912余弦定理教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教B版

9.1.2余弦定理教学设计一、教材分析“余弦定理”是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一,也是初中“勾股定理”内容的直接延拓,它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用,是解可转化为三角形计算问题的其他数学问题及生产、生活实际问题的重要工具,是高考的必考内容之一。本节的主要内容是引入并证明余弦定理;余弦定理及其推论;余弦定理解三角形;余弦定理判断三角形的形状及在几何计算等方面的应用。突破难点的关键是在推导余弦定理之前复习平面向量的相关知识,引导学生注意向量在几何中的用途是通过给线段赋予方向,由数量积可以将线段之间的长度、角度之间的关系联系起来,为推导余弦定理的思维埋下伏笔。二、学情分析学生在已有的认知基础上，已经学习了解直角三角形的内容,又学习了三角函数的有关知识和平面向量的相关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量知识已形成一定的知识框架,另外,前面学生已经学习了正弦定理的有关内容,对正弦定理的探究过程有了一定的掌握，对于三角形中的边角关系有了较深一步的认识。但学生可能还会遇到问题:由于学生缺乏应用数学知识的意识,创造力较弱,看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度,即如何联想到用向量、解析方法和三角方法等多种途径证明余弦定理有困难，即将求边的问题转化为求向量的模、两点间的距离的问题有困难。三、教学过程课标要求掌握余弦定理及其推论2.会用平面向量方法证明余弦定理3.能利用余弦定理解决两类解三角形问题教学目标学科素养直观想象逻辑推理数学抽象与数学运算特色目标匠心筑梦琢玉成器育人目标在探索余弦定理的过程中，培养学生探索精神和创新意识，形成严谨的数学思维方式，培养用数学观点解决问题的能力和意识教学重难点重点余弦定理及其推论在解三角形中的应用难点余弦定理的发现与证明教学方式启发式教学探究式教学教学环节教学内容师生互动设计意图创设情境引出课题多媒体展示岫岩山峰图片，以及喜鹊大岭施工照片，引出情境与问题:高速公路的路线规划经过一座小山丘，我县施工队现需要挖一段隧道.开挖前需要测量出山脚的长度，但两山脚之间的距离无法直接测量.若在点C用测量仪已经测出AC、BC的距离及∠ACB的大小，请问要如何才能知道山脚AB的长度呢？问题1该问题给出了三角形中哪些元素？用来解决什么问题？问题2.该问题能直接用正弦定理求解吗？教师操作多媒体.师生共同得出问题的答案,问题1:知道了三角形的两边AC、BC和夹角C,求另一边AB。问题2:不能,正弦定理不能直接解已知两边及其夹角的三角形。并多媒体展示学习目标。通过设置情境，激发学生的学习热情，培养学生学习数学的兴趣，在情境中提出问题，引导学生探究问题，调动学生的积极性，使他们以强烈的求知欲和饱满的热情来学习新知识。设置问题学习新知目标1：借助向量的运算推导余弦定理问题1：情境导入中的问题转抽象成数学模型，已知AC，BC和角C，如何求AB？用向量坐标表示或者其他方法可以求出AB吗？作为本节课第一个课后作业。得出新知：余弦定理，公式表达：语言叙述：三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍.3.回到导入中的问题：在△ABC中，已知a=3km，b=5km，C=120°，求c．教师引导学生用向量法求AB，师生得出余弦定理求边c的表达式，多媒体演示动态图归纳出余弦定理表达式。师生共同总结余弦定理的公式表达与语言叙述，教师板书，学生观察公式的特点，熟记。师生共同解决导入问题。通过情境导入抽象成数学模型培养学生数学建模的核心素养，从而引出余弦定理的表达式,让学生感受公式的推导过程，多媒体动态展示让学生更容易归纳出余弦定理表达式，培养学生直观想象和数学运算的核心素养。完成学习目标1。通过余弦定理的学习，解决导入问题。提升学生数学应用能力。应用举例归纳方法目标2：掌握余弦定理及其推论，能用余弦定理解三角形1.例1已知△ABC中，a=3，b=6，C=60°，求c.归纳:余弦定理可以解已知两边及其夹角的三角形.变式训练:本题条件不变，结论改为求解这个三角形2.例2已知△ABC中，a=6，b=4，c=2√7，求C.归纳：余弦定理可以解已知三边的三角形.【链接高考】：（2023上海.8）已知△ABC中，a=4，b=5，c=6，sinA=.3.提出问题：借助余弦定理，怎样用三条边来表示三个角？4.得出新知:余弦定理的推论。5.提出问题，根据余弦定理和推论你能得出余弦定理可以解什么条件的三角形吗？6.如果把夹角变成一边对角，如何用余弦定理进行求解呢？在△ABC中，教师操作课件，引导学生自己解决问题，教师环视。学生独立思考变式训练，判断解三角形的其他元素的先后顺序，以及使用的定理.师生共同总结出余弦定理可以解已知三边的三角形。学生独立思考，一名同学上黑板板演，教师检查学生解答过程，并巡视。师生得出余弦定理的推论教师板书余弦定理的推论学生记忆公式。学生回答加深记忆学生小组讨论，教师巡视，并指导。总结正弦定理和余弦定理解本题的优缺点。帮助学生深化对余弦定理的理解，感受数学知识的应用，锻炼学生的应用能力和计算能力。培养学生养成及时进行归纳的意识,提高其总结能力。进一步加深学生对余弦定理及其推论的认识，理解其应用，培养学生的逻辑推理和数学运算的学科素养。通过高考题引发学生兴趣，板演看过程。对余弦定理变形，引出余弦定理的推论，培养学生大胆探索、勤于发现新知识的意识。帮助学生记准余弦定理及其推论。进一步加深学生对余弦定理公式中知三求一的理解，培养学生的归纳推理能力。归纳小结回顾新知由学生总结本节课的重