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文档简介
2025届山西省数学高三上期末考试模拟试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象,则下列说法正确的是()A.函数在上单调递增 B.函数的周期是C.函数的图象关于点对称 D.函数在上最大值是12.在正方体中,点,,分别为棱,,的中点,给出下列命题:①;②;③平面;④和成角为.正确命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.33.若不等式对恒成立,则实数的取值范围是()A. B. C. D.4.在边长为1的等边三角形中,点E是中点,点F是中点,则()A. B. C. D.5.方程在区间内的所有解之和等于()A.4 B.6 C.8 D.106.设递增的等比数列的前n项和为,已知,,则()A.9 B.27 C.81 D.7.已知,函数在区间内没有最值,给出下列四个结论:①在上单调递增;②③在上没有零点;④在上只有一个零点.其中所有正确结论的编号是()A.②④ B.①③ C.②③ D.①②④8.已知双曲线,过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P,Q两点,以线段PQ为直径的圆过右焦点F,则双曲线离心率为A. B. C.2 D.9.设、,数列满足,,,则()A.对于任意,都存在实数,使得恒成立B.对于任意,都存在实数,使得恒成立C.对于任意,都存在实数,使得恒成立D.对于任意,都存在实数,使得恒成立10.已知集合.为自然数集,则下列表示不正确的是()A. B. C. D.11.若x∈(0,1),a=lnx,b=,c=elnx,则a,b,c的大小关系为()A.b>c>a B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c12.已知复数,则的虚部是()A. B. C. D.1二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.圆心在曲线上的圆中,存在与直线相切且面积为的圆,则当取最大值时,该圆的标准方程为______.14.已知复数,且满足(其中为虚数单位),则____.15.如图,是一个四棱锥的平面展开图,其中间是边长为的正方形,上面三角形是等边三角形,左、右三角形是等腰直角三角形,则此四棱锥的体积为_____.16.各项均为正数的等比数列中,为其前项和,若,且,则公比的值为_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知直线:与抛物线切于点,直线:过定点Q,且抛物线上的点到点Q的距离与其到准线距离之和的最小值为.(1)求抛物线的方程及点的坐标;(2)设直线与抛物线交于(异于点P)两个不同的点A、B,直线PA,PB的斜率分别为,那么是否存在实数,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.18.(12分)如图所示,四棱柱中,底面为梯形,,,,,,.(1)求证:;(2)若平面平面,求二面角的余弦值.19.(12分)已知点和椭圆.直线与椭圆交于不同的两点,.(1)当时,求的面积;(2)设直线与椭圆的另一个交点为,当为中点时,求的值.20.(12分)已知集合,,,将的所有子集任意排列,得到一个有序集合组,其中.记集合中元素的个数为,,,规定空集中元素的个数为.当时,求的值;利用数学归纳法证明:不论为何值,总存在有序集合组,满足任意,,都有.21.(12分)某大学开学期间,该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手,该快餐店提供了两种日工资结算方案:方案规定每日底薪100元,外卖业务每完成一单提成2元;方案规定每日底薪150元,外卖业务的前54单没有提成,从第55单开始,每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量,现随机抽取100天的数据,将样本数据分为七组,整理得到如图所示的频率分布直方图.(1)随机选取一天,估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率;(2)从以往统计数据看,新聘骑手选择日工资方案的概率为,选择方案的概率为.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘,四人选择日工资方案相互独立,求至少有两名骑手选择方案的概率,(3)若仅从人日均收入的角度考虑,请你为新聘骑手做出日工资方案的选择,并说明理由.(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)22.(10分)如图,在三棱锥ABCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
根据三角函数伸缩变换特点可得到解析式;利用整体对应的方式可判断出在上单调递增,正确;关于点对称,错误;根据正弦型函数最小正周期的求解可知错误;根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得,错误.【详解】将横坐标缩短到原来的得:当时,在上单调递增在上单调递增,正确;的最小正周期为:不是的周期,错误;当时,,关于点对称,错误;当时,此时没有最大值,错误.本题正确选项:【点睛】本题考查正弦型函数的性质,涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段区间内的值域的求解;关键是能够灵活应用整体对应的方式,通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质.2、C【解析】
建立空间直角坐标系,利用向量的方法对四个命题逐一分析,由此得出正确命题的个数.【详解】设正方体边长为,建立空间直角坐标系如下图所示,,.①,,所以,故①正确.②,,不存在实数使,故不成立,故②错误.③,,,故平面不成立,故③错误.④,,设和成角为,则,由于,所以,故④正确.综上所述,正确的命题有个.故选:C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法,考查运算求解能力,属于中档题.3、B【解析】
转化为,构造函数,利用导数研究单调性,求函数最值,即得解.【详解】由,可知.设,则,所以函数在上单调递增,所以.所以.故的取值范围是.故选:B【点睛】本题考查了导数在恒成立问题中的应用,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.4、C【解析】
根据平面向量基本定理,用来表示,然后利用数量积公式,简单计算,可得结果.【详解】由题可知:点E是中点,点F是中点,所以又所以则故选:C【点睛】本题考查平面向量基本定理以及数量积公式,掌握公式,细心观察,属基础题.5、C【解析】
画出函数和的图像,和均关于点中心对称,计算得到答案.【详解】,验证知不成立,故,画出函数和的图像,易知:和均关于点中心对称,图像共有8个交点,故所有解之和等于.故选:.【点睛】本题考查了方程解的问题,意在考查学生的计算能力和应用能力,确定函数关于点中心对称是解题的关键.6、A【解析】
根据两个已知条件求出数列的公比和首项,即得的值.【详解】设等比数列的公比为q.由,得,解得或.因为.且数列递增,所以.又,解得,故.故选:A【点睛】本题主要考查等比数列的通项和求和公式,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7、A【解析】
先根据函数在区间内没有最值求出或.再根据已知求出,判断函数的单调性和零点情况得解.【详解】因为函数在区间内没有最值.所以,或解得或.又,所以.令.可得.且在上单调递减.当时,,且,所以在上只有一个零点.所以正确结论的编号②④故选:A.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质,考查函数的零点问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8、B【解析】
求得直线的方程,联立直线的方程和双曲线的方程,求得两点坐标的关系,根据列方程,化简后求得离心率.【详解】设,依题意直线的方程为,代入双曲线方程并化简得,故,设焦点坐标为,由于以为直径的圆经过点,故,即,即,即,两边除以得,解得.故,故选B.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的交点,考查圆的直径有关的几何性质,考查运算求解能力,属于中档题.9、D【解析】
取,可排除AB;由蛛网图可得数列的单调情况,进而得到要使,只需,由此可得到答案.【详解】取,,数列恒单调递增,且不存在最大值,故排除AB选项;由蛛网图可知,存在两个不动点,且,,因为当时,数列单调递增,则;当时,数列单调递减,则;所以要使,只需要,故,化简得且.故选:D.【点睛】本题考查递推数列的综合运用,考查逻辑推理能力,属于难题.10、D【解析】
集合.为自然数集,由此能求出结果.【详解】解:集合.为自然数集,在A中,,正确;在B中,,正确;在C中,,正确;在D中,不是的子集,故D错误.故选:D.【点睛】本题考查命题真假的判断、元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.11、A【解析】
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.【详解】∵x∈(0,1),∴a=lnx<0,b=()lnx>()0=1,0<c=elnx<e0=1,∴a,b,c的大小关系为b>c>a.故选:A.【点睛】本题考查三个数的大小的判断,考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.12、C【解析】
化简复数,分子分母同时乘以,进而求得复数,再求出,由此得到虚部.【详解】,,所以的虚部为.故选:C【点睛】本小题主要考查复数的乘法、除法运算,考查共轭复数的虚部,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由题意可得圆的面积求出圆的半径,由圆心在曲线上,设圆的圆心坐标,到直线的距离等于半径,再由均值不等式可得的最大值时圆心的坐标,进而求出圆的标准方程.【详解】设圆的半径为,由题意可得,所以,由题意设圆心,由题意可得,由直线与圆相切可得,所以,而,,所以,即,解得,所以的最大值为2,当且仅当时取等号,可得,所以圆心坐标为:,半径为,所以圆的标准方程为:.故答案为:.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系及均值不等式的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意验正等号成立的条件.14、【解析】
计算出,两个复数相等,实部与实部相等,虚部与虚部相等,列方程组求解.【详解】,所以,所以.故答案为:-8【点睛】此题考查复数的基本运算和概念辨析,需要熟练掌握复数的运算法则.15、【解析】
画图直观图可得该几何体为棱锥,再计算高求解体积即可.【详解】解:如图,是一个四棱锥的平面展开图,其中间是边长为的正方形,上面三角形是等边三角形,左、右三角形是等腰直角三角形,此四棱锥中,是边长为的正方形,是边长为的等边三角形,故,又,故平面平面,的高是四棱锥的高,此四棱锥的体积为:.故答案为:.【点睛】本题主要考查了四棱锥中的长度计算以及垂直的判定和体积计算等,需要根据题意16、【解析】
将已知由前n项和定义整理为,再由等比数列性质求得公比,最后由数列各项均为正数,舍根得解.【详解】因为即又等比数列各项均为正数,故故答案为:【点睛】本题考查在等比数列中由前n项和关系求公比,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),(1,2);(2)存在,【解析】
(1)由直线恒过点点及抛物线C上的点到点Q的距离与到准线的距离之和的最小值为,求出抛物线的方程,再由直线与抛物线相切,即可求得切点的坐标;(2)直线与抛物线方程联立,利用根与系数的关系,求得直线PA,PB的斜率,求出斜率之和为定值,即存在实数使得斜率之和为定值.【详解】(1)由题意,直线变为2x+1-m(2y+1)=0,所以定点Q的坐标为抛物线的焦点坐标,由抛物线C上的点到点Q的距离与到其焦点F的距离之和的最小值为,可得,解得或(舍去),故抛物线C的方程为又由消去y得,因为直线与抛物线C相切,所以,解得,此时,所以点P坐标为(1,2)(2)设存在满足条件的实数,点,联立,消去x得,则,依题意,可得,解得m<-1或,由(1)知P(1,2),可得,同理可得,所以=,故存在实数=满足条件.【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目,通常联立直线方程与抛物线方程,应用一元二次方程根与系数的关系进行求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错解,能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.18、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)取中点为,连接,,,,根据线段关系可证明为等边三角形,即可得;由为等边三角形,可得,从而由线面垂直判断定理可证明平面,即可证明.(2)以为原点,,,为,,轴建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,并求得平面和平面的法向量,即可由法向量法求得二面角的余弦值.【详解】(1)证明:取中点为,连接,,,如下图所示:因为,,,所以,故为等边三角形,则.连接,因为,,所以为等边三角形,则.又,所以平面.因为平面,所以.(2)由(1)知,因为平面平面,平面,所以平面,以为原点,,,为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系,易求,则,,,,则,,.设平面的法向量,则即令,则,,故.设平面的法向量,则则令,则,,故,所以.由图可知,二面角为钝二面角角,所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的判定,由线面垂直判定线线垂直,由空间向量法求平面与平面形成二面角的大小,属于中档题.19、(1);(2)或【解析】
(1)联立直线的方程和椭圆方程,求得交点的横坐标,由此求得三角形的面积.(2)法一:根据的坐标求得的坐标,将的坐标都代入椭圆方程,化简后求得的坐标,进而求得的值.法二:设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆的方程,化简后写出根与系数关系,结合求得点的坐标,进而求得的值.【详解】(1)设,,若,则直线的方程为,由,得,解得,,设直线与轴交于点,则且.(2)法一:设点因为,,所以又点,都在椭圆上,所以解得或所以或.法二:设显然直线有斜率,设直线的方程为由,得所以又解得或所以或所以或.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系,考查椭圆中三角形面积的求法,考查运算求解能力,属于中档题.20、;证明见解析.【解析】
当时,集合共有个子集,即可求出结果;分类讨论,利用数学归纳法证明.【详解】当时,集合共有个子集,所以;①当时,,由可知,,此时令,,,,满足对任意,都有,且;②假设当时,存在有序集合组满足题意,且,则当时,集合的子集个数为个,因为是4的整数倍,所以令,,,,且恒成立,即满足对任意,都有,且,综上,原命题得证.【点睛】本题考查集合的自己个数的研究,结合数学归纳法的应用,属于难题.21、(1)0.4;(2);(3)应选择方案,理由见解析【解析】
(1)根据频率分布直方图,可求得该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的频率,即可估算其概率;(2)根据独立重复试验概率求法,先求得四人中有0人、1人选择方案的概率,再由对立事件概率性质即可求得至少有两名骑手选择方案的概率;(3)设骑手每日完成外卖业务量为件,分别表示出方案的日工资和方案的日工资函数解析式,即可计算两种计算方式下的数学期望,并根据数学期望作出选择.【详解】(1)设事件为“随机选取一天,这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于
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