第2课时椭圆的标准方程及性质的应用同步检测 高二上学期数学人教A版2019选择性必修第一册

.1.2第2课时椭圆的标准方程及性质的应用（同步检测）一、选择题1.直线y＝kx－k与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.不确定2.直线y＝kx＋2和椭圆eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1有公共点，则k的取值范围是()A.k<－eq\f(\r(6),3)或k>eq\f(\r(6),3)B.k≤－eq\f(\r(6),3)或k≥eq\f(\r(6),3)C.－eq\f(\r(6),3)<k<eq\f(\r(6),3)D.－eq\f(\r(6),3)≤k≤eq\f(\r(6),3)3.德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比是29∶30，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是()A.eq\f(1,59)B.eq\f(2,59)C.eq\f(29,59)D.eq\f(30,59)4.已知过圆锥曲线eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为eq\f(x0x,m)＋eq\f(y0y,n)＝1.过椭圆eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1上的点A(3，－1)作椭圆的切线l，则过点A且与直线l垂直的直线方程为()A.x－y－3＝0B.x＋y－2＝0C.2x＋3y－3＝0D.3x－y－10＝05.美学四大构件是：史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆(如图所示)，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(1,3)6.如图是一个篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22cm，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)7.(多选)若直线y＝kx＋2与椭圆eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1相切，则斜率k的值是()A.eq\f(\r(6),3)B.－eq\f(\r(6),3)C.－eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(3),3)8.(多选)如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P处变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点处第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，离心率分别为e1，e2，则下列结论正确的是()A.a1＋c1＞2(a2＋c2)B.a1－c1＝a2－c2C.e1＝eq\f(e2＋1,2)D.椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁二、填空题9.某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为8eq\r(7)米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是________米．10.过点M(1,1)作斜率为－eq\f(1,2)的直线与椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________11.若直线y＝x＋2与椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,3)＝1有两个公共点，则m的取值范围是________________12.罗马竞技场，建于公元72年到82年，是古罗马文明的象征，其内部形状近似为一个椭圆形，其长轴长约为188米，短轴长约为156米，竞技场分为表演区与观众区，中间的表演区也近似为椭圆形，其长轴长为86米，短轴长为54米，若椭圆的面积为πab(其中a，b分别为椭圆的长半轴长与短半轴长，π取3.14)，已知观众区可以容纳9万人，由此推断，观众区每个座位所占面积约为________平方米(保留小数点后两位)．三、解答题13.已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．14.已知点A，B的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2.(1)求动点M的轨迹方程；(2)若过点Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))的直线l交动点M的轨迹于C，D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程．15.如图，某市新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(x≤0)和eq\f(y2,b2)＋eq\f(x2,81)＝1(x≥0)组成，其中a>b>9，“挞圆”内切于矩形(即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点)．(1)求“挞圆”的方程；(2)在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y＝t(t∈(0,15))，求该网箱所占水面面积的最大值．参考答案及解析：一、选择题1.A解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－k，,\f(x2,9)＋\f(y2,4)＝1，))消去y得(4＋9k2)x2－18k2x＋9k2－36＝0，Δ＝(－18k2)2－4(4＋9k2)(9k2－36)＝576(2k2＋1)，易知Δ>0恒成立，∴直线y＝kx－k与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的位置关系为相交．2.B解析：将y＝kx＋2代入椭圆方程eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1，消去y，可得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，∴Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝72k2－48，∵直线和椭圆有公共点，∴72k2－48≥0，∴k≤－eq\f(\r(6),3)或k≥eq\f(\r(6),3).3.A解析：设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，由题意可得eq\f(a－c,a＋c)＝eq\f(29,30)，整理得a＝59c，即eq\f(c,a)＝eq\f(1,59).∴地球运行轨道所在椭圆的离心率是eq\f(1,59).4.B解析：过椭圆eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1上的点A(3，－1)的切线l的方程为eq\f(3x,12)＋eq\f(－y,4)＝1，即x－y－4＝0，切线l的斜率为1.与直线l垂直的直线的斜率为－1，故过点A且与直线l垂直的直线方程为y＋1＝－(x－3)，即x＋y－2＝0.5.C解析：设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，由“切面”所在平面与底面成60°角，可得eq\f(2b,2a)＝cos60°，即a＝2b，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2－b2,a2))＝eq\f(\r(3),2).6.B解析：如图，l1，l2是两条与球相切的直线，分别切于点A，C，与底面交于点B，D，设篮球的半径为R，∴AC＝2R＝22，R＝11，过点C作CE∥BD交l1于点E，则CE＝BD，在△ACE中，CE＝eq\f(AC,sin60°)，∴CE＝22×eq\f(2,\r(3))＝2a，∴a＝eq\f(22,\r(3))＝eq\f(2R,\r(3))，b＝R，∴c＝eq\r(\f(4R2,3)－R2)＝eq\f(\r(3),3)R，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\f(\r(3)R,3),\f(2R,\r(3)))＝eq\f(1,2).7.AB解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,\f(x2,3)＋\f(y2,2)＝1，))得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝144k2－24(3k2＋2)＝0，解得k＝±eq\f(\r(6),3)．8.ABC解析：对A，由题可知a1＝2a2，c1＝a2＋c2＞2c2，所以a1＋c1＞2(a2＋c2)，所以选项A正确；对B，由a1－c1＝|PF|，a2－c2＝|PF|，得a1－c1＝a2－c2，所以选项B正确；对C，由a1＝2a2，c1＝a2＋c2，得eq\f(c1,a1)＝eq\f(a2＋c2,2a2)＝eq\f(1＋\f(c2,a2),2)，即e1＝eq\f(e2＋1,2)，所以选项C正确；对D，根据选项C知，2e1＝e2＋1＞2e2，所以e1＞e2，即椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁，所以选项D错误．故选ABC．二、填空题9.答案：32解析：设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,36)＝1，当点(4eq\r(7)，4.5)在椭圆上时，eq\f(16×7,a2)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))2,36)＝1，解得a＝16，∵车辆高度不超过4.5米，∴a≥16，d＝2a≥32，故拱宽至少为32米．10.答案：eq\f(\r(2),2)解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\f(x\o\al(2,1),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①eq\f(x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1.②∵M是线段AB的中点，∴eq\f(x1＋x2,2)＝1，eq\f(y1＋y2,2)＝1.∵直线AB的方程是y＝－eq\f(1,2)(x－1)＋1，∴y1－y2＝－eq\f(1,2)(x1－x2)．由①②两式相减可得eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),b2)＝0，即eq\f(2,a2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))·eq\f(2,b2)＝0.∴a＝eq\r(2)b，∴c＝b，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).11.答案：(1,3)∪(3，＋∞)解析：∵eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,3)＝1表示椭圆，∴m>0且m≠3.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,\f(x2,m)＋\f(y2,3)＝1，))得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0，∴Δ＝16m2－4m(m＋3)>0，解得m>1或m<0.∴m>1且m≠3，∴m的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)．12.答案：0.22解析：由条件可得，竞技场的总面积为π×eq\f(188,2)×eq\f(156,2)＝7332π(平方米)，表演区的面积为π×eq\f(86,2)×eq\f(54,2)＝1161π(平方米)，故观众区的面积为7332π－1161π＝6171π(平方米)，故观众区每个座位所占面积为eq\f(6171π,90000)≈eq\f(6171×3.14,90000)≈0.22(平方米)．三、解答题13.解：设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋a＝0(a≠4)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋8y2＝8，,x－y＋a＝0，))消x得9y2－2ay＋a2－8＝0，由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，解得a＝3或a＝－3，∴与直线l距离较近的切线为x－y＋3＝0，两条直线之间的距离即为所求最短距离，且直线x－y＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P.故所求最短距离d＝eq\f(|4－3|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋8y2＝8，,x－y＋3＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(8,3)，,y＝\f(1,3)，))即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，\f(1,3))).14.解：(1)设M(x，y)．因为kAM·kBM＝－2，所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－1)＝－2(x≠±1)，化简得2x2＋y2＝2(x≠±1)．即点M的轨迹方程为2x2＋y2＝2(x≠±1)．(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)．当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x＝eq\f(1,2)，易知此时线段CD的中点不是N，不符合题意．当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y－1＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，将点C(x1，y1)，D(x2，y2)的坐标代入2x2＋y2＝2(x≠±1)，得2xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝2，①2xeq\o\al(2,2)＋y