2－4ac＝0时，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－eq\f(b,2a).6．当a≠0且b2－4ac[感悟提高]在解决问题时由于条件的改变，问题的结果有多种状况，不能用同一标准或同一种方法去解决，这就须要用分类探讨的思想对条件状况进行探讨，本题分a＝0和a≠0两种状况，而a＝0和a≠0每种状况下又分三种情形．[随堂训练]对应学生用书第25页1．下列描述不是解决问题的算法的是()A．从中山到北京先坐汽车，再坐火车B．解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1C．方程x2－4x＋3＝0有两个不等的实根D．解不等式ax＋3>0时，第一步移项，其次步探讨解析：A选项：从中山到北京，先坐汽车，再坐火车，解决了怎样去的问题，所以A是解决问题的算法；B选项：解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解决了怎样解一元一次方程的问题，所以B是解决问题的算法；D选项：解不等式ax＋3>0时，第一步移项化为ax>－3，其次步探讨a的符号，进而依据不等式的基本性质，求出不等式的解集，解决了怎样求不等式解集的问题，所以D是解决问题的算法．故选C.答案：C2．想泡茶喝，当时的状况是：火已经生起了，凉水和茶叶也有了，开水没有，开水壶要洗，茶壶和茶杯要洗，下面给出了四种不同的算法过程，你认为最好的一种算法是()A．洗开水壶，灌水，烧水，在等待水开时，洗茶壶、茶杯，拿茶叶，等水开了后泡茶喝B．洗开水壶，洗茶壶和茶杯，拿茶叶，一切就绪后，灌水，烧水，坐等水开后泡茶喝C．洗开水壶，灌水，烧水，坐等水开，等水开后，再拿茶叶，洗茶壶、茶杯，泡茶喝D．洗开水壶，灌水，烧水，再拿茶叶，坐等水开，等水开后，再洗茶壶、茶杯，泡茶喝解析：解决一个问题可以有多种算法，可以选择其中最优、最简洁、步骤尽可能少的算法．选项中的四种算法都符合题意，但算法A要比其余的三种算法科学，所以选A.答案：A3．给出下列算法：1．输入x的值．2．当x>4时，计算y＝x＋2，否则执行下一步．3．计算y＝eq\r(4－x).4．输出y.当输入x＝0时，输出y＝________．解析：由于x＝0>4不成立，故计算y＝eq\r(4－x)＝2.答案：