浙江省杭州市联谊学校2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

杭州联谊学校2024年5月教学质量检测高一数学试题一、单选题1.已知，则的虚部为（）A.2 B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的有关概念直接得出结果.【详解】因为，所以则z的虚部为2.故选：A2.设一组样本数据x1，x2，…，xn方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（）A.0.01 B.0.1 C.1 D.10【答案】C【解析】【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.【详解】因为数据的方差是数据的方差的倍，所以所求数据方差为故选：C【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题.3.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】C【解析】【分析】根据已知条件及借助正方体，结合点线面的位置关系即可求解.【详解】如图所示对于A，设平面为平面,平面为平面,为，则，则，故A错；对于B，设平面为平面,平面为平面,为，则，则，故B错；对于C，过作平面与平面交于直线，，则，，可得，则，故C正确；对于D，设平面为平面,为，为，则，则，故D错.故选：C.4.已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可知：，根据模长关系结合数量积的运算律可得，进而可求投影向量.【详解】由题意可知：，因为，则，即，可得，所以向量在向量方向上的投影向量为.故选：C.5.函数的最小正周期等于（）A.π B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简为即可求得最小正周期.【详解】，故最小最周期.故选：A6.已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（）A.－4 B.4 C.5 D.8【答案】C【解析】【分析】根据不等式的解集求出的值和的取值范围，在代入中利用对勾函数的单调性求出它的最小值.【详解】由的解集为，则，且，是方程的两根，由根与系数的关系知，解得，，当且仅当时等号成立，故，设，函数在上单调递增，所以所以的最小值为5.故选：C7.已知圆锥的轴截面为为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为，若，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，利用内切圆的性质，求得圆锥的底面半径和高，结合体积公式，即可求解.【详解】如图所示，设内切球与PA相切于点，因为，所以，由内切球的表面积为，可得球的半径，则圆锥的高为，圆锥的底面半径为，所以该圆锥的体积.故选：A.8.在中，角所对的边分别是，若，边上的高为，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由余弦定理可求得，再由等面积关系可得，利用余弦定理结合基本不等式得出，即可求得，再结合的范围即可得出结论.【详解】，由余弦定理可得，整理可得，又AC边上的高为，所以，即，，当且仅当取等号，，即，即，，则，，故∠ABC的最大值为.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查余弦定理的应用，解题的关键是等面积关系得，由基本不等式得.二、多选题9.下列命题为真命题的是（）A.复数对应的点在第二象限B.若为虚数单位，则C.在复数集中，方程的两个解分别为和D.复平面内满足条件的复数z所对应的点Z的集合是以点为圆心，2为半径的圆【答案】BC【解析】【分析】根据复数的定义可判断A；根据的性质可判断B；根据复数方程的根可判断C；根据复数的几何意义可判断D.【详解】对于A，复数对应的点为，在第四象限，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，所以在复数集中，方程有两个解，分别为和，故C正确；对于D，复平面内满足条件的复数对应的点的集合是以点为圆心，2为半径的圆面，故D错误.故选：BC10.在中，分别为的对边，则下列叙述正确的是（）A.若，则是等腰三角形．B.若为锐角三角形且外心为且，则．C.若，则解此三角形的结果有一解．D.“为锐角三角形”是“”的充分不必要条件．【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，由正弦定理得，得到，可得判定A正确；化简得到，得到B，P，D三点共线，可判定B项正确；由正弦定理，求得三角形的结果有两解，可判定C错误；由为锐角三角形，得到，结合正弦函数的单调性和充分、必要条件的判定，可判定D正确．【详解】对于A中，因为，由正弦定理得，即，因为，可得，所以，由正弦定理得，所以是等腰三角形，所以A项正确；对于B中，由，可得，则，即，如图所示，设为的中点，则，故，故B，P，D三点共线，因为P是的外心，所以BD垂直平分AC，所以，所以B项正确；对于C中，若，因，所以，因为，所以，而，所以或，所以解此三角形的结果有两解，所以C项错误；对于D中，若为锐角三角形，则，可得，可得，且在内单调递增，则，即充分性应立；若，例如符合题意，但为直角三角形，即必要性不成立；综上所述：“为锐角三角形”是“”的充分不必要条件，所以D项正确．故选：ABD．11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动时，下列命题正确的是（）A.三棱锥A−D1PC的体积不变B.直线CP与直线AD1的所成角的取值范围为C.直线AP与平面ACD1所成角的大小不变D.二面角P−AD1−C的大小不变【答案】ABD【解析】【分析】对于选项A，由已知可得平面，可得BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，由此可判断；对于选项B，由，可得直线CP与直线AD1的所成角即为直线CP与直线BC1的所成角，由此可判断；对于选项C，点P在直线BC1上运动时，直线AB与平面AD1C所成的角和直线AC1与平面AD1C所成的角不相等，可判断；对于选项D，当点P在直线BC1上运动时，平面BAD1C1,即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影响，故D正确.【详解】对于选项A，因为，面，面，所以平面，所以BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，又，所以三棱锥A﹣D1PC的体积不变，故A正确；对于选项B，因为，点P在直线BC1上运动，所以直线CP与直线AD1的所成角即为直线CP与直线BC1的所成角，因为为等腰直角三角形，故B项正确；对于选项C，点P在直线BC1上运动时，直线AB与平面AD1C所成的角和直线AC1与平面AD1C所成的角不相等，故C错误；对于选项D，当点P在直线BC1上运动时，平面BAD1C1,即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影响，故D正确.故选：ABD.三、填空题12.若，则__________.【答案】1【解析】【分析】根据指数与对数的互化可得，结合对数的换底公式和运算性质即可求解.【详解】因为，所以，所以.故答案为：1.13.从某果树上随机摘下11个水果，其直径为（单位：，则这组数据的第六十百分位数为__________.【答案】20【解析】【分析】由百分位数的定义求解即可.【详解】第六十百分位数的位置为，即取第7位数20，故第六十百分位数为20.故答案为：20.14.已知函数()在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】因为，可得，根据函数在区间上有且仅有一个零点，得到，且，可得，验证，，即可求解.【详解】由题意，函数（），可得函数的周期为，因为，可得又由函数()在区间上有且仅有一个零点，且满足，且，可得，即，且，当时，，解得，所以；当时，，解得，所以；当时，，解得，此时解集为空集，综上可得，实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15.在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，60分以下视为不及格.观察图形中的信息，回答下列问题：（1）求分数内的频率，并计算本次竞赛中不及格考生的人数；（2）从频率分布直方图中，分别估计本次竞赛成绩的众数和中位数.【答案】（1）分数内的频率为，不及格考生的人数为：（人）（2）众数为75分，中位数为分【解析】【分析】（1）根据频率和为1，可求分数在内的频率；用“样本容量频率”可得不及格考生的人数；（2）用频率最大的区间的中间数据估计众数，根据中位数的概念求中位数.【小问1详解】由频率分布直方图得：，解得，所以分数内的频率为.本次竞赛中不及格考生的人数为：（人）.【小问2详解】由题意得：因为成绩在的频率最大，又，所以众数为75分；设中位数为，则，解得，所以中位数为分.16.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）借助中位线的性质与线面平行判定定理推导即可得；（2）借助线面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理推导即可得；（3）借助点为线段的中点，可得点与点到平面距离相等，即有，结合体积公式计算即可得.【小问1详解】连接交于点，连接，由底面是正方形，故为中点，又点为线段的中点，故，又平面，平面，故平面；【小问2详解】由点为线段的中点，，故，由平面，平面，故，又底面是正方形，故，又、平面，，故平面，又平面，故，又、平面，，故平面；【小问3详解】由点为线段的中点，故点与点到平面距离相等，故.17.已知，如图，在中，点满足在线段BC上且，点是AD与MN的交点，.（1）分别用来表示和（2）求最小值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）平面向量基本定理的运用，根据已知条件，结合向量的线性运算即可求解.（2）根据已知条件，结合三点共线性质和基本不等式中“1”的妙用即可求解.【小问1详解】因为，所以，因为，所以.【小问2详解】由（1），因为，，所以，因为三点共线，所以，，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.18.在中，对应的边分别为，已知向量,且为边上一点，,且.（1）求；（2）求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由得，从而计算；（2）由题意，两边平方结合基本不等式可得，利用面积公式即可求.【小问1详解】因为，且，所以，利用二倍角公式和边化角可得：，即，所以，因为，所以，又因为，所以，所以，即.【小问2详解】因为，所以，两边平方得：，所以，当且仅当时取等号.由，可得：，所以.所以面积的最大值为.19.如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，.（1）证明：平面；（2）若二面角为，求异面直线与所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质，线面垂直的性质判定推理即得.（2）作出二面角的平面角，由此求出，再利用异面直线所成角的定