上海市浦东新区2025届高二上数学期末考试模拟试题含解析

上海市浦东新区2025届高二上数学期末考试模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．将函数图象上所有点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A. B.C. D.2．已知向量，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．3．如图，在三棱锥中，，二面角的正弦值是，则三棱锥外接球的表面积是（）A. B.C. D.4．已知命题p：∀x＞2，x2＞2x，命题q：∃x0∈R，ln（x02+1）＜0，则下列命题是真命题的是（）A.p∧ B.p∨C.p∧q D.p∨q5．已知球O的半径为2，球心到平面的距离为1，则球O被平面截得的截面面积为（）A. B.C. D.6．经过点且圆心是两直线与的交点的圆的方程为（）A. B.C. D.7．曲线上的点到直线的距离的最小值是（）A.3 B.C.2 D.8．抛物线的焦点坐标A. B.C. D.9．若双曲线的离心率为3，则的最小值为（）A. B.1C. D.210．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（）A. B.C. D.11．甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为、，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀的概率为（）A. B.C. D.12．设圆：和圆：交于A，B两点，则线段AB所在直线的方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的前2021项和为___________.14．如图，在棱长都为的平行六面体中，，，两两夹角均为，则________；请选择该平行六面体的三个顶点，使得经过这三个顶点的平面与直线垂直.这三个顶点可以是________15．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，下图中第一行的称为三角形数，第二行的称为五边形数，则三角形数的第10项为__________，五边形数的第项为__________.16．已知为抛物线：的焦点，为抛物线上在第一象限的点.若为的中点，为抛物线的顶点，则直线斜率的最大值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（1）求角B的大小；（2）若，，且，求a.18．（12分）在直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的圆与直线相切.（1）求圆O的方程；（2）设圆O交x轴于A，B两点，点P在圆O内，且是、的等比中项，求的取值范围.19．（12分）已知圆的方程为（1）求圆的圆心及半径；（2）是否存在直线满足：经过点，且_________________？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：被圆所截得的弦长最长；条件②：被圆所截得的弦长最短；条件③：被圆所截得的弦长为注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分20．（12分）如图，四边形是矩形，平面平面，为中点，，，（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值21．（12分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）求在区间上的最值.22．（10分）设，为双曲线：（，）的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，△为等腰直角三角形（1）求双曲线的离心率；（2）若双曲线左支上任意一点到右焦点点距离的最小值为3，①求双曲线方程；②已知直线，分别交直线于，两点，当直线倾斜角变化时，以为直径的圆是否过轴上的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据三角函数图象的变换，由逆向变换即可求解.【详解】由已知的函数逆向变换，第一步，向左平移个单位长度，得到的图象；第二步，图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，即的图象.故.故选：A2、D【解析】由题可知：，，，故选；D3、A【解析】利用二面角S﹣AC﹣B的余弦值求得，由此判断出，且两两垂直，由此将三棱锥补形成正方体，利用正方体的外接球半径，求得外接球的表面积.【详解】设是的中点，连接，由于，所以，所以是二面角的平面角，所以.在三角形中，，在三角形中，，在三角形中，由余弦定理得：，所以，由于，所以两两垂直.由此将三棱锥补形成正方体如下图所示，正方体的边长为2，则体对角线长为.设正方体外接球的半径为，则，所以外接球的表面积为，故选：.4、B【解析】取x＝4，得出命题p是假命题，由对数的运算得出命题q是假命题，再判断选项.【详解】命题p：∀x＞2，x2＞2x，是假命题，例如取x＝4，则42＝24；命题q：∃x0∈R，ln（x02+1）＜0，是假命题，∵∀x∈R，ln（x2+1）≥0.则下列命题是真命题的是.故选：B.5、B【解析】根据球的性质可求出截面圆的半径即可求解.【详解】由球的性质可知，截面圆的半径为，所以截面的面积.故选：B6、B【解析】求出圆心坐标和半径后，直接写出圆的标准方程.【详解】由得，即所求圆的圆心坐标为.由该圆过点，得其半径为1，故圆的方程为.故选：B.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.7、D【解析】求出函数的导函数，设切点为，依题意即过切点的切线恰好与直线平行，此时切点到直线的距离最小，求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式计算可得；【详解】解：因为，所以，设切点为，则，解得，所以切点为，点到直线的距离，所以曲线上的点到直线的距离的最小值是；故选：D8、B【解析】由抛物线方程知焦点在x轴正半轴，且p=4，所以焦点坐标为，所以选B9、D【解析】由双曲线的离心率为3和，求得，化简，结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意，双曲线的离心率为3，即，即，又由，可得，所以，当且仅当，即时，“”成立.故选：D【点睛】使用基本不等式解答问题的策略：1、利用基本不等式求最值时，要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件；2、若多次使用基本不等式时，容易忽视等号的条件的一致性，导致错解；3、巧用“拆”“拼”“凑”：在使用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中的“正、定、等”的条件.10、B【解析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为.由题意可得，可得，解得或，所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；圆心到直线的距离均为圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.11、D【解析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解.【详解】甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为、，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀的概率为.故选：D12、A【解析】将两圆的方程相减，即可求两圆相交弦所在直线的方程.【详解】设，因为圆：①和圆：②交于A，B两点所以由①-②得：,即，故坐标满足方程，又过AB的直线唯一确定，即直线的方程为.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据题意求出，代入中，再利用裂项相消即可求出答案.【详解】由是等差数列且，可知：，故.，数列的前2021项和为.故答案为：.14、①.②.点或点（填出其中一组即可）【解析】（1）以向量，，为基底分别表达出向量和，展开即可解决；（2）由上一问可知，用上一问同样的方法可以证明出，这样就证明了平面与直线垂直.【详解】（1）令，，，则，则有，故（2）令，，，则，则有，故故，即又由（1）之,,故直线垂直于平面同理可证直线垂直于平面故答案为：0;点或点15、①.②.【解析】对于三角形数，根据图形寻找前后之间的关系，从而归纳出规律利用求和公式即得，对于五边形数根据图形寻找前后之间的关系，然后利用累加法可得通项公式.【详解】由题可知三角形数的第1项为1，第2项为3=1+2，第3项为6=1+2+3，第4项为10=1+2+3+4，，因此，第10项为；五边形数的第1项为，第2项为，第3项为，第4项为，…，因此，，所以当时，,当时也适合，故，即五边形数的第项为.故答案为：55；.16、1【解析】由题意，可得，设，，，根据是线段的中点，求出的坐标，可得直线的斜率，利用基本不等式即可得结论【详解】解：由题意，可得，设，，，，是线段的中点，则，，，当且仅当时取等号，直线的斜率的最大值为1故答案为：1三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）根据已知条件，运用余弦定理化简可求出；（2）由可求出，利用诱导公式和两角和的正弦公式求出，再利用正弦定理即求.【小问1详解】）∵且，∴，∴，∴，∵，∴.【小问2详解】∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，，，∴.18、（1）；（2）.【解析】（1）根据题意设出圆方程，结合该圆与直线相切，求得半径，则问题得解；（2）设出点的坐标为，根据题意，求得的等量关系，再构造关于的函数关系，求得函数值域即可.【小问1详解】根据题意，设的方程为，又该圆与直线相切，故可得，则圆的方程为.【小问2详解】对圆：，令，则，不妨设，则，设点，因为点在圆内，故；因为是、的等比中项，故可得：，则，整理得；由可得，解得，则.故答案为：.19、（1）圆心为，半径为；（2）答案见解析.【解析】（1）写出圆标准方程即得解；（2）选择条件①：直线应过圆心即直线过点和，即得解；选择条件②：直线应与垂直，求出直线的方程即得解；选择条件③：不存在满足条件的直线.【小问1详解】解：由圆的方程整理可得，所以圆心为，半径为.小问2详解】选择条件①：若直线被圆所截得的弦长最长，则直线应过圆心即直线过点和，所以直线的斜率为，则直线的方程为.选择条件②：若直线过点被圆所截得的弦长最短，则直线应与垂直.又，所以.故直线方程为.选择条件③：经过点的直线被圆所截得的最短弦长，由于，所以不存在满足条件的直线.20、（1）证明见解析；（2）【解析】(1)利用面面垂直的性质，证得平面，进而可得，平面即可得证；(2)在平面ABC内过点A作Ax⊥AB，以A为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量而得解.【详解】（1）因为，为中点，所以，因为是矩形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）在平面ABC内过点A作Ax⊥AB，由（1）知，平面，故以点A为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图：则，，，，，则，所以，，，，由（1）知，为平面的一个法向量，设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以，所以，因为二面角为锐角，则二面角的余弦值为.【点睛】思路点睛：二面角大小求解时要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角21、（1）在、上是增函数，在上是减函数；（2）在区间，上的最大值为2，最小值为【解析】（1）求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调区间；（2）根据（1）可知，函数在，、上为增函数，在上为减函数，求出端点值和极值，比较即可求出最值【小问1详解】根据题意，由于，，得到，，在、上是增函数，当时，在上是减函数；【小问2详解】由（1）可知，函数在，，上为增函数，在上为减函数，，（1），，，在区间，上的最大值为2，最小值为22、（1）；（2）①；②定点有两个，【解析】（1）由双曲线方程有、、，根据已知条件有，即可求离心率.（2）①由题设有，结合（1）求双曲线参数，写出双曲线方程即可；②由题设可设为，，，联立双曲线方程结合韦达定理求，，，，再由