山东省烟台市高三下学期高考诊断性测试数学（理）试题

山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试理科数学试题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1.已知集合,则集合A∩B=A.B.C.D.【答案】D【解析】由，集合，所以，故选D.2.已知复数(i是虚数单位),则的虚部为A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意，所以复数的虚部为，故选C.3.某产品广告宣传费与销售额的统计数据如右表，根据数据表可得回归直线方程,其中,据此模型预测广告费用为9千元时,销售额为A.17万元B.18万元C.19万元D.20万元【答案】A【解析】由题意，根据表中的数据可知，且，代入，则，解得，即，当时，，故选A.4.已知等差数数列的前项和为Sn,若a3+a7=6,则S9等于A.15B.18C.27D.39【答案】C【解析】由等差数列的性质可知，又，故选C.5.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当时,,则A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意函数满足，所以函数为以为周期的周期函数，则，由函数为奇函数且当时，，所以，即，故选B.6.已知的展开式的各项系数和为243,则展开式中x2的系数为A.5B.40C.20D.10【答案】B【解析】由题意，二项式的展开式中各项的系数和为，令，则，解得，所以二项式的展开式为，令，则，即的系数为，故选B.7.设变量x、y满足约束条件,则的最最大值为A.6B.C.D.3【答案】C【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数化简为，由图象可知，当目标函数过点是取得最大值，由，解得，即，所以目标函数的最大值为，故选C.8.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,书中有一问题:“今有方物一束,外周一匝有三十二枚,问积几何?“该著作中提出了一种解决此问题的方法:“重置二位,左位减八,余加右位,至尽虚减一,即得.”通过对该题的研究发现,若一束方物外周一匝的枚数n是8的整数倍时,均可采用此方法求解,右图是解决这类问题的程序框图,若输入n=24,则输出的结果为A.23B.47C.24D.48【答案】B【解析】模拟程序的运行，可得，执行循环体，，不满足条件；执行循环体，，不满足条件；执行循环体，，满足条件，输出，故选B.9.若函数在上是增函数,则的取值范围是A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意，因为所以示函数含原点的递增区间，又因为函数在上是增函数，所以，即，又，所以，故选D.10.双曲线的左、右焦点分别为为F1、F2,过F2作倾斜角为的直线与y轴和双曲线的左支分别交于点A、B,若,则该双曲线的离心率为A.B.2C.D.【答案】C【解析】由，根据向量的运算可知，点为的中点，所以，则，在直角中，因为且，所以，即，又因为，所以，即，又，解得.11.已知函数y=f(x)对任意的满足(其中为函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是A.B.C.D.【答案】B【解析】令，则，因为，则，所以，所以，即，即，故选B.点睛：本题考查了函数的单调性和导数的关系，以及利用函数的单调比较大小关系，其中熟记函数四则运算中商的导数公式，以及构造出相应的函数模型是解答的关键，属于中档试题.12.已知函数在R上是单调递增函数,则的最小值是A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】由题意的，因为函数在上单调递增，所以满足，可得，且所以，当且仅当时等号成立，所以，故选A.点睛：本题考查了函数的单调性的应用，以及基本不等式求最值问题，解答中根据函数在上单调递增，列出不等式组，求解，代入，利用基本不等式求最值是解得关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.二、填空题:本大题共有4个小题,每小题5分,共20分13.若非零向量、满足,则与的夹角为_______。【答案】【解析】由题意，，所以向量与所成的角为，且，所以.14.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若∠B=60°,a=3,b=,则c的值为____________。【答案】4【解析】在中，由余弦定理，得，即，解得.15.已知F(2,0)为椭圆的右焦点,过F且垂直于x轴的弦的长度为6,若A,点M为椭圆上任一点,则的最大值为_____。【答案】【解析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的焦点为，则，又过且垂直于轴的弦的长度为，即，则，解得，所以，又由，当三点共线时，取得最大值，此时，所以的最大值为.点睛：本题主要考查了椭圆的定义及标准方程的应用，其中解答中根据题意求得的值，再利用椭圆的定义转化为当三点共线时，取得最大值是解答的关键.着重考查了分析问题和解答问题的能力.16.如图,一张矩形白纸ABCD,AB=10,AD=,E,F分别为AD,BC的中点,现分别将△ABE,△CDF沿BE,DF折起,且A、C在平面BFDE同侧,下列命题正确的是____________(写出所有正确命题的序号)①当平面ABE∥平面CDF时,AC∥平面BFDE②当平面ABE∥平面CDF时,AE∥CD③当A、C重合于点P时,PG⊥PD④当A、C重合于点P时,三棱锥PDEF的外接球的表面积为150【答案】①④【解析】在中，，在中，，所以，由题意，将沿折起,且在平面同侧，此时四点在同一平面内，平面平面，平面平面，当平面平面时，得到,显然，所以四边形是平行四边形，所以,进而得到平面，所以①正确的；由于折叠后，直线与直线为异面直线，所以与不平行，所以②错误的；折叠后，可得,，其中,ZE，所以和不垂直，所以③不正确；当重合于点时,在三棱锥中，和均为直角三角形，所以为外接球的直径，即,则三棱锥的外接球的表面积为，所以④是正确，综上正确命题的序号为①④.点睛：本题考查了命题的真假判定，空间直线与平面平行、垂直的位置关系的综合应用，以及球的组合体问题，对于求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。17.已知各项均为正数的等比数列,满足,且(1)求等比数列的通项公式;(2)若数列满足,求数列的前n项和为Tn【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由已知，求得，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）得，进而得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的和.试题解析：（1）由已知得：，或（舍去）.（2），,两式相减得：.18.如图,在三棱柱ABCDEF中,AE与BD相交于点O,C在平面ABED内的射影为O,G为CF的中点(1)求证平由ABED⊥平面GED(2)若AB=BD=BE=EF=2,求二面角ACEB的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）取中点，证得，又因为在平面内的射影为，所以⊥平面.利用面面垂直的判定定理，即可证明平面平面；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值.试题解析：（1）取中点，在三角形中，，.又因为为中点，所以，..四边形为平行四边形..因为在平面内的射影为，所以⊥平面.所以⊥平面.又因为，所以平面平面.（2）∵⊥面，∴⊥，⊥又∵四边形为菱形，⊥，以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，于是，，，，向量，向量，设面的一个法向量为，，即，不妨令时，则，，取.又为面的一个法向量.设二面角大小为，显然为锐角，于是，故二面角的余弦值为．19.某高中学校对全体学生进行体育达标测试,每人测试A、B两个项目,每个项目满分均为60分.从全体学生中随机抽取了100人,分别统计他们A、B两个项目的测试成绩,得到A项目测试成绩的频率分布直方图和B项目测试成绩的频数分布表如下:将学生的成绩划分为三个等级如右表:(1)在抽取的100人中,求A项目等级为优秀的人数(2)已知A项目等级为优秀的学生中女生有14人,A项目等级为一般或良好的学生中女生有34人,试完成下列2×2列联表,并分析是否有95%以上的把握认为“A项目等级为优秀”与性别有关?参考数据:0.100.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828参考公式其中(3)将样本的率作为总体的概率,并假设A项目和B项目测试成绩互不影响,现从该校学生中随机抽取1人进行调查,试估计其A项目等级比B项目等级高的概率,【答案】（1）40；（2）有95%以上的把握认为“项目等级为优秀”与性别有关；（3）0.3【解析】试题分析：（1）由项目测试成绩的频率分布直方图，即可求解项目等级为优秀的频率及优秀的人数；（2）由（1）知：作出列联表，利用公式求解的值，即可得到结论；（3）设“项目等级比项目等级高”为事件，记“项目等级为良好”为事件；“项目等级为优秀”为事件；“项目等级为一般”为事件；“项目等级为良好”为事件，利用概率的加法公式，即可求解概率.试题解析：（1）由项目测试成绩的频率分布直方图，得项目等级为优秀的频率为，所以，项目等级为优秀的人数为．（2）由（1）知：项目等级为优秀的学生中，女生数为人，男生数为人.项目等级为一般或良好的学生中，女生数为人，男生数为人.作出列联表：优秀一般或良好合计男生数女生数合计计算，由于，所以有95%以上的把握认为“项目等级为优秀”与性别有关．（3）设“项目等级比项目等级高”为事件．记“项目等级为良好”为事件；“项目等级为优秀”为事件；“项目等级为一般”为事件；“项目等级为良好”为事件．于是，，由频率估计概率得：，.因为事件与相互独立，其中．所以．所以随机抽取一名学生其项目等级比项目等级高的概率为．20.已知抛物线x2=2Py(p>0)和圆x2+y2=r2(r>0)的公共弦过抛物线的焦点F,且弦长为4(1)求抛物线和圆的方程:(2)过点F的直线与抛物线相交于A、B两点,抛物线在点A处的切线与x轴的交点为M,求△ABM面积的最小值【答案】（1），；（2）【解析】试题分析：（1）由题意可知，求得的值，得到抛物线的方程，进而求得圆的方程.（2）设直线的方程为：，联立方程组，求的及，利用导数求得切线方程，得到，利用点到直线的距离公式，求的距离，表示出面积的表达式，利用导数，研究函数的单调性和最值，即可得到结论.试题解析：（1）由题意可知，，所以，故抛物线的方程为.又，所以，所以圆的方程为.（2）设直线的方程为：，并设，联立，消可得，.所以；.，所以过点的切线的斜率为，切线为，令，可得，，所以点到直线的距离，故，分又，代入上式并整理可得：，令，可得为偶函数，当时，，，令，可得，当，，当，，所以时，取得最小值，故的最小值为.点睛：本题主要考查抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，利用题设条件确定圆锥曲线方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，利用函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.已知有两个零点(1)求a的取值范围(2)设x1、x2是f(x)的两个零点,求证证:x1+x2>【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）求的函数的导数，根据函数有两个零点，分类讨论，即可求解实数的取值范围；（2）不妨设，由（1）知，构造函数，得到，得到，得到函数的单调性和最值，即可得到证明.试题解析：（1），当时，，此时在单调递增，至多有一个零点.当时，令，解得，当时，，单调递减，当，，单调递增，故当时函数取最小值当时，，即，所以至多有一个零点.当时，，即因为，所以在有一个零点；因为，所以，，由于，所以在有一个零点.综上，的取值范围是.（2）不妨设，由（1）知，，.构造函数，则因为，所以，在单调递减.所以当时，恒有，即因为，所以于是又，且在单调递增，所以，即点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的证明和不等式的恒成立问题，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题；(4)考查数形结合思想的应用.22.已知直线l的参数方程为为参数），椭圆C的参数