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文档简介
湖北省天门仙桃潜江2025届高二上数学期末学业水平测试试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在平面直角坐标系中,双曲线的右焦点为,过双曲线上一点作轴的垂线足为,若,则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.2.已知定义在R上的函数满足,且当时,,则下列结论中正确的是()A. B.C. D.3.已知直线和圆,则“”是“直线与圆相切”的().A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知抛物线,过点作抛物线的两条切线,点为切点.若的面积不大于,则的取值范围是()A. B.C. D.5.已知直线过点且与直线平行,则直线方程为()A. B.C. D.6.函数的定义域为,,对任意,,则的解集为()A. B.C. D.7.已知函数,要使函数有三个零点,则的取值范围是()A. B.C. D.8.执行如图所示的流程图,则输出k的值为()A.3 B.4C.5 D.29.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A. B.C. D.10.已知五个数据3,4,x,6,7的平均数是x,则该样本标准差为()A.1 B.C. D.211.以轴为对称轴,顶点为坐标原点,焦点到准线的距离为4的抛物线方程是()A. B.C.或 D.或12.空间四点共面,但任意三点不共线,若为该平面外一点且,则实数的值为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知数列满足:,且,记,若,则___________.(用表示)14.执行如图所示的程序框图,则输出的结果________15.如图,正方体的棱长为1,C、D分别是两条棱的中点,A、B、M是顶点,那么点M到截面ABCD的距离是____________.16.已知线段AB的长度为3,其两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,点M满足.则点M的轨迹方程为______三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数R)(1)当时,求函数的图象在处的切线方程;(2)求的单调区间18.(12分)已知向量,(1)求;(2)求;(3)若(),求的值19.(12分)已知椭圆:的左、右焦点分别为,,离心率为,且过点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若过点的直线与椭圆相交于,两点(A、B非椭圆顶点),求的最大值.20.(12分)已知椭圆的短轴长为2,左、右焦点分别为,,过且垂直于长轴的弦长为1(1)求椭圆C的标准方程;(2)若A,B为椭圆C上位于x轴同侧的两点,且,共线,求四边形的面积的最大值21.(12分)已知等差数列满足:,(1)求数列的通项公式,以及前n项和公式;(2)若,求数列的前n项和22.(10分)已知抛物线C:x2=2py的焦点为F,点N(t,1)在抛物线C上,且|NF|=.(1)求抛物线C的方程;(2)过点M(0,1)的直线l交抛物线C于不同的两点A,B,设O为坐标原点,直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据条件可知四边形为正方形,从而根据边长相等,列式求双曲线的离心率.【详解】不妨设在第一象限,则,根据题意,四边形为正方形,于是,即,化简得,解得(负值舍去).故选:A.2、B【解析】由可得,利用导数判断函数在上的单调性,由此比较函数值的大小确定正确选项.【详解】∵∴,当时,,∴,故∴在内单调递增,又,∴,所以故选:B3、B【解析】首先求出直线与圆相切时的取值,再根据充分必要条件的定义判断.【详解】若直线与圆相切,则圆心到直线的距离,则,解得,所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.故选:B【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,充分必要条件,重点考查计算,理解能力,属于基础题型.4、C【解析】由题意,设,直线方程为,则由点到直线的距离公式求出点到直线的距离,再联立直线与抛物线方程,由韦达定理及弦长公式求出,进而可得,结合即可得答案.【详解】解:因为抛物线的性质:在抛物线上任意一点处的切线方程为,设,所以在点处的切线方程为,在点B处的切线方程为,因为两条切线都经过点,所以,,所以直线的方程为,即,点到直线的距离为,联立直线与抛物线方程有,消去得,由得,,由韦达定理得,所以弦长,所以,整理得,即,解得,又所以.故选:C.5、C【解析】由题意,直线的斜率为,利用点斜式即可得答案.【详解】解:因为直线与直线平行,所以直线的斜率为,又直线过点,所以直线的方程为,即,故选:C.6、B【解析】构造函数,利用导数判断出函数在上的单调性,将不等式转化为,利用函数的单调性即可求解.【详解】依题意可设,所以.所以函数在上单调递增,又因为.所以要使,即,只需要,故选B.【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式,解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.7、A【解析】要使函数有三个解,则与图象有三个交点,数形结合即可求解.【详解】要使函数有三个解,则与图象有三个交点,因为当时,,所以,可得在上递减,在递增,所以,有最小值,且时,,当趋向于负无穷时,趋向于0,但始终小于0,当时,单调递减,由图像可知:所以要使函数有三个零点,则.故选:A8、B【解析】根据程序框图运行程序,直到满足,输出结果即可.【详解】按照程序框图运行程序,输入,则,,不满足,循环;,,不满足,循环;,,不满足,循环;,,满足,输出结果:故选:B.9、A【解析】每个同学参加的情形都有3种,故两个同学参加一组的情形有9种,而参加同一组的情形只有3种,所求的概率为p=选A10、B【解析】先求出的值,然后利用标准差公式求解即可【详解】解:因为五个数据3,4,x,6,7的平均数是x,所以,解得,所以标准差,故选:B11、C【解析】根据抛物线的概念以及几何性质即可求抛物线的标准方程.【详解】依题意设抛物线方程为因为焦点到准线的距离为4,所以,所以,所以抛物线方程或故选:C12、A【解析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.【详解】空间四点共面,但任意三点不共线,,解得:.故选:A.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】由可得,结合已知条件,利用裂项相消求和法即可得答案.【详解】解:因为,所以,即,所以,因为,所以,又,所以.故答案为:.14、132【解析】根据程序框图模拟程序运行,确定变量值的变化可得结论【详解】程序运行时,变量值变化如下:,判断循环条件,满足,,;判断循环条件,满足,,;判断循环条件,不满足,输出故答案为:13215、【解析】由题意建立空间直角坐标系,然后结合点面距离公式即可求得点M到截面ABCD的距离.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系,可得A(0,0,0),B(1,1,0),D(0,,1),M(0,1,0),∴(0,1,0),(1,1,0),(0,,1),设(x,y,z)为平面ABCD的法向量,则,取y=﹣2,可得x=2,z=1,∴(2,﹣2,1),∴M到截面ABCD的距离d故答案为.【点睛】本题主要考查空间直角坐标系及其应用,点面距离的计算等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16、【解析】设出动点,根据已知条件得到关于的方程.【详解】设,由,有,得,所以,由得:,所以点的轨迹的方程是.故答案为:三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)答案见解析【解析】(1)根据切点处的导数等于切线斜率,切点在曲线上可得切线方程;(2)求导,分类讨论可得.【小问1详解】当时,,,,则,所以在处的切线方程为【小问2详解】,,当时,,函数在R上单调递增;当时,令,则,当时,,单调递减;当时,,单调递增当时,的单调递增区间为,当时,的单调递增区间为,单调递减区间为18、(1)(2)(3)【解析】(1)根据向量数量积的坐标表示即可得解;(2)求出,再根据空间向量的模的坐标表示即可得解;(3)由,可得,再根据数量积的运算律即可得解.【小问1详解】解:;【小问2详解】解:;【小问3详解】解:因为,所以,即,解得.19、(1)(2)【解析】(1)根据离心率和点在椭圆上建立方程,结合,然后解出方程即可(2)设直线的斜率为,联立直线与椭圆的方程,然后利用韦达定理表示出,两点的坐标关系,并表示出为直线斜率的函数,然后求出的最大值【小问1详解】由椭圆过点,则有:由可得:解得:则椭圆的方程为:【小问2详解】由(1)得,,已知直线不过椭圆长轴顶点则直线的斜率不为,设直线的方程为:设,,联立直线方程和椭圆方程整理可得:故是恒成立的根据韦达定理可得:,则有:由,可得:所以的最大值为:20、(1)(2)2【解析】(1)根据已知条件求得,由此求得椭圆的标准方程.(2)延长,交椭圆C于点.设出直线的方程并与椭圆方程联立,化简写出根与系数关系,根据对称性求得四边形的面积的表达式,利用换元法,结合基本不等式求得四边形的面积的最大值.【小问1详解】由题可知,即,因为过且垂直于长轴的弦长为1,所以,所以所以椭圆C的标准方程为【小问2详解】因为,共线,所以延长,交椭圆C于点.设,由(1)可知,可设直线的方程为联立,消去x可得,所以,由对称性可知设与间的距离为d,则四边形的面积令,则.因为,当且仅当时取等号,所以,即四边形的面积的最大值为2【点睛】在椭圆、双曲线、抛物线中,求三角形、四边形面积的最值问题,求解策略是:首先结合弦长公式、点到直线距离公式等求得面积的表达式;然后利用基本不等式、二次函数的性质等知识来求得最值.21、(1),(2)【解析】(1)由,,列出方程组,求得,即可求得数列的通项公式,利用公式可得.(2)由(1)求得,结合“裂项法”求和,即可求解.【详解】(1)设等差数列的公差为,因为,,可得,解得,所以数列的通项公式.(2)由(1)知,可得,所以数列的前项和:.【点睛】关键点睛:本题主要考查了等差数列的通项公式的求解,以及“裂项法”求和的应用,解答本题的关键是将的通项裂成两项的差,利用裂项相消求和,属于中档题.22、(1)x2=2y;(2)证明见解
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