第三章 勾股定理（2类知识拓展）

第三章勾股定理（知识拓展）知识拓展毕达哥拉斯树（勾股树）是由

毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。而同一次数的所有小正方形面积之和等于最大正方形的面积，直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。典例1如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则正方形E的面积是（）A．47 B．37 C．34 D．13典例2如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”．经观察可以发现：图①中共有3个正方形，图②中共有7个正方形，图③中共有15个正方形，照此规律“生长”下去，图⑤中共有正方形的个数是（）A．31 B．32 C．63 D．64典例3“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2023代勾股树中所有正方形的面积为______．

跟踪训练1毕达哥拉斯树也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树状图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如图，若正方形A、B、C、D的边长分别是2，3，1，2，则正方形G的边长是______．

跟踪训练2在如图所示的“勾股树”图案中，所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知最大正方形的边长为10，则图中所有正方形的面积之和为______．跟踪训练3回看古人数学成就，领略数学先贤智慧．认真阅读并理解下面的材料，完成填空．材料一：勾股定理，被称为“几何学的基石”．在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，这个结论就是勾股定理．在古时候，我国数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．成书于公元前世纪的《周髀算经》中有“勾三股四弦五”的记载，意思是在一个直角三角形中，如果较短直角边的长度为，较长直角边的长度为，斜边的长度则为（如图），可根据勾股定理计算得出．材料二：在西方，最早提出并证明勾股定理的是古希腊的毕达哥拉斯，因此也被称为毕达哥拉斯定理．他根据勾股定理，在初始的大正方形上，做出了两个相邻的小正方形，两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积（如图），再以此类推，无限重复地做出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”（如图）．

(1)在一个直角三角形中，如果两条直角边的长度分别为厘米和厘米，根据勾股定理：（），得到这个直角三角形的斜边的长度为（）厘米；(2)如图4所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．其中，最大的正方形的边长是厘米，则正方形、、、的面积和是（）平方厘米．赵爽弦图典例4如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且，那么图中小正方形的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．5跟踪训练4图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状．

(1)小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程；(2)当，时，求图2中空白部分的面积．典例5勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积．(2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；(3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系______．跟踪训练5如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，．若，则的值是（）A． B． C． D．过关训练1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、5、7，则最大正方形E的面积是（）

A．14 B．108 C．58 D．722．毕达哥拉斯树也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树状图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如图，若正方形，，，的边长分别是2，3，1，2，则正方形的边长是（）A．8 B． C． D．53．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，如果图中勾，弦，则小正方形的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．44．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵炎弦图“是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为，则小正方形的面积为（）A．9 B．6 C．4 D．35．在如图所示的“勾股树”图案中，所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知最大正方形的边长为10，则图中所有正方形的面积之和为______．6．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”，……，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”2023次后形成的图形中所有的正方形的面积之和为_____．7．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为___________．8．我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就如图，小颖同学把图中长和宽分别和的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，则图中小正方形的面积为______．

9．下图是我国数学家赵爽在《周髀算经》中给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，直角三角形两直角边长分别为，斜边长为，中间的部分是一个小正方形．若大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，求的值．

10．公元3世纪初，我国学家赵爽证明勾定理的图形称为“弦图”．1876年美国总统Garfeild用图1（点、点、点三点共线）进行了勾股定理的证明．与是一样的直角三角板，两直角边长为，，斜边是．请用此图1证明勾股定理．

扩展应用1：如图2，以的边和边为边长分别向外作正方形和正方形，过点分别作的垂线段，那么的数量关系是怎样?说明理由．扩展应用2：如图3，在两平行线之间有一正方形，已知点和点分别在直上，过点作直线，已知之间距离为，之间距离为2．直接出正方形的面积是_．

第三章勾股定理（知识拓展）答案全解全析知识拓展毕达哥拉斯树（勾股树）是由

毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。而同一次数的所有小正方形面积之和等于最大正方形的面积，直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。典例1如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则正方形E的面积是（）

A．47 B．37 C．34 D．13【答案】A【详解】解：由勾股定理得：正方形F的面积正方形A的面积正方形B的面积，同理，正方形G的面积正方形C的面积正方形D的面积，∴正方形E的面积正方形F的面积正方形G的面积．

故选：A．典例2如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”．经观察可以发现：图①中共有3个正方形，图②中共有7个正方形，图③中共有15个正方形，照此规律“生长”下去，图⑤中共有正方形的个数是（）

A．31 B．32 C．63 D．64【答案】C【详解】解：由图可得，第①个图形中正方形的个数为：，第②个图形中正方形的个数为：，第③个图形中正方形的个数为：，…则第⑤个图形中正方形的个数为：，故选：C．典例3“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2023代勾股树中所有正方形的面积为______．

【答案】2024【详解】解：设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，根据勾股定理可得：，∵,∴第一代勾股树中所有正方形的面积为；同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为；第三代勾股树中所有正方形的面积为；第n代勾股树中所有正方形的面积为；∴第2023代勾股树中所有正方形的面积为2024．故答案为：2024．

跟踪训练1毕达哥拉斯树也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树状图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如图，若正方形A、B、C、D的边长分别是2，3，1，2，则正方形G的边长是______．

【答案】【详解】解：设E、F两个正方形和最大正方形G的边长分别为x，y，z，则由勾股定理得：；；；即最大正方形G的面积为：，∴最大正方形G的边长为．故答案为：．跟踪训练2在如图所示的“勾股树”图案中，所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知最大正方形的边长为10，则图中所有正方形的面积之和为______．

【答案】300【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可知：，即四个正方形A，B，C，D的面积之和为100；正方形F，G的面积之和为100；正方形E的面积为100；∴图中所有正方形的面积之和为

故答案为：300．跟踪训练3回看古人数学成就，领略数学先贤智慧．认真阅读并理解下面的材料，完成填空．材料一：勾股定理，被称为“几何学的基石”．在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，这个结论就是勾股定理．在古时候，我国数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．成书于公元前世纪的《周髀算经》中有“勾三股四弦五”的记载，意思是在一个直角三角形中，如果较短直角边的长度为，较长直角边的长度为，斜边的长度则为（如图），可根据勾股定理计算得出．材料二：在西方，最早提出并证明勾股定理的是古希腊的毕达哥拉斯，因此也被称为毕达哥拉斯定理．他根据勾股定理，在初始的大正方形上，做出了两个相邻的小正方形，两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积（如图），再以此类推，无限重复地做出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”（如图）．

(1)在一个直角三角形中，如果两条直角边的长度分别为厘米和厘米，根据勾股定理：（），得到这个直角三角形的斜边的长度为（）厘米；(2)如图4所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．其中，最大的正方形的边长是厘米，则正方形、、、的面积和是（）平方厘米．【答案】(1)，；(2)．【详解】（1），故答案为：，；（2）根据材料二可得：，，，

∴，故答案为：．赵爽弦图典例4如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且，那么图中小正方形的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】解：∵大正方形的面积是16，∴，∴，∵，∴，∵小正方形的边长为：，∴．故选C跟踪训练4图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状．

(1)小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程；(2)当，时，求图2中空白部分的面积．【答案】(1)见解析(2)13【详解】（1）解：图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，即，也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即，∴，即．（2）解：当时，，由图可知，空白部分面积=以c为边的正方形的面积-两个直角三角形的面积，即：空白部分面积为：．典例5勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积．(2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；(3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系______．【答案】(1)①见解析；②(2)(3)【详解】（1）①证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即，化简得．在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即，化简得．在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即，化简得．②在图1中：，，图2中大正方形的面积为：，∵，，∴，，∴，∴图2中大正方形的面积为29．（2）根据题意得：，如图4：即有：，，，∴；如图5：，，，∵，∴；如图6：下面推导正三角形的面积公式：正的边长为u，过顶点x作，V为垂足，如图，在正中，有，，∵，∴，，∴在中，有，∴正的面积为：，∴，，∵∴；∴三个图形中面积关系满足的有3个故答案为：3；（3）关系：，理由如下：以a为直径的半圆面积为：，以b为直径的半圆面积为：，以c为直径的半圆面积为：，三角形的面积为：，∴，即：，结合（1）的结论：∴．跟踪训练5如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，．若，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设中，，∴，∴，∴，∴．故选：D过关训练1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、5、7，则最大正方形E的面积是（）

A．14 B．108 C．58 D．72【答案】B【详解】解：如图所示，由勾股定理，得，故选：B．

2．毕达哥拉斯树也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树状图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如图，若正方形，，，的边长分别是2，3，1，2，则正方形的边长是（）A．8 B． C． D．5【答案】C【详解】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：；；；即最大正方形E的面积为：，∴最大正方形E的边长为．故选：C．3．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，如果图中勾，弦，则小正方形的面积为（）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【详解】∵勾，弦，∴∴小正方形的面积为．故选：A．4．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵炎弦图“是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为，则小正方形的面积为（）

A．9 B．6 C．4 D．3【答案】A【详解】解：∵，∴每个直角三角形的面积是：，∵大正方形的面积为，∴小正方形的面积为：．故选：A．5．在如图所示的“勾股树”图案中，所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知最大正方形的边长为10，则图中所有正方形的面积之和为______．

【答案】300【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可知：，即四个正方形A，B，C，D的面积之和为100；正方形F，G的面积之和为100；正方形E的面积为100；∴图中所有正方形的面积之和为

故答案为：300．6．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”，……，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”2023次后形成的图形中所有的正方形的面积之和为_____．

【答案】2024【详解】解：由题意得，正方形A的面积为1，

由勾股定理得，正方形B的面积与正方形C的面积和为1，∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，……∴“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2024．故答案为：2024．7．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．