江苏省南通市如东县2025届数学高二上期末调研试题含解析

江苏省南通市如东县2025届数学高二上期末调研试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线C：（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，的C的离心率为（）A. B.C.2 D.2．二项式的展开式中，各项二项式系数的和是（）A.2 B.8C.16 D.323．是等差数列，，，的第（）项A.98 B.99C.100 D.1014．已知，，若，则实数的值为（）A. B.C. D.5．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.6．已知抛物线C：，焦点为F，点到在抛物线上，则（）A.3 B.2C. D.7．函数的图象大致是（）A. B.C. D.8．在正方体中，分别是线段的中点，则点到直线的距离是（）A. B.C. D.9．命题“，”否定形式是（）A.， B.，C.， D.，10．已知等比数列的前n项和为，且满足公比0＜q＜1，＜0，则下列说法不正确的是（）A.一定单调递减 B.一定单调递增C.式子-≥0恒成立 D.可能满足=，且k≠111．“”是直线与直线平行的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12．已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积为，，，，则此球的表面积等于（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图三角形数阵：132456109871112131415……按照自上而下，自左而右的顺序，位于第行的第列，则______.14．已知直线被圆截得的弦长等于该圆的半径，则实数_____.15．设函数，.若对任何，，恒成立，求的取值范围______.16．若函数在（0，+∞）内有且只有一个零点,则a的值为_____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，点是曲线上的动点(点在轴左侧)，以点为顶点作等腰梯形，使点在此曲线上，点在轴上.设，等腰梯的面积为.（1）写出函数的解析式，并求出函数的定义域；（2）当为何值时，等腰梯形的面积最大？求出最大面积.18．（12分）在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值19．（12分）如图，正方体的棱长为2，点为的中点.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离.20．（12分）已知椭圆C：短轴长为2，且点在C上（1）求椭圆C的标准方程；（2）设、为椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆C与A、B两点，若的面积是，求直线l的方程21．（12分）如图，在梯形中，，，平面，四边形为矩形，点为线段的中点，且（1）求证：平面平面；（2）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，则三棱锥F-ABC的体积为多少？22．（10分）某校高二年级全体学生参加了一次数学测试，学校利用简单随机抽样方法从甲班、乙班各抽取五名同学的数学测试成绩（单位：分）得到如下茎叶图，若甲、乙两班数据的中位数相等且平均数也相等.（1）求出茎叶图中m和n的值：（2）若从86分以上（不含86分）的同学中随机抽出两名，求此两人都来自甲班的概率.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由双曲线的方程可得渐近线的直线方程，根据直线和圆相交弦长可得圆心到直线的距离，进而可得，结合，可得离心率.【详解】双曲线的一条渐近线方程为，即，被圆所截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离为，，解得，故选：C【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率、直线和圆的相交弦、点到直线距离等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想，属于一般题目.2、D【解析】根据给定条件利用二项式系数的性质直接计算作答.【详解】二项式的展开式的各项二项式系数的和是.故选：D3、C【解析】等差数列，，中，，，由此求出，令，得到是这个数列的第100项【详解】解：等差数列，，中，，令，得是这个数列的第100项故选：C4、A【解析】由，得，从而可得答案.【详解】解：因为，所以，即，解得.故选：A.5、A【解析】根据命题与它的否定命题一真一假，写出该命题的否定命题，再求实数的取值范围【详解】解：命题“，”是假命题，则它的否定命题“，”是真命题，时，不等式为，显然成立；时，应满足，解得，所以实数的取值范围是故选：A6、D【解析】利用抛物线的定义求解.【详解】因为点在抛物线上，，解得，利用抛物线的定义知故选：D7、A【解析】根据函数的定义域及零点的情况即可得到答案.【详解】函数的定义域为，则排除选项、,当时，，则在上单调递减，且，，由零点存在定理可知在上存在一个零点，则排除，故选：.8、A【解析】以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，然后，列出计算公式进行求解即可【详解】如图，以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系.因为，所以，所以，则点到直线的距离故选：A9、C【解析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题“，是特称命题，所以其否定是全称命题，即为，故选：C10、D【解析】根据等比数列的通项公式，前n项和的意义，可逐项分析求解.【详解】因为等比数列的前n项和为，且满足公比0＜q＜1，＜0，所以当时，由可得，故数列为增函数，故B正确；由0＜q＜1，＜0知，所以，故一定单调递减，故A正确；因为当时，，，所以，即-，当时，，综上，故C正确；若=，且k≠1，则，即，因为，故，故矛盾，所以D不正确.故选：D11、C【解析】先根据直线平行的充要条件求出a，然后可得.【详解】若，则，，显然平行；若直线，则且，即.故“”是直线与直线平行的充要条件.故选：C12、D【解析】由条件确定三棱锥的外接球的球心位置及球的半径，再利用球的表面积公式求外接球的表面积.【详解】由已知，，，可得三棱锥的底面是直角三角形，，由平面可得就是三棱锥外接球的直径，，，即，则，故三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为故选：D.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意可知到第行结束一共有个数字，由此可知在第行；又由图可知，奇数行从左到右是从小到大排列，偶数行从左到右是从大到小排列，第行个数字从大到小排列，由此可知在到数第列，据此即可求出，进而求出结果.【详解】由图可知，第1行有1个数字，第2行有2个数字，第2行有3个数字，……第行有个数字，由此规律可知，到第行结束一共有个数字；又当时，，所以第行结束一共有个数字；当时，，所以在第行，故；由图可知，奇数行从左到右是从小到大排列，偶数行从左到右是从大到小排列，第行是偶数行，共个数字，从大到小排列，所以在倒数第列，所以，所以.故答案为：.14、2或－4【解析】求出圆心到直线的距离，由几何法表示出弦长，列出等量关系，即可求出结果.【详解】由得，所以圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，则由题可得，即，解得或.故答案为：2或.15、【解析】先把原不等式转化为恒成立，构造函数，利用恒成立，求出的取值范围.【详解】因为对任何，，所以对任何，，所以在上为减函数.，，所以恒成立，即对恒成立，所以，所以.即的取值范围是.故答案为：.【点睛】恒（能）成立问题求参数的取值范围：①参变分离，转化为不含参数的最值问题；②不能参变分离，直接对参数讨论，研究的单调性及最值；③特别地，个别情况下恒成立，可转换为（二者在同一处取得最值）.16、a＝3【解析】对函数进行求导,分类讨论函数单调性,根据单调性结合已知可以求出a的值.【详解】∵函数在（0，+∞）内有且只有一个零点,∴f′（x）＝2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①当a≤0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0,函数f（x）在（0，+∞）上单调递增,f（0）＝1，f（x）在（0，+∞）上没有零点,舍去；②当a＞0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0的解为x，∴f（x）在（0,）上递减,在（,+∞）递增，又f（x）只有一个零点,∴f（）1＝0，解得a＝3故答案为：a＝3【点睛】本题考查了利用导数研究已知函数的零点求参数取值问题,考查了分类讨论和数学运算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）当时取到最大值，【解析】（1）设点，则根据题意得，，故；（2）令，研究函数的单调性，进而得的最值，进而得的最大值.【详解】解：（1）根据题意，设点，由是曲线上的动点得：，由于椭圆与轴交点为，故，所以即：（2）结合（1），对两边平方得：，令，则，所以当时，，当时，，所以在区间单调递增，在上单调递减，所以在处取到最大值，，所以当时，取到最大值，.【点睛】本题考查利用导数研究实际问题，考查数学应用能力与计算能力，是中档题.18、（1）;（2）.【解析】（1）根据题意得到关于的方程，解之即可求出结果;（2）联立直线的方程与椭圆方程，结合韦达定理以及平面向量数量积的坐标运算即可求出结果.【小问1详解】因为椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，所以又椭圆的离心率是，所以，解得，，从而所以椭圆的标准方程【小问2详解】因为直线的斜率为，且过右焦点，所以直线的方程为联立直线的方程与椭圆方程，消去，得，其中设，，则，因为，所以因此的值是19、（1）（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量及，利用向量的夹角公式即可得解；（2）直接利用向量公式求解即可【小问1详解】解：以点作坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，2，，，0，，，0，，设平面的一个法向量为，又，则，则可取，又，设直线与平面的夹角为，则，直线与平面的正弦值为；【小问2详解】解：因为所以点到平面的距离为，点到平面的距离为20、（1）；（2）或.【解析】(1)根据短轴长求出b，根据M在C上求出a；(2)根据题意设直线l为，与椭圆方程联立得根与系数关系，根据＝即可求出m的值.【小问1详解】∵短轴长为2，∴，∴，又∵点在C上，∴，∴，∴椭圆C的标准方程为；【小问2详解】由(1)知，∵当直线l斜率为0时，不符合题意，∴设直线l的方程为：，联立，消x得：，∵，∴设，，则，∵，∴，∴，即，解得，∴直线l的方程为：或.21、（1）证明见解析；（2）【解析】（1）先证线面垂直，再证面面垂直即可解决；（2）建立空间直角坐标系，以向量法去求平面与平面所成锐二面角的余弦值，列方程解得的长度，即可求得三棱锥F-ABC的体积.【小问1详解】在梯形中，，，，所以，，又，所以，所以，又所以，即又平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，即平面又平面，则平面平面【小问2详解】由（1）知，，两两垂直，以为坐标原点，分别以直线，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系因为，，所以，令则，，，所以，设为平面的一个法向量，由，得解得，取，则，又是平面的一个法向量.设平面与平面所成锐二面角为，则，即解之得，又，故即22、（1），（2）【解析】（1）根据茎叶图得甲班中位数为，由此能求出，根据由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，乙班86分以有2人，从