2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题09数列求和(通项含绝对值数列求和)练习(学生版+解析)

专题09数列求和（通项含绝对值数列求和）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、典型题型 1题型一：通项含绝对值 1题型二：通项含取整函数 3题型三：通项含自定义符号 4二、专题09数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练 5一、典型题型题型一：通项含绝对值如：求的前项和1．（2023·全国·模拟预测）在数列中，，．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．2．（23-24高二下·贵州遵义·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，，.(1)求数列的通项公式；(2)当n为多少时取得最大值，并求的最大值；(3)若，求数列的前n项和.3．（23-24高二下·河南南阳·开学考试）在等差数列中，，，其前项和为．(1)求出时的最大值；(2)求4．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求.5．（23-24高二上·四川南充·期末）已知等差数列中，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．题型二：通项含取整函数如：求的前项和1．（23-24高三上·山东烟台·期末）已知数列满足，，用表示不超过的最大整数，则数列的前10项和为．2．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数是高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，.若数列满足，且，记.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.3．（23-24高三上·重庆·期末）已知数列是等差数列，且，．(1)求的通项公式；(2)表示不超过x的最大整数，如，．若，是数列的前n项和，求．4．（2024·山东烟台·一模）在①；②；③是与的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知为公差不为零的等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为常数，，（1）求数列的通项公式；（2）令其中表示不超过的最大整数，求的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.题型三：通项含自定义符号如：记表示x的个位数字，如求的前项和1．（23-24高三上·湖北孝感·期中）设为数列的前项和，.数列前项和为且.数列满足.（1）求数列和的通项公式；（2）记表示的个位数字，如，求数列的前30项的和.2．（2023高三·全国·专题练习），，记表示的个位数字，如，求数列的前20项的和3．（23-24高三上·河北衡水·期中）设为数列的前项和，，数列满足.(1)求及；(2)记表示的个位数字，如，求数列的前20项和.二、专题09数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练1．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知为数列的前项和，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.5．（2024·四川成都·二模）已知数列的前n项和，且的最大值为．(1)确定常数，并求；(2)求数列的前15项和．6．（2024高三·全国·专题练习），，（表示不超过的最大整数），求的前项和．7．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）从条件①；②；③中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.已知数列的前项和为，，_____________.(1)求的通项公式；(2)表示不超过的最大整数，记，求的前项和.8．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知是数列的前n项和，(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如，．9．（23-24高二·全国·课后作业）已知各项均为正数的无穷数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）记表示不超过的最大整数，如，.令，求数列的前项和.专题09数列求和（通项含绝对值数列求和）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、典型题型 1题型一：通项含绝对值 1题型二：通项含取整函数 7题型三：通项含自定义符号 11二、专题09数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练 14一、典型题型题型一：通项含绝对值如：求的前项和1．（2023·全国·模拟预测）在数列中，，．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题知数列是首项为，公比为的等比数列，进而得；（2）由题知为单调递减数列，再根据，，分和两种情况讨论求解即可；【详解】（1）解：因为在数列中，，，所以，，所以，等式两边同加上得，因为，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，．（2）解：因为，即所以，为单调递减数列，因为，，所以，时，，时，，记的前项和为，则，所以，当时，，；当时，，，①，②所以，①②得：，即，综上，2．（23-24高二下·贵州遵义·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，，.(1)求数列的通项公式；(2)当n为多少时取得最大值，并求的最大值；(3)若，求数列的前n项和.【答案】(1)；(2)，取得最大值；(3).【分析】（1）根据等差数列基本量的计算，转化已知条件求得首项和公差，即可写出通项公式；（2）求得，根据二次函数的性质，即可求得结果；（3）对分类讨论，在不同情况下，借助，即可求得结果.【详解】（1）设等差数列的公差为d，因为等差数列的前n项和为，，，可得，，解得，，所以.（2）根据（1）中所求，，是关于的二次函数，其对称轴；又，所以当n为6时取得最大值，的最大值为36.（3）因为，所以，，当时，；当时，，综上.3．（23-24高二下·河南南阳·开学考试）在等差数列中，，，其前项和为．(1)求出时的最大值；(2)求【答案】(1)(2)【分析】（1）求出等差数列的首项和公差，可再求出，解不等式即得；（2）由确定哪些项小于0，哪些项大于0，根据绝对值的性质分类可求和．【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，∵，∴，∴，∴，解得，∴，令，∴，因为∴的最大值为．（2）∵，，∴，由，得，∵，，∴数列中，前项小于，第项等于，以后各项均为正数，当时，，当时，，综上，．4．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据题意求出的通项公式，可求得，再由与的关系求出；（2）由的通项公式，知，分和讨论，并利用等差数列前n项和公式求解.【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，又，，，，，，则，，，又，，.（2）由（1）得，，当时，，当时，，.5．（23-24高二上·四川南充·期末）已知等差数列中，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列通项公式求出公差，最后写出其通项即可；（2）分和并结合等差数列求和公式即可得到答案.【详解】（1）数列是等差数列，且，公差，因此，.（2）由（1）知，所以，当时，；当时，;当时，，因此，当时，，当时，，综上，.题型二：通项含取整函数如：求的前项和1．（23-24高三上·山东烟台·期末）已知数列满足，，用表示不超过的最大整数，则数列的前10项和为．【答案】29【分析】直接利用数列的递推关系式和数列的取整问题的应用求出结果．【详解】解：数列{an}满足a1＝2，am+an＝am+n（m，n∈N*），设bn＝[log2an]，当n＝m＝1时，b1＝[log22]＝1，a2＝a1+a1＝4，所以b2＝[log24]＝2，a3＝a1+a2＝6，所以b3＝[log26]＝2，a4＝a2+a2＝8，所以b4＝[log28]＝3，a5＝a2+a3＝10，所以b5＝[log210]＝3，a6＝a2+a4＝12，所以b6＝[log212]＝3，a7＝a3+a4＝14，所以b7＝[log214]＝3，a8＝a3+a5＝16，所以b8＝[log216]＝4，a9＝a4+a5＝18，所以b9＝[log218]＝4，a10＝a4+a6＝20，所以b10＝[log220]＝4，所以T10＝b1+b2+…+b10＝1+2+2+3+3+3+3+4+4+4＝29．故答案为：29．2．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数是高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，.若数列满足，且，记.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）计算出，将两式和做差，得出关于的隔项关系式，根据累加求和，求得通项即可；（2）由于……，给出“当时，，……”等结论，分组计算数列的前项和即可.【详解】（1）因为，，所以，因为，所以，将两式相减，得：，所以数列的奇数项，偶数项分别单独构成等差数列.当为奇数时，，，……，且，则，当为偶数时，则，所以.（2）设的前项和为，当时，，当时，，当时，，当时，，所以.3．（23-24高三上·重庆·期末）已知数列是等差数列，且，．(1)求的通项公式；(2)表示不超过x的最大整数，如，．若，是数列的前n项和，求．【答案】(1)(2)23【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可求解，（2）根据所给定义可用列举法求解，即可求和.【详解】（1）设数列的公差为，则，，解得,故；（2）由可得前11项分别为故的前11项分别为所以.4．（2024·山东烟台·一模）在①；②；③是与的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知为公差不为零的等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为常数，，（1）求数列的通项公式；（2）令其中表示不超过的最大整数，求的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【分析】若选（1）先求，可得，进而得，由基本量运算可得；（2）由，可得解.若选（1）先求，可得，进而得，由基本量运算可得；（2）由，可得解.若选（1）先求，可得，进而得，由基本量运算可得；（2）由，可得解.【详解】若选：由已知，所以通项，故不妨设的公差为.则解得所以由，则，，所以.若选：由已知，，通项故.不妨设的公差为，则，解得所以.由，则，，所以.若选：由已知，所以通项，故不妨设的公差为.则，因为解得所以.由则，所以.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键一是利用基本量运算求解通项公式，二是根据判断的值.题型三：通项含自定义符号如：记表示x的个位数字，如求的前项和1．（23-24高三上·湖北孝感·期中）设为数列的前项和，.数列前项和为且.数列满足.（1）求数列和的通项公式；（2）记表示的个位数字，如，求数列的前30项的和.【答案】（1）；；（2）.【分析】（1）利用可求数列的通项，利用可把转化为，因此数列为等比数列，利用等比的数列的通项公式可求其通项，从而得到的通项公式.（2）结合（1）的通项公式可得是周期数列，且周期为5，从而利用分组求和法可求前30项的和.【详解】解：（1）.时，，符合上式.∴.又，，而当时，，，因为，故，因此，所以数列为等比数列，故，故.（2）由（1）得，，因为表示的个位数，因此均为周期数列，且周期为5.将数列中每5个一组，前30项和可分为6组，其前30项的和为.【点睛】本题考查数列通项以及数列求和，一般地，数列的通项与前项和的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化，另外，数列求和应该根据通项的形式选择合适的求和方法，本题属于中档题.2．（2023高三·全国·专题练习），，记表示的个位数字，如，求数列的前20项的和【答案】【分析】由定义可得为1,3,5,7,9、为3,5,7,9,1周期数列，将数列中每5个一组，前20项和可分为4组再利用裂项相消计算可得答案.【详解】因为，分别表示，的个位数，所以为1,3,5,7,9的周期数列，且周期为5，为3,5,7,9,1周期数列，且周期为5，将数列中每5个一组，前20项和可分为4组，其前20项的和为故答案为：.3．（23-24高三上·河北衡水·期中）设为数列的前项和，，数列满足.(1)求及；(2)记表示的个位数字，如，求数列的前20项和.【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根据，可求数列的通项，符合等差数列定义，可直接求出通项；（2）根据、的前5项可知数列是有周期性的，故可以求出前5项的和，再乘以4即可.【详解】（1）当时，，由于也满足，则.，，，是首项为3，公差为2的等差数列，.（2），的前5项依次为1，3，5，7，9.，的前5项依次为3，5，7，9，1.易知，数列与的周期均为5，的前20项和为.二、专题09数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练1．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知为数列的前项和，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用数列递推式求数列的通项公式，结合累乘法求解；（2）分，两种情况，利用等差数列的求和公式求解.【详解】（1）由，得（），两式相减得，即（），所以当时，，经检验也符合上式，故；（2）由题意，记，则数列的前项和，所以，当时，，当时，，综上，2．（23-24高三上·辽宁丹东·阶段练习）已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列的性质即可求解公差，进而可求解，（2）分类讨论，即可根据等差数列求和公式求解.【详解】（1）设的公差为，依题意得，所以，即，化简得，解得或（舍去），，所以经检验满足题意.（2）依题意得，，，其前项和，当时，，，故，当时，，故所以.3．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知数列满足．(1)证明：是等差数列；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析(2)当时，；当时，【分析】（1）由已知递推公式，构造等式，根据等差数列的定义可证得结论；（2）由（1）中的结论可求数列的通项，得到数列的通项，根据通项的符号去绝对值求前n项和.【详解】（1）由，①当时，．②①-②，得，又，则．即，故数列是等差数列．（2）由，令得，由，可知等差数列的公差，所以．设，则数列为递增数列，其前4项为负，从5项开始为正，设的前n项和为，若，．若，．综上，当时，；当时，．4．（23-24高二下·山东德州·阶段练习）已知数列的前n项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)当时，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由条件，根据当时，可得，结合等比数列的定义求数列的通项公式，（2）由（1）求，分别在条件下，结合等差数列求和公式求数列的前n项和.【详解】（1）由已知当时，，所以.又，所以，所以；（2）因为，，所以，，，令，可得，所以当时，，当时，，所以.5．（2024·四川成都·二模）已知数列的前n项和，且的最大值为．(1)确定常数，并求；(2)求数列的前15项和．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据题意，求得，结合，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）求得，结合，即可求解.【详解】（1）解：由数列的前n项和，根据二次函数的性质，可得当时，取得最大值，即，解得，所以，

当时，，当时，（符合上式），所以数列的通项公式为.（2）解：由（1）知，可得，且当