内蒙古自治区鄂尔多斯市达拉特旗第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

高二数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：必修第二册，选择性必修第一册第一章至第三章3.1.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A.B.C.D.2.复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.某生物实验室有3种月季花种子，其中开红色花的种子有200颗，开粉色花的种子有150颗，开橙色花的种子有180颗.从这些种子中任意选取1颗，则这颗种子对应开花的颜色为橙色的概率为（）A.B.C.D.4.已知椭圆的短轴长为4，则（）A.2B.4C.8D.165.现有一个正四棱台形水库，该水库的下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为，则该水库的最大蓄水量为（）A.B.C.D.6.已知向量，则在方向上的投影向量的模为（）A.B.C.D.7.某手机信号检测设备的监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，则这名人员被持续监测的时长约为（）A.2分钟B.3分钟C.4分钟D.5分钟8.已知椭圆的右焦点为，过点的直线与圆相切于点且与椭圆相交于两点，若恰为线段的三等分点，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分.9.降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发､渗透､流失，而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位.降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少，它对农业生产､水利工程､城市排水等有着重要的影响.如图，这是两地某年上半年每月降雨量的折线统计图.下列结论正确的是（）A.这年上半年地月平均降雨量比地月平均降雨量大B.这年上半年地月降雨量的中位数比地月降雨量的中位数大C.这年上半年地月降雨量的极差比地月降雨量的极差大D.这年上半年地月降雨量的分位数比地月平均降雨量的分位数大10.在空间直角坐标系中，已知，则（）A.为质数B.为直角三角形C.与所成角的正弦值为D.几何体的体积为11.已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则下列说法正确的是（）A.若，则直线与圆相切B.若圆上存在两点关于直线对称，则C.若，则D.若，从点向圆引切线，则切线长的最小值是三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线被圆截得的线段长为__________.13.经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，是椭圆的右焦点，则的周长为__________.14.在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）求符合下列条件的椭圆的标准方程：（1）一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍；（2）经过两点.16.（15分）的内角的对边分别为，已知.（1）求角；（2）若的面积为，求.17.（15分）三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知闯关成功的概率是三人都闯关成功的概率是三人都闯关不成功的概率是.（1）求两人各自闯关成功的概率；（2）求三人中恰有两人闯关成功的概率.18.（17分）如图，平面平面，四边形为正方形，位于平面的两侧.（1）证明：平面平面.（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.19.（17分）古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，动点满足，设动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的轨迹方程；（2）若直线与曲线交于两点，求；（3）若曲线与轴的交点为，直线与曲线交于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上.高二数学试卷参考答案1.C由，得倾斜角为.2.D由题意可知，，对应的点位于第四象限.3.A这颗种子对应开花的颜色为橙色的概率为.4.B由的短轴长为4，得，即，则，所以或，解得或.经检验，当时，椭圆的短轴长为4.5.A由题意可知该水库的深度（即四棱台的高），则该水库的最大蓄水量为.6.B因为，所以，所以在方向上的投影向量的模为.7.C如图，以设备的位置为坐标原点，其正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，则直线，圆.记从处开始被监测，到处监测结束.因为到的距离为，所以，故被监测的时长为分钟.8.A不妨设切点，点均在第一象限，记椭圆的左焦点为，连接（图略）.由圆的几何性质可知.因为分别为的中点，所以，且.由椭圆的定义可得.因为，所以，整理可得，可得，所以椭圆的离心率.9.ACD由图可得A地月平均降雨量为，月降雨量的中位数为，极差为分位数为42；B地月平均降雨量为，月降雨量的中位数为，极差为分位数为40.故A，C，D正确，B错误.10.BCD因为，所以不是质数，A错误.因为，所以，所以为直角三角形，B正确.因为，所以与所成角的正弦值为，C正确.根据已知6个点的空间直角坐标可得几何体为三棱台，且与该三棱台的底面垂直，，所以几何体的体积为，D正确.11.BC圆的标准方程为，圆心为，半径.圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故A不正确；若圆上存在两点关于直线对称，则直线经过圆的圆心，所以，得，故B正确；若，则圆心到直线的距离，所以，故C正确；若，从点向圆引切线，设一个切点为，连接（图略），则，则，当时，取得最小值，此时取得最小值，即，故D不正确.12.圆的圆心为，半径为5.记圆心到直线的距离为，则，所以直线被圆截得的线段长为.13.16因为，所以的周长为.14.如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系.不妨设，则.因为，所以.15.解：（1）由题意知.因为，所以.因为焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为.（2）设椭圆的方程为.因为椭圆经过两点，所以解得故椭圆的标准方程为.16.解：（1）因为，所以，因为，所以，所以.又，所以.（2）因为，所以，所以，解得.17.解：（1）设两人各自闯关成功的概率分别是.由题意得解得所以两人各自闯关成功的概率分别是.（2）三人中只有闯关成功的概率；三人中只有闯关成功的概率；三人中只有闯关成功的概率.故三人中恰有两人闯关成功的概率为18.（1）证明：连接.因为四边形为正方形，所以.因为平面，所以.又，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）解：以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以.