2025届高中数学一轮复习专练：椭圆（含解析）

椭圆--2025届高中数学一轮复习高频考点专题练

一、选择题

2222

1.已知椭圆C：土+匕=1仿〉0）与椭圆土+乙=1有相同的焦点，则。=（）

16b2v）125

A.2^3B.2小C.3D.4

2.焦点在y轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1,焦距为的椭圆方程为（）

2222

土土

A.+>2=1B.+y2=lC.x2+>1=1D.X2+2L=1

4-2-24

3.已知椭圆C：/+提=1（。>6>0）的离心率e=4,短轴的右端点为&"（1,0）为线

段。8的中点，则椭圆的标准方程为（）

AX2y2□尤2yI

A.——+—=1B.——+—=1

2448

2222

C.土+乙=1D.土+匕=1

81684

4.椭圆/+4/=1的焦距为（）

A.9B.2百C.2百D.百

22

5.若椭圆土+乙=1的右焦点坐标为（2,0）,则几的值为（）

A5

A.lB.1或3C.9D.1或9

22

6.若椭圆。：二+4=1（。〉6〉0）满足a=2b，则该椭圆的离心率e=（）

ab1

A.lB.BC.立D正

2234

7.已知椭圆。：二+；=1（机〉0）的离心率为等，则m=（）

A.20B.2行或0C.8或2D.8

8.若将一个椭圆绕其中心旋转90。,所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,

这样的椭圆称为“对偶椭圆''.下列椭圆中是“对偶椭圆''的是（）

22222222

A.土+2L=1B.土+工=1C.上+21=1D.三+2L=1

84356269

22

9.椭圆c：=+[=1（。〉o〉o）的左右焦点分别为耳，F2，过点耳的直线I交椭圆C于

a2b1

A,3两点，已知+=0,A《则椭圆。的离心率为（）

A.-B史C正D.l

7233

10.如图，圆。与椭圆相切，已知耳，工分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上,

线段尸&与圆。相切于点。，且点Q为线段P8的中点，则椭圆的离心率为（）

二、填空题

11.已知△ABC的顶点A。。），8（-3,0）,且周长为骁，求顶点C的轨迹方程

12.如果方程2/+02=左表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是.

22

13.设小工是椭圆E：2T+3=1（。〉6〉0）的左、右焦点，过点《且斜率为由的直线

a1b2

交椭圆于点P,若NP£鸟=2NP月耳，则椭圆E的离心率为.

14.椭圆[+£=1（。〉6〉0）的离心率e满足6=与1,则称该椭圆为“黄金椭圆”.若

22

三+匕=1（10〉机〉0）是''黄金椭圆"，则m=________黄金椭

10m、）

22

圆"0乏+方=1（。〉6〉0）两个焦点分别为耳（一°,0）、E（c,o）（C>O）,P为椭圆c

上的异于顶点的任意一点，点〃是△「片B的内心，连接尸”并延长交月工于N,则

\PM\

\MN\~'

三、解答题

15.已知椭圆0：=+J=l（a〉6〉0）的离心率e=4,且椭圆C经过点1,

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点P（2,0）且斜率不为零的直线与椭圆C交于8D两点乃关于x轴的对称点为A,

求证:直线AD与x轴交于定点Q.

参考答案

1.答案：c

2222

解析：因为椭圆c±+匕=l彷〉0）与橘圆二+匕=1有相同的焦点.所以

216&2v）125

16-/=12-5,解得b=3或/?=-3（舍去）.故选C.

2.答案：D

22

解析:因为焦点在y轴上，故设椭圆方程为匕+±=1,

a2b2

则/=a?-//=f；=3,且a=2Z?,

2

解得：/=4,〃=1,所以椭圆的标准方程为一+匕=1.

4

故选:D

3.答案：B

解析：因为"（I，。）为线段的中点，且8低0）,所以6=2,

又椭圆C的离心率0=当，所以£=1—所以a=20,

2a\a\a2

22

所以椭圆。的标准方程为一+2=1.

48

2,V—1

解析：先将椭圆炉+4/=1化为标准方程1+—=1,

4

则a=l,b=Lc=yla2-b1=-

22

故焦距为2c=Q.

故选：D.

5.答案：C

解析：根据右焦点坐标为（2,0）,可得c=2,且焦点在x轴上,

故丸=。2+5=9，

故选：C

6.答案：B

22

解析：椭圆C：5+3=1（。〉6〉0）满足。=2/?，

故选：B.

7.答案：C

解析：椭圆c：；+；=i（机〉0）的离心率为令，

可得牛i=交或三五=也,解得机=8或m=2.

4m222

故选：C.

8.答案：A

解析：由“对偶椭圆”定义得:短半轴长b与半焦距c相等的椭圆是“对偶椭圆”,

2

对于A,c=8—4=4=/,即b=c，A是"对偶椭圆”;

2

对于B,c=5-3=2-2,即Z?HC，B不是“对偶椭圆”;

对于C,0?=6—2=4w/，即Z?wcC不是“对偶椭圆”;

对于D"=9-6=3#与,即五c，D不是“对偶椭圆”.

故选:A

9.答案：A

解析：设闺周=2c,

因为(初+大外.M=(A£+片引.(A月一斗月)=伍2—片62=0,

所以I链1=1耳司=2c，所以|A1=2a-2c,

因为A£=g片瓦所以忸制=|(a—c)，所以忸闾=£+5，

设A片中点为H,则将/，A5,|AH|=a—C,忸M=g(a—C),

\F2Af-1AHF=|g时-1『代入数据并整理得：7。2—12ac+5a2=0,

等式两边同除以/得：7e?-12e+5=0，解得：e=*或e=l(舍).

7

故选：A.

10.答案：A

解析：由题可令。为椭圆的长半轴长，5为短半轴长，如图，连接尸耳，OQ.因为线段

Pg与圆相切于点Q,所以P^LOQ.又因为。为线段耳工的中点，点Q为线段2工的

中点，所以P耳〃OQ,抽且归娟=2|。。|=28，所以归闾=2a—2"所以

4Z;2+4(«-b)2=4c2=4a2-4b2,整理得3Z?=2a,所以9(4—02)=4。2,所以离心率

解析：因为4(3,0)，3(-3,0)，所以|AB|=6，

又因为△ABC的周长为16,

所以|04|+|。|=16-|谡|=10，并且|C4|+|Cfi|>|A^.

所以顶点C在以A,3为焦点的椭圆上,

22

设椭圆方程为「+与=1（。〉0涉〉0），

a2b2'）

因为2a=10，2c=6,a2=b2+c29所以。2=25，b2=169

22

又因为A,民C三点不共线，所以顶点。的轨迹方程为工+2L=i（ywo）.

2516'）

22

故答案为：工+匕=1（丁/0）

2516I）

12.答案：（2,”）

解析：因为方程2月+份2=左表示焦点在X轴上的椭圆，显然左wo,则方程可化为

X221

T+y=1

2

所以g〉l，解得左〉2,所以实数k的取值范围是（2,收）.

故答案为.（2,+8）

13.答案：V3-1

解析：因过点耳斜率为出的直线交椭圆于点P,则有NP4鸟=60。，NP£G=30。,

因此，在△2耳玛中，/耳2耳=90,令椭圆半焦距为c,

于是得归耳|=|耳国cos6（r=c，忸阊=闺阊sin6（T=Gc，

由椭圆定义得：2a=|尸娟+归阊=（6+1）。，=若-1,

所以椭圆石的离心率是e=6-1.

故答案为：^/3-1.

V5+1

14.答案：5班-5,

2

解析：因为小/川。2。）是“黄金椭圆"，故与=曙，故…63

连接，因为M为内心，故工”,月〃为角平分线,

F2M,FXM

有\PF\_\PM\JPF\

由角平分线性质2.故

朋|\NM\|N周

\PF^+\PF\_\PM\_2a_g_2A/5+1

|N用+［阿一|N闾-五一】一逐/2

故答案为：50-5,县工

2

2

15.答案：（1）工