5.4.1+正弦函数、余弦函数的图像 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章三角函数5.4.1正弦函数、余弦函数的图像教学目标

掌握五点作图法画正余弦函数图象（重点）01

能用五点作图法做出简单的正弦曲线和余弦曲线（重点）02

理解正弦曲线和余弦曲线之间的联系（难点）03正余弦函数的图象学科素养

了解利用单位圆正弦函数的概念画正弦曲线的方法.;

数学抽象

掌握"五点法"画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法直观想象

理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系；逻辑推理

数学运算

数据分析

数学建模正余弦函数的图象01知识回顾RetrospectiveKnowledge诱导公式：奇变偶不变，符号看象限诱导公式02知识精讲

ExquisiteKnowledge

前面给出了三角函数的定义，如何从定义出发研究这个函数呢?类比已有的研究方法，可以先画出函数图象，通过观察图象的特征，获得函数性质的一些结论．我们知道，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这一现象可以用公式sin(x±2π)=sinx，cos(x±2π)=cosx来表示．这说明，自变量每增加(减少)2π，正弦函数值、余弦函数值将重复出现.利用这一特性，就可以简化正弦函数、余弦函数的图象与性质的研究过程．下面先研究函数y=sinx,x∈R的图象，从画函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象开始.BAMx0T(x0,sinx0

)x0y0xy

在[0,2π]上取一个值x0，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值sinx0，并画出点T(x0，sinx0)？

若把x轴上从0到2π这一段分成12等份，使x的值分别为0，，，，…，2π，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点T(x0，sinx0)的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点．

利用信息技术取到足够多的点，再将这些点用光滑的曲线连起来，就可以得到比较精确的函数y=sinx，x∈[0,2π]的图像．正余弦函数的图象

由诱导公式一，可知函数y＝sinx，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z且k≠0的图象与y＝sinx，x∈[0，2π]的图象形状完全一致．因此将函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sinx，x∈R的图象．正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．x6yo--12345-2-3-41

根据函数y＝sinx,x∈[0,2π]的图象，你能想象正弦函数y＝sinx，x∈R的图象吗？依据是什么？请你画出该函数的图象．在函数y＝sinx，[0，2π]的图象上，以下五个点：在确定图象形状时起关键作用．

因此，在精确度要求不高时，通常描出这五个点，按照正弦函数图象的走势，并用光滑的曲线将之连接就可以画出函数的简图，称之为“五点法”．正余弦函数的图象

在确定正弦函数的图象形状时，应该抓住哪些关键点？

☞五个关键点:与x轴的交点图像的最高点图像的最低点正余弦函数的图象

由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对有密切关联的函数．下面我们利用这种关系，借助正弦函数图象画出余弦函数的图象．

诱导公式表明，余弦函数和正弦函数可以互化．所以我们可以通过对正弦函数图象进行变换得到余弦函数的图象．正余弦函数的图象

你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？对于函数

，由诱导公式，得到：而函数的图像可以通过正弦函数的图像向左平移个单位长度得到．所以，将正弦函数的图像向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图像，如图．正余弦函数的图象x1-1yo

正弦函数的图像向左平移个单位，就得到函数，即的图象(红色)．

余弦函数的图像叫做余弦曲线，它和正弦曲线有相同形状“波浪起伏”的连续光滑曲线．正余弦函数的图象xcosx

类似于用“五点法”作正弦函数图象，如何做出余弦函数的简图？余弦函数在区间[－π，π]上相应的五个关键点是哪些？请将它们的坐标填入下表，然后作出y＝cosx，x∈[－π，π]的简图．xcosxo1-1xy（1）y＝1＋sinx，x∈［0，2π］；

（2）y＝－cosx，x∈［0，2π］．xsinx1＋sinx【例1】先用五点法画出下列函数的图象，然后再说明如何经过图象变换得到下列函数的图象：【解析】（1）按五个关键点列表：0π2π010－1012101正余弦函数的图象xyoy＝1＋sinx，x∈［0，2π］y=sinx，x[0,2]【解析】如图，描点并将它们用光滑的曲线连接起来．

将函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象向上平移一个单位长度，可得y＝1＋sinx，x∈[0，2π]的图象；正余弦函数的图象（1）y＝1＋sinx，x∈[0，2π]；

（2）y＝－cosx，x∈[0，2π]．【解析】（2）按五个关键点列表：xcosx－cosx【例1】先用五点法画出下列函数的图象，然后再说明如何经过图象变换得到下列函数的图象：0π2π10－101－1010－1正余弦函数的图象将函数y＝cosx，x∈［0，2π］的图象关于x轴对称可得．【解析】如图，描点并将它们用光滑的曲线连接起来．

y＝cosx正余弦函数的图象03拓展提升ExpansionAndPromotion【例3】思考函数y＝sinx和函数y＝|sinx|的关系，并画出函数y＝|sinx|的图像.【解析】把函数y＝sinx的图像，保持x轴上方部分的图像不变，将在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，就可以得到函数的图像(蓝色部分)，如图.

04归纳总