2020-2021学年四川省南充市南充高级中学高一下学期3月月考数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页2020-2021学年四川省南充市南充高级中学高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．已知集合，集合，则（）A． B．C． D．【答案】D【分析】分别解不等式，，再求交即可.【详解】由得；又得，所以故选:D.2．如果角的终边过点，则的值等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角函数的定义，直接求解.【详解】点到原点的距离，由定义知.故选：C3．已知函数，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接根据分段函数解析式计算可得；【详解】解：因为，所以，所以故选：B4．已知，且，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知条件建立方程组，可求得实数的值.【详解】，且，所以，，解得.故选：C.5．设，则的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性以及正切函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果.【详解】，又指数函数是单调递增函数，，即，函数在上单调递增，，所以，即.对数函数是单调递增函数，，即，故选：C．【点睛】方法点睛：解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.6．已知，且，则（）A． B． C．36 D．6【答案】B【分析】根据题意，由指数式与对数式的互换公式可得，，进而变形可得，又由，由对数的运算性质计算可得答案．【详解】解：根据题意，，则有，，则，又，即，所以，解得，因为，所以；故选：B．7．已知菱形的边长为，，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】用作为基底表示，然后利用数量积运算求解.【详解】因为，所以，因为，，所以，，，，故选：B8．已知函数，若在区间上的最大值为，则的最小值是（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知的在区间上的最大值为1，又，得，得【详解】解：在区间上的最大值为，在区间上的最大值为1，，，，的最小值是．故选：．9．下列式子结果为的是（）①；②；③；④.A．①② B．③C．①②③ D．②③④【答案】C【分析】利用即可得①正确；，进而利用正弦和角公式即可得②正确；由与正切的和差角公式即可得③正确④错误.【详解】解：对于①，由于，所以；对于②，由于，所以；对于③，因为，；对于④，因为，；故选：C.【点睛】本题考查三角恒等变化化简求值，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的过程中需注意与的关系.10．设是上的奇函数，且在上是减函数，又，则不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析出函数在、上的单调性，以及，化简得出，结合图象可得出关于实数的不等式组，由此得出原不等式的解集.【详解】因为是上的奇函数，则，由于函数在上是减函数，则该函数在上也为减函数，，则，作出函数的大致图象如下图所示：由，可得，由，可得或，此时；由，可得或，解得.因此，不等式的解集是.故选：B.【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为；（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.11．如图，直线与函数和的图象分别交于点，，若函数的图象上存在一点，使得为等边三角形，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意得，，，根据等边三角形的性质求得点的横坐标，结合，两点的纵坐标和中点坐标公式列方程，解方程即可求得的值.【详解】由題意，，.设，因为是等边三角形，所以点到直线的距离为，所以，.根据中点坐标公式可得，所以，解得.故选：C【点睛】本题以对数函数的图象为载体，通过设置平面图形，引导考生借助平面几何的知识求解函数问题，突出对理性思维､数学探索学科素养的考查，本题考查逻辑思维能力､运算求解能力.解题的关键在于由等边三角形得的横坐标，进而代入函数方程得纵坐标关系，再化简整理即可得求解.12．已知函数，关于的方程有个不相等的实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，利用图象可得知，关于的二次方程的两根、，然后利用二次函数的零点分布得出关于实数的不等式组，解出即可.【详解】令，由，得，设关于的二次方程的两根分别为、，如下图所示：由于关于的方程有8个不等的实数根，则，，设，则，解得.因此，实数的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查复合型二次函数的零点个数问题，将问题转化为二次函数的零点分布问题是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13．边长为2的等边的外接圆的面积________.【答案】【分析】利用正弦定理求得外接圆半径即可.【详解】设的外接圆半径为R，由正弦定理得：，解得，所以外接圆的面积是，故答案为：14．化简为_____【答案】1【分析】根据同角三角函数的基本关系式对所求表达式进行化简，由此求得表达式的值.【详解】依题意.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.15．计算：_________．【答案】【分析】根据指数幂和对数的运算性质计算可得结果.【详解】原式.故答案为：16．已知，则的值为_______．【答案】4042【分析】计算，得函数图象关于点对称，然后由对称性可得值．【详解】∵,∴的图像关于点对称，∴和关于点对称，∴∴．故答案为：4042．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的对称性，利用对称性求得参数值，若，则函数的图象关于点对称，本题也可构造奇函数求解：是奇函数，由此求解．三、解答题17．已知函数（，且）满足.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）解不等式.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）根据，代入解方程即可；（Ⅱ）根据指数函数的单调性得解.【详解】（Ⅰ）∵（，且），∴.由，解得.∴的值为.（Ⅱ）不等式即，∴.即.∵在上单调递减，∴.∴不等式的解集为.【点睛】本题考查指数函数的性质的应用，属于基础题.18．已知，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据题中条件，利用同角三角函数基本关系，先求出，进而可求出结果；（2）根据切化弦将原式化简整理，结合（1）的结果，即可求出结果.【详解】（1）由，两边平方得，整理得.所以，由，∴，又，∴，∴，故.（2）原式.19．已知点A（2，3），B（6，1），O为坐标原点，P为x轴上一动点.（1）若⊥，求点P的坐标；（2）当取最小值时，求向量与的夹角的余弦值.【答案】（1）(3,0)或(5,0)；（2）.【分析】（1）根据题意设出点P(x,0)，利用坐标表示出、，根据0列方程求出x的值；（2）由是关于x的二次函数，求出最小值对应的、的值，再求与夹角的余弦值.【详解】根据题意，设点P(x,0)，又A(2,3)，B(6,1)，得(x-2,-3)，(x-6,-1)，（1）由⊥，即(x-2)(x-6)+(-3)×(-1)＝x2-8x+15＝0，解得x＝3或x＝5，∴P的坐标为(3,0)或(5,0)；（2）由(x-2)(x-6)+(-3)×(-1)＝x2-8x+15＝(x-4)2-1，当x＝4时，取得最小值-1，此时(2,-3)，(-2,-1)，||，||，∴与夹角的余弦值为：cosθ.20．已知函数.（1）若对任意，都有成立，求实数的取值范围；（2）若先将的图像上每个点横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，求函数在区间内的所有零点之和.【答案】（1），（2）【分析】（1）先对函数化简变形，然后求出函数在上的最小值，则可得到实数的取值范围；（2）根据题意，利用函数的图像变换规律，先得到的解析式，函数在区间内的所有零点，即的实数根，它的实数根共4个，再根据正弦函数图像的对称性得到结论【详解】解：（1），若对任意，都有成立，则只需即可，因为，所以，所以当即时，取得最小值为，所以，（2）先将的图像上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得的图像，然后再向左平移个单位得到函数的图像，函数在区间内的所有零点，即的实数根，它的实数根共4个，设为，则根据对称性可知这4个根关于直线对称，所以，所以【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换、正弦函数的定义域和值域，函数恒成立问题，函数的图像变换规律，第2问解题的关键是运用正弦函数的对称性进行求解，属于中档题21．如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM＝R，∠MOP＝45°，OB与OM之间的夹角为θ.（1）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数.（2）若R＝45m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(取＝1.414)【答案】（1）S＝R2sin－R2，θ∈；（2）当θ＝时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积为838.35m2.【分析】（1）设OM与BC的交点为F，用表示出，，，从而可得面积的表达式；（2）结合正弦函数的性质求得最大值．【详解】解：（1）由题意，可知点M为PQ的中点，所以OM⊥AD.设OM与BC的交点为F，则BC＝2Rsinθ，OF＝Rcosθ，所以AB＝OF－AD＝Rcosθ－Rsinθ.所以S＝AB·BC＝2Rsinθ(Rcosθ－Rsinθ)＝R2(2sinθcosθ－2sin2θ)＝R2(sin2θ－1＋cos2θ)＝R2sin－R2，θ∈.（2）因为θ∈，所以2θ＋∈，所以当2θ＋，即θ＝时，S有最大值.Smax＝(－1)R2＝(－1)×452＝0.414×2025＝838.35(m2).故当θ＝时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积为838.35m2.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的应用，解题关键是利用表示出矩形的边长，从而得矩形面积．利用三角函数恒等变换公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质求得最大值．22．已知函数.任取，若函数在区间上的最大值为，最小值为，记.（1）求函数的最小正周期及对称轴方程；（2）当时，求函数的解析式；（3）设函数，，其中实数为参数，且满足关于的不等式有解.若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为；（2）；（3）.【分析】（1）由正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，解方程，可得出函数的对称轴方程；（2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，求得、，即可求得的表达式；（3）利用已知条件求得，分析可知函数在的值域是函数在的值域的子集，分、两种情况讨论，将问题转化为，综合可得出实数的取值范围.【详解】（1）函数的最小正周期为，解方程，可得，故函数的对称轴方程为；（2）分以下几种情况讨论：①当时，，，当时，，此时函数在区间上单调递减，在上单调递增，所以，，，则；②当时，，，当时，，此时函数在区间上单调递减，在上单调递增，所以，，，则；③当时，，，当时，，此时函数在上单调递增，则，，则.综上所述，；（3）因为函数的最小正周期为，所以，，，则，所以，函数是以为周期的周期函数，研究函数的性质，只需研究函数在时的性质即可.仿照（2）可得，当时，；当时，；当时，.所以，当时，，同理可知当时，.作出函数的图象如下图所示：所以，函数的值域为，因为，则，所以，，对任意的，存在，使得成立，即函数在的值域是函数在的值域的子集，因为.当时